1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(4) После определения амплитуды колебаний началъную фазу а, можно найти, если вырааить координату х и скорость и, как функции времени и приравнять зтн выражения при Г 0 значениям х, н о„, данным в условии задачи. Решение. Уравнение (3) показывает, что тело заданной массы совершает гармонические колебания относительно положения равновесия с циклической частотой о~ = ~/й/ш и периодом Т = 2«,/ш/й - 0,31 с. Найдем каждое из слагаемых, входящих в уравнение (4). В начальном положении (г - 0), как следует из условия задачи, х х„о„и,„. В конечном положении х = Хм о, О. Следовательно, при этом переходе ЬК = — шп2'/2, ЬУ, = — ша(Х, — х,), АУ = й(Х, + з,)2/г — й(х, + з,)'/г.
(5) Выражение потенциальной энергии деформации объясня- ется тем, что растяжение пружины при любом положении тела больше, чем его координата х (для х ) 0) на з . Прежде чем подставлять выражеяия (5) в (4), рассмотрим отдельно изменение потенциальной энергии системы: ЬУ „+АУ = — шб(Х2 — «2) + йХх/2 — йХх/2 + йз,(Х2 — «,) (члены, содержащие з,', взаимно уничтожаются).
Учитывая равенство (2), получаем ЬУ ЬУ,„„+ ЬУ йХх/2 — 'йх,'/2. (б) Можно показать, что найденное изменение потенциаль- ной энергии равно взятой с обратным знаком работе резуль- тирующей силы при переходе тела от х х, к х = Х„: = — йх, 2)А — йх дх, «2 ЛУ = — А = ~йх бх йХХ/2 — йх,'/2. Такой результат справедлив для любого гармонического осциллатора: изменение потенциальной энергии равно взятой с обратным знаком Работе результирующей квазиупругой силы. Подставка первое из выражений (5) и (б) в (4), получим — шо,'/2 + йХХХ/2 — йх,'/2 = О, откуда Х,-~ Щ+Й -22 76 Запишем теперь выражения для х(г) и о,(»): х = Хв зш («вГ + ав), о, = х Х«в» соэ (вк + а ). При( 0 х(0) Х«з)п а х„о„(0) = Х«в» соэ ов Т о,.
(7) Следовательно, о, = агсзш (х,/Х,) =, х/6 (или бк/6). Знак «+» в вырюкении (7) соответствует направлению скорости и, вниз. В атом случае Х««з соз а ) О. Следовательно, ав = х/6. Если скорость и, направлена вверх, то о„— эо Х«в» соз а» < О.
Следовательно, ав бх/6. Задача 5.5. Материальная точка участвует одновременно в двух колебательных процессах, происходящих в одном направлении по гармоническому закону с одинаковой частотой, амплитудами А, б см и А» = 10 см и сдвигом по фазе Жр я/3. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебательного процесса. Анализ. Законы движения для каждого из процессов могут быть записаны в виде з,=А, соэ мц з» = А«соз (в»г + ВФ). где з, — смещения от общего для обоих процессов положения равновесия, ⻠— циклическая частота, (Поскольку начальная фаза ф«определяется выбором начала отсчета времени, можно положить ф«1 О, тогда ф«» Ьф.) Закон движения точки, участвующей в двух колебательных процессах, з А, соз в»э+Аз соз (в»г+ Ьф)„ (1) где з — результирующее смещение точки от положения равновесия, Поскольку оба колебания гармонические с одинаковой частотой и одного направления, результирующее колебание тоже гармоническое с той же частотой и закон движения может быть записан также в виде з А соз (в»Г +»р)„ (2) рвс.
Зь где А — амплитуда результирующего колебания; »р — его начальная фаза, равная сдвигу по фазе относительно первого колебания. Сравнивая уравнения (1) и (2), получим Асов (в»1+ 1Р) А, соэ в»(+А, соз (оэт+ Ьф). (8) Уравнение (3) должно быть справедливо для любого момента времени, т. е. является тождеством. Неизвестные А и »р могут быть найдены либо аналитическим методом' при непосредственном решении тождества (3), либо методом векторного сложения колебаяий. Второй метод заключается в следующем, Любой гармонический процесс можно привести в однозначное соответствие с вращением вектора а («изображающий» вектор) вокруг оси ОЯ (рис.
36) с угловой скоростью в»,' равной циклической частоте колебаний. Модуль вектора в равен вмяли. гуде колебаний, угол рв, обраэовекный этям вектором с осью ОХ, равен начальной фазе колебаний. Проекция «изображающего» вектора на ось ОХ в любой момент времени При сложении колебаний, происходящих с одинаковой частотой, угол между «изображающими» векторами не изменяется с течением вреь1еии и равен Аф — разности начель. ных фаз Поэтому прн сложении таких колебаний все «изображающие» векторы можно показывать для момента р = О.
