1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Из сравнения Т и т видно, что 1 к и к 2, т. е. по прошествии двух полных колебаний амплитуда уменьшится уже больше чем в 5 раэ, что соответствует уменьшению энергии маятника больше чем в 25 раэ. Предельное значение коэффициента затухания (3, при котором возможны колебания, (3„- оз„причем р гД2ж), где эо — масса маятника, постоянная по условиЮ аадачн; г— коэффициент трения. Оледовательно, искомое увеличение Зааача 5.7. Гармонический осцнллятор в вакууме совер. шает колебания с циклической частотой о»о и амплитудой Ао. В вязкой среде циклическая частота становится равной «о, Определить закон изменения скорости движения осциллятора со временем, ее амплитудное значение и сдвиг по фазе относительно смещения з в вязкой среде.
Аиализ. В вакууме, согласно условию, закон движения имеет внд В вязкой среде осцнллятор будет совершать затухающие колебэвия с циклической частотой м Д - ро, где 33 — коэффициент затухания, зависящий от свойств среды. Воли очи. тать, что начальная амплитуда ко-прежнему равна А, то закон движения можно записать в виде з - А е о' сое с11 (начальную фазу считаем равной нулю). Дифференцируя по времени уравнение (1), находим скорость движения осциллятора: э = бэ/бг = А е" (- ю з)п ов — (3 соз с11). (2) Выражение, стоящее в скобках, описывает некоторый процесс, складывающийся из двух гармонических колебаний с одинаковой циклической частотой ю и амплитудами с1 и (3, причем величины о» н 5 скаларные. Все это позволяет утверждать, что выражение в скобках может быть представлено в виде единого гармонического процесса, происходящего с той же частотой.
Амплитуда и начальная фаза' этого процесса неиавестны, но могут быть найдены методом векторных диаграмм, согласно которому каждому из суммвруемых колебаний ставится в соответствие «изображающий» вектор, модуль которого равен амплитуде колебаний, а угол наклона к оси ОХ вЂ” начальной фазе колебаний. (Очевидно, вдоль оси ОХ направлен вектор„соответствующий колебательному процессу с начальной фазой равной нулю ) Решение.
Первому колебательному процессу ( — о» з(п 1ог= с1 соз (св + я/2)3 в выражении (2) соответствует вектор а,. второму [- б соз с1г б соз (с1г + х)] — вектор а,. «изображающие» векторы показаны на диаграмме рис. 38. Вектор а, направлен перпендикулярно оси ОХ (~р»1 = я/2). Модуль вектора ~ а, ~ с». Вектор а, направлен в сторону, противоположную оси ОХ (1рм = л).
Модуль вектора ( ао ! б. Вектор а а, + а является «изображающим» вектором результирующего колебательного процесса (- о» зш сзг — б соз о»Г). Как видно из рисунка, его модуль ~ а ~ Д«аоо,/е'+1~ 1ео, угол наклона к оси ОХ Фо = '1/2 + «У, где»у агсгб ((3/о1). Таким образом, — о1 з1п о»1 р соз «ог : — «оо соз (в) + (л/2 + «у)). оР— мз ' с (6) Ь<р х/2 + агс(6 (6/ю). (2) э4 85 Следовательно, искомая скорость (см. (2)) о = А(зюзе ~ соз (юГ+ (я/2 + ф)). Как видно иэ полученного выражения, скорость движения осцнллятора в вязкой среде, как и смещение, изменяется со временем по закону затухающих колебаний с той же циклической частотой ю. Начальная амплитуда скорости Сдвиг по фазе скорости относительно смещения Следует обратить внимание на то, что при гармонических колебаниях (8 = О) амплитудное значение скорости о, = А,а„ сдвиг по фазе скорости относительно смещения Ьу = + я/2.
