1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(8) Второе иэ уравнений (8) соответствует тому, что, как и при отсутствии силы трения, цилиндр вращается по часовой стрелке. Невесомость блока и вити позволяет считать силу натяжения вдоль всей нити постоянной по модулю, т. е. Т = Т'. Учитывая соотношения (3) и (4), выражение для момента инерции и равенство сил натяжения, перепишем уравнения (7) н (8): эоа, зол — Т, ша,/2 Т + ~ , Ьжг'а,~(2г) Тг — г г.
Сокращая последнее уравнение на г и решая получекную систему совместно, находим а, = 43/(5 + Ь), / шд(1 — Ь)/(5 + Ь). Для сплошного цилиндра имеем 8 1 п~ 11 31 Тч жэ для полого цклиндра (Ь 1) з и,- — за /~" О. Зааача 4.6. На скамье Жуковского сидит человек и держит в вытянутых руках гири по 10 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси вращения скамьи 1, - 50 см. Скамья вращается с частотой и, - 1 с '.
Как изменится частота вращения скамьи и какую работу произведет человек, если он сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до (, 20 смУ Суммарный момент инерции человека н скамьи откосительно оси вращения 7, - 2,5 кг м'. Ось вращения проходит через центр масс человека и скамьи. Анализ. Частота вращения скамьи Жуковского изменяется в результате действий, пронзводнмых человеком прн сближении гирь. (Предполагается, что человек не движется относнтельно скамьи.) Однако н характер движения гирь, и характер взаимодействия гирь с человеком, и человека со скамьей очень сложны.
В системе тел скамья — человек — гири все этн силы являются внутренннмн н не изменяют нн импульса, нн момента импульса системы. Поскольку все тела системы совершают чисто вращательное движение вокруг одной н той же неподвижной оси, очевидно, следует рассматривать только момент импульса системы. При перемещении гирь относительно осн вращения на сис-' тему скамья — человек — гири действуют внешние силы: силы реакции оси, линия действия которых проходит через ось; сила тяжести н сила нормальной реакции, параллельные оси вращения. Моменты всех этих внешних снл относительно вертикальной осн вращения скамьи равны нулю.
(Для скамьи Жуковского силы трения в оси можно считать отсутствующимн.) Следовательно, момент импульса этой системы остается постоявным: 1., - Ь„,Т, з„7, ю, -,); з„ где Т,ю, и Т,ю, — моменты импульса системы соответственно до н после сближения гирь. Такое выражение момента импульса системы возможно потому„что согласно условию все тела как до, так и после сближения вращаются с одинаковой угловой скоростью.
Все перечисленные внешние силы не создают вращающего момента относительно оси и, следовательно, не совершают работы. Поэтому изменение кинетцческой энергии системы равно работе, совершенной человеком: А, К вЂ” К, 7 м,'/2 — 7,в,'/2. (2) Прн этом следует оговорить, что гири движутся в одной горизонтальной плоскости н потенциальная энергия их не изменяется. Решению Перепишем векторное уравнение (1) в скалярном виде: 7,~, Тэ~Ъ. (3) До сближения гирь момент инерции всей системы 7, Т +2т(~; после сближения 'Тз вТо + 2ю(зз где 'т — масса каждой гири. Выражая угловую скорость через частоту вращения по формуле ш 2ял н подставляя ее в уравнение (3), получаем ('То + 2тл)тз)в, ('То + 2тй~)лг откуда л - я,(,Тэ + йю(тз )/(,То +2т(,') = 2,3 с '.
Работу, совершенную человеком, рассчнтаем по формуле (2). Учитывая, что <о, Т,ю~/ Т„находим: 7~(О (,Т 1 4~(О~ А.- --"-~-~' = — '(.Т вЂ”.7) А„2Щ 2ю(1, — )э ) 190 Дж. 'То+2'"~ / з з~ То + 2изф зз Таким образом, при сближении гирь, т. е. при уменьшении момента инерции системы, человек совершает положителъную работу, и кинетическая энергия системы возрастает. Зааача 4.7. На гладкой горизонтальной плоскости лежит тонкий однородный стержень длины 1 1 м и массы ш,.
По плоскости перпендикулярно стержню со скоростью и = 20 м/с скользит шарик массы ш = ш,/3 (рис. 30). Как и с какой скоростью будет двигатъся после удара стержень, если шарик после удара останавливаетсяу Рассмотреть два случая: 1) шарик ударяется в середину стержня; 2) точка удара отстоит от середины на расстоянии х, - !/4. Найти долю энергии, которая израсходовалась иа работу против сил неупругой деформации.
Анализ. Стержень начинает двигаться в результате удара шарика, причем, согласно условию, возникающая при ударе сила направлена нормалъно к стержню. Если шарик ударяет в середину стержня, то линия действия этой силы проходит через центр масс стержня. При атом следует предположить, что толщина стержня (в вертикальном направлении) равна диаметру шарика. В этом случае стержень совершает только поступательное движение с некоторой скоростью и.
Во втором случае возникающая при ударе сила создает зра4раилций момент относительно центра масс. Тогда стержень помимо поступательного движения будет совершать вращение вокруг воображаемой вертикалъиой оси, проходящей через его центр масс. В атом случае движение стержня характеризуется как скоростью и, центра масс, равной скорости поступательного движения, так и угловой скоростью ю. Как всегда при ударе, целесообразно рассматривать систему соударяющихся тел, в данном случае систему шарик — стер- жень. Внешними силами явля- 1 ются силы тяжести и нормаль- а ной реакции плоскости, действующие на каждое из тел и компенсирующие друг друга.