В данном случае следует ввезти дза «изобршкающих» вектора а, я а,, Вектор А - а, + а, будет «изображающим» вектором результирующего колебания, Модуль этого вектора равен искомой амплитуде А, угол его наклона к оси ОХ вЂ” искомой начальной фазе»р. г'ев»еквв, А и а л и т и ч е с к и й метод. Используя формулы косинуса суммы двух углов, ~ереяишвм уравнение (3); А соз ф соз вм — А з)л ф е)п зя- - (А, + А, соз Фр) соз вя - А, э)в Дф э1в вя.
' Прв азомввяя ужв трех хозвбвкяй зяззятячвскнй метод скэвмззвтся чересчур грокоаэзяк. юо- 4871. рис. 37 ор = <рое "з(п юр, 13 см, А(1) <Рое Р'. (3) 13 см. В -Б«+ З -Бз АБ = ~Р»е" Аз - 'Рое Яно з1 зо Зто уравнение будет тождеством относительно переменной 1, если коэффициенты При сов в»1 и в1п ю1 в левой части тождества равны соответствующим коэффициентам в правой части: . А соэ Бу = А, + А сов Ар; — А зш Бр = — А з(п Ьор.
Решим эту систему уравнений относительно неизвестных АиБу: » Бр = аГС(я А д 41 0 23Я. АБ+ АБ сов ЬЭ В е к тор н ы й метод. «Изображающие» векторы а, и а, показаны на рис. 37 (~ а, ~ - А„~ ао ~ А,). Вектор а, направлеи вдоль оси ОХ, поскольку начало отсчета времени выбрано так, что оро»= О. Угол наклона вектора а, к оси ОХ равен "Роо А'Р Согласно теореме косинусов, Угол наклона вектора А к оси ОХ Бу = агс»к (Ь/1), причем А =А в(п Бор, 1=А, +А соа Ар, откуда АБ в1п ЬЕ Бр = агс(б, „= 41' = 0,23п.
АБ «Ао сов ЬЭ Таким образом, оба метода дают достаточно простые решения задачи. ' Зааача 5.6. Математический маятник длины 1 - 50 ем совершает небольшие колебания в среде, в которой коэффициент затуханий р = 0,9 с '. Определить время т и число полных колебаний п, по истечении которых амплитуда ма.ятника уменьшится в пять раз. Во сколько раз должен возрасти коэффициент трения, чтобы колебания оказались невозможныр Анализ. При отсутствии трения малые колебания маятника в вертикальной плоскости происходят по гармоническому закону, причем собственная циклическая частота математи- ческого маятника, как известно, зависит только от длины подвеса: Вследствие трения колебания маятника будут затухающими: где ~р — угол отклонения нити маятника от вертикали в момент 1.
(Очевидно, записанный закон движения соответствует такому началу отсчета времени, что при 1 = 0 маятник проходит через положение равновесия, т. е. Бр 0.) Период затухающих колебаний (период гармонического сомножителя) т-гл,Ъ-гк!„~юо:П . (г) Амплитудой затухающих колебаний принято считать выражение, стоящее перед гармоническим сомножителем. В соответствии с этим определением амплитуда А затухающих колебаний изменяется со временем по экспоненциальному закону: Записав выражения амплитуды для двух моментов 1 и 1 + т и учитывая, что отношение этих амплитуд задано, можно найти искомое время т.
Число и полных колебаний за это время можно определить, если известен период Т. Затухающие колебания по записанному выше закону возникангг, как следует из решения соответствующего дифференциального уравнения, только прн условии р < ю, (это очевидно из выражения (2): при р) > ю, период и циклическая частота окавываются мнимыми величинами). При р > Бе, происходит апериодический процесс, закон движения которого где В, и В, — постоянные, определяемые из начальных условий; б,, - Р х Б(РБ-оооо.
Рек»ение. Запишем выражения (3) для моментов времени риз+ т: т = 1п 5/(3 = 1,79 с. г=г„ /г =б /б. '1'ав Кав Р«~„д О»«о тс «о /(3 4.9. Ао соз («оо» + %>) гас. зз 83 Отношение амплитуд А„'А, = ео' = 5. Логарифмнруя это выражение, находим Число полных колебаний, прошедших за время т, очевидно, равно отношению л т/Т. Определив из выражения (1) собственную циклическую частоту математического маятника и подставив ее в выражение (2), получим 'Г 1,45 с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