Зааача 5.8. Шарик массы т 50 г подвешен на невесомой пружине жесткостью л = 20 Н/м. Под действием вынуждающей вертяклльной гармонической силы с циклической частотой м, 18 с ' он совершает установившиеся вынужденные колебания с амплитудой Х, 1,3 см. При атом смещение шарика отстает по фазе от вынуждающей силы на ф, = я/4. Найти работу вынуждающей силы за время, равное периоду колебаний.
Во сколько'раз найденное значение меньше той максимальной работы, которую может совершить вынуждающая сила эа период 7 Анализ. Шарик, который можно принять за материальную точку, совершает вынужденные гармонические колебания. Элементарная работа вынуждающей силы Г где ч — скорость шарика.' Введем ось Х. направленную вертикально (как и вынуждающая сила).
Проекция вынуждающей силы на эту ось изменяется со временем по закону где Рз — амплитудное значение вынуждающей силы, ив циклическая частота. Смещение колеблющегося тела от по- ложения равновесия (также вдоль оси Х) и скорость его в этом случае изменяются со временем по законам х = Х, э1п (ен — ф), (3) о,= х = Х„юсов(юг — Ф), (4) причем амплитуда и сдвиг по фазе вынужденных колебаний где 1 ~я/ш — собственная циклическая частота осциллятора. Уравнения (5) и (6) образуют систему относительно неизвестных 6 и Р, (6 — коэффициент затухания осциллятора).
Таким образом, все параметры, характеризующие законы изменения вынуждающей силы и скорости колеблющегося тела, со временем могут быть найдены. Подставив выражения (2) и (4) в (1), получим <И РАпА АГ = РзХззз з(п юз соз (мà — ф) бд (7) Работа, совершаемая за период Т, может быть найдена интегрированием уравнения (7) по времени.
Как видно, элементарная работа знакопеременна. Очевидно, работа вынуждающей силы эа период будет наибольшей тогда, когда выражение АА для любого промежутка времени положительно, т. е. когда скорость колеблющейся точки и вынуждающая сила изменяются со временем без сдвига по фазе. Это значит, что для любого момента соз (мг — ф) з1п ек. [8) Уравнения (8) и (6) позволят найти значения ф и ю, при которых работа вынуждающей силы максимальна. Решение. Чтобы найти работу вынуждающей силы за период, проинтегрируем выражение (7) по времени, заменив предварительно соэ (ен — ф) по тригонометрической формуле косинуса разности двух углов: т т А-АА ~ Ф~' ~(А~+ Ф~ о о Хо Хмт12Г2/2зо.
Тогда Тогда искомая работа (9) [10) Хо2 = го/(в112оо — О12)222] 2 откуда Хо, Ро/(2л43оо,). Рис. 39 вв Интегрирование по переменной 1 в пределе от 0 до Т соответствует интегрированию по переменной О11 в пределе от 0 до 2х, поэтому г г .) ' з1ло11созоэоЮ 02 ) з1п О1161 2 Т 21 о о 2 О2 А РОХох е1п 2У.
Из равенства (6) при оу я/4 и Оо = 2О2 имеем 2~3О1 О21 — ооо. о Подставим вырэокение (10) в (б): Ро- Хмт (О>~ — О1,) 2Г2. Подставив выражение (11) н 2у2 я/4 в (9), получаем А2 Хо воя (О1о 2оо) 2,0 ° 10 ' Дж. ТОждЕСтВО (8) СПраВЕдЛИВО При 1)2о я/2. ПОдетЗВЛяя ЗтО значение 2)2о в Равенство (6)„нахоДим $а 2УО Оо, что возмонсно при О2 О1 . При этой частоте скорость и вынуждающая сила изменяются со временем по фазе и работа вынуждающей силы за период оказывается максимальной. Согласно выражению (9), отношение наибольшей работы, совершаемой вынуждающей силой, к найденной (учитывая, что г постоянна) А Х з(поу А1 Хоо з)п 2121 гДе Хо, и 2УΠ— амплитУДа вынУжДенных колебаний и сДвиг по фазе относительно вынУжДаюЩей силы пРи О1 2оо. Из равенства (6) получим учитывая выражения (11) и (10), находим Х, 22 М, Х„,2 2,' Так как зш 2у1 12 222, то 2О11 — 1,8.