Следователъно, импульс и момент им;.'л„ пульса атой системы тел не из- меняются в результате удара: По условию, шарик в результате удара останавливается, удар не является упругим, закон сохранения энергии неприменим, и кинетическая энергия системы уменьшается. В первом случае, когда стерженъ.совершает только поступательное движение, для описания его, т. е. для нахождения скорости и, достаточно одного закона сохранения импулъса: шч шгп.
Во втором случае, очевидно, следует исполъзовать оба закона сохранения.' шч ш,п',, (2) (3) гхшч= /,ю, где г — радиус-вектор шарика, принимаемого за материальную точку; /л = шгг/12 — момент инерции стержня относительно центра масс. Уравнения (1) — (3) позволят определить кинематические параметры стержня после удара. Зная их, можно найти и изменение кинетической энергии системы.
Решение. Сравнение уравнений (1) и (2) показывает, что и - п„т. е. скорость поступательного движения стержня не зависит от точки удара. Переписав одно из этих уравнений в скалярном виде, получим: шп = ш,пм ил = ти/т, = 6,7 м/с. Как видно иэ рисунка, г~т = я — а; г з(п а г/4. Тогда уравнение (3) в скалярном виде (с учетом выражения момента инерции стержня) примет внд шп)/4 ш,гаю/12, откуда ю Зшп/(шД 20 с '. Кинетическая энергия системы до удара К, то*/2. Рис.
Зо б4 65 рь рп~ 1ь 1'и. ' Импульс твердого тела при любом движении равен произзедеиию массы тела ил скорость его центра масс. После удара кинетическая энергия системы в первом слу- чае Кз т1й/2 - то*.гв/(2ш,) и доля энергии, израсходованная на работу против сил неупРутой деформации, К~~ т 2 ц а 1 —— К, т1 3' Кинетическая энергия системы после удара во втором случае Гтз тот и тиоз т 2 2 2 т1 2 4т1' Окончательно К„' 7то*т/(8т,), тогда Ф -~~~ тт з в,1 К Ьв, 12' Зааача 4.8. Тонкая прямоугольная пластина может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси аа', совпадающей с одной иэ ее коротких сторон (рис. 31).
Длинная сторона Ь = 0,6 м. В точку, находящуюся ниже оси вращения на расстоянии х О,б м, ударяет пули массы ш, = 10 г, летевшая горизонтально перпендикулярно пластине со скоростью о = 200 м/с. Масса пластины шо = 8 кг, момент инерции 1 относительно заданной оси / = -ш Ьэ. Какую угловую ско- 3 рость приобретает пластина, если удар абсолютно упругийу При каком зна- О чении х в момент удара не возникнет горизонтальная сила реакции оси, дейв ствующая на пластнну7 Аиалвз. Пластина приобретает скорость в результате удара пули, поэтому целесообразно рассматривать систему тел пластина — пуля. Внешними по отношению к этой системе являются сила тяжести и вертикальная сила реакции оси, не изменяющие х импульса системы.
Однако зо время взаимодействия пули с пластиной воз- Рвс. 31 Момент импульса системы до удара равен моменту импульса пули 1„- г х ш1ю Момент импульса системы после удара 1 = Йо + г х ш1п, где в — искомая угловая скорость пластины; и — скорость пули после удара, направленная в сторону, противоположную первоначальному движению пули (удар упругий, а масса пластины велика по сравнению с массой пули). Подставляя выражения 1., и 1 в уравнение (2), получаем (2) г х ш1т Те + г х о1,в. (3) При абсолютно упругом ударе кинетическая энергия системы остается постоянной: К, К„, ш оз/2 = тв иа/2 + Аоз/2 (4) Уравнения (3) и (4) позволяют найти угловую скорость пластины сразу после удара.
Тогда из уравнения (1) можно определить, при каком значении х горизонтальная сила реакции оси равна нулю. Решение. Чтобы от векторного равенства (3) перейтн-к скалярным соотношениям, введем оси координат. Проекции векторов 1., = г х ш1т и /ш на ось Я. совпадающую с осью вращения, положительны; причем, кэк видно из рисунка, го з1п (г' ,т) го з1п а 'хо никает еще горизонтальная сила реакции оси, очевидно тем большая, чем больше сила удара.
Следовательно, импульс системы не постоянен, и изменение импульса системы 8р, определяется действием только этой горизонтальной внешней силы: цр, (Г)/),г, (1) где (Р) — среднее за время удара Ьг значение горизонтэльной силы реакции оси. Так как время удара очень мало, то можно считать, что пластина не успеет отклониться от вертикального положения и импульс системы как до удара, так и сразу после удара направлен горизонтально. Однако моменты всех внешних сил относительно заданной оси равны нулю и момент импульса системы остается постоянным: ез (5) хщр =,/а — хт,и. тэаЬ/2 — т и = щр.
т,аЬ/2 в1,о + т,и. (9) (8) (10) тр + щ,и = /а/х. х = 2Ь/3. рл„т,оР/2 — т,и, рд, О. и ~ь = хщР. ПРоекциЯ вектоРа г х щ,п ка этУ же осъ отРица- телъна и равна — хщ,и. Тогда [см. (ЗН Уравнения (4) и (5) образуют систему, совместное решение которой позволяет найти искомую угловую скорость: а = 2трх/(У + т,з ). (6) Совместное решение уравнений (5) и (4) часто вызывает затруднения, поэтому приводим краткое пояснение к решению. Перепишем оба уравнения так, чтобы в левой части оказались толъко члены, относящиеся к телу т,: щ (о~ — из) = /а~, хт1(и + и) /а. (7) Разделив почленно первое из уравнений (7) на второе и умножив на х, получим Домножим уравнение (8) на щ,х и сложим зто уравнение ео вторым нз уравнений (7): щрх — щ,их = т,ах' + трх + щ, их =,/а Зт,ох а(/+ т хз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