А1 Ооо ф 6. Неннерцналъные системы Цель параграфа — показать на нескольких примерах метод решения задач в неинерциальных системах отсчета. В неинерциальных системах законы Ньютона, а следовательно, и все законы классической механики, которые использовались до сих пор, справедливы в предположении, что кроме сил взаимодействия с другими телами действуют силы инерции, ие обусловленные взаимодействием с какими-либо телами. Силы инерции зависят прежде всего от характера движения неинерциальной системы.
Это значит, что для нахождения сил инерции необходимо знать, как движется неинерциальная система относительно инерциальной системы, т. е. знать характер движения, его кинематические параметры, Здесь рассматриваются два типа веинерцизльных систем; 1) системы, движущиеся относительно какой-либо инерциальной системы (например, относительно Земли) поступательно, прямолинейно и ускоренно; 2) системы, вращающиеся с постоянной угловой скоростью относительно какой-либо инерцнальной системы. Зааача 6.1. По гладким горизонтальным рельсам движется платформа массы М со скоростью т (рис.
39), На передний край платформы осторожно кладут груз массы ж. Козффи- циевт трения между этим грузом и платформой я. При какой минимальной длине платформы груз не упадет с несу Анализ. В начальный момент платформа как бы выскальзывает из-под груза, но в результате действия силы трения скорость платформы относительно Земли уменьшается, скорость груза возрастает. Груз не упадет с платформы, если за время, по истечении которого скорости груза и платформы относительно Земли будут равны, смещение в' груза относительно платформы не превысит ее длины, т.
е. в' < й Таким образом, задача.сводится к нахождению отыосительного перемещения э' груза и ее удобно решать в системе отсчета„жестко связанной с платформой. Эта система не- инерциальная, так кзк в течение времени, пока груз движется относительно платформы, ыа платформу действует сила трения, замедляющая ее движение. Платформа движется поступательно; ускорение а„приобретаемое ею под действием силы трения, горизонтально. С точки зрения наблюдателя, находящегося в неинерциальной системе, жестко связанной с платформой, иа груз действуют силы тяжести и нормальной реакции со стороны платформы, взаимно компенсирующие друг друга, сила трения 1 и сила инерции 1, = -та, направленные горизонтально.
В начальный момент скорость груза относительно платформы ч,' =. — т, к концу движения вдоль платформы, пройдя расстояние в', груз остановится, т. е. его конечная скорость относительно платформы ч,' (). Очевидно, что изменение кинетической энергии груза равно работе сил трения и инерции на'перемещении з".
Обе силы (трения и инерции) постоянны, и работа, ими совершаемая, прямо пропорциональна перемещению э' груза. Следовательыо, уравнение (1) позволит найти в', если известны обе силы. Решение. Для того чтобы ыайтн силу инерции, действующую на груз, надо знать ускорение аэ платформы. Сила трения, действующая на платформу со стороны груза, /эту 88 и направлена в сторону, противоположную скорости т платформы. Поскольку зто единственная горизонтальная сила, действующая на платформу, ее ускорение а, /аут/М и вектор а также направлен против вектора ч..
На грув действуют силы 1 ятФ / = «шэ тМт/М, причем обе силы направлены против скорости ч' груза относительно платформы. При перемещении груза вдоль платформы на расстояние э' работа этих сил отрицательна (обе силы направлены против оси Х, перемещение — по оси Х): А — дав', А = — йтбгпз'/М.
Изменение кинетической энергии груза при этом (2) ЬК - — т(но) /2 = — тнз/2 (3) Подставив выражения (2) и (3) в (1), получим — тн'/2 — йтбз' (1 + т/М), откуда з' = Мне/[288(т + МН. Следовательно„груз не упадет с платформы, если ее длина ( > в' = Мн'/(28Ят + М)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
