1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Рис. 2о — ш3Ь + юпс«/2 О. (3) Р, + 2А/㫠— В/г'. (2) (3) На вершине сферы груз находится в положении неустойчивого равновесия, и скорость о,„необходимую для начала движения, можно считать пренебрежимо малой. Тогда, подставляя найденные выражения в (2), получаем Чтобы от векторного уравнения (1) перейти к скалярным соотношениям, введем ось Х. Тогда а, а„о'/В. На основании уравнения (1) я«о«/В = я«я соз а — № В точке отрыва от сФеры а„и'/В.
№ = О, следовательно, в«ис/В я«у соз а. Кзк видно из рисунка, соз а ( — Ь)/В. Тогда з«ис« - ю®( — я). (4) Уравнения (3) и (4) содержат скорость о и высоту Ь, относящиеся к одной и той же точке, и образуют систему уравнений, совместное решение которой позволяет найти Ь = В/3 - 0,3 м. Зазвча 3.7. Потенциальная энергия частицы в центральном силовом поле задана как функция расстояния г от центра поля до некоторой точки: У(г) А/㫠— В/г. где А 6 10 «Дж ° м«; В = 3 10 ' Дж м. Определить, при каких значениях г потенциальная энергия и сила„действующая на частицу, имеют экстремальные значения; найти зти значения.
Построить графики аависимости У(г) и Р,(г) (Р,— проекция вектора силы на направление радиус-вектора г). Какую минимальную скорость надо сообщить частице массы т 0,2 г, находящейся в положении равновесия, чтобы она могла удалиться от центра поля на расстояние В 10 см или выйти за пределы действия поля2 Анализ.
Частица находится в потенциальном поле. Потенциалъная энергия частицы в этом поле — заданная функция одной координаты г. Судя по виду функции У(г), начало отсчета потенциальной энергии находится в бесконечности; У(со) - О. Проекция силы на направление р«янус-вектора г может быть найдена по формуле Р,= — йУ/йк (1) В общем случае, когда потенциалънзя энергия зависит не только от расстояния г, но и от направления р«диус-вектора г, характеризуемого в сферических координатах углами 6 и <у, проекция силы иа радиальное направление Р, = — дУ/дг. В данном случае дУ/дг = йУ/йг. Для заданной функции Поскольку А и  — положителъные постоянные величины, то первое слагаемое со знаком «+» соответствует силе отталкивания, второе слагаемое со знаком «- — силе притяжения.
Радиус-вектор направлен от центра поля к рассматриваемой точке. Если Р, к О, то вектор силы Р, действующей на частицу, направлен к центру поля, т. е, Р является силой притяжения. Анализ функций У(г) и Р,(г) позволит найти их экстремальные значения и построить соответствующие графики, При движении частицы в таком поле в случае отсутствия других сил полная энергия частицы постоянна: Применение этого уравнения к переходу из положения равновесия в некоторые фиксированные точки (г В и г — сс) в предположении, что в них скорость частицы обращается в нуль, позволит найти миннмалъные скорости для выхода иа положения равновесия.
Рев«ение. Для определения экстремальных значений потенциальной энергии У следует найти значения г, при которых первая производная йУ/йг обращается в нулы йУ 2А  — — — +— йг г«г« — — + — — (- 2А+ Вг) О, 2А В 1 г«г«г« откуда йУ/йг 0 при г г, = 2А/В - 4 см, У, У(г,) — 3,8 мДж. Легко видеть, что йУ/йг > 0 при г, чуть большем гг Следовательно, найденное экстремальное значение У У„и при г г, рассматриваемая частица находится в положении устойчивого равновесия. притяжения (Р, < 0) и потенциальная энергия убывает.
Зато кинетическая энергия, если на частицу не действуют никакие другие силы, кроме данного поля, возрастет, так как силы поля совершают положительную работу. Когда частица перейдет значение г г„ она попадет в область, где Р, > О, т. е. в область, где результирующая сила является силой отталкивания. Соответственно потенциальная энергия частицы при уменьшении г увеличивается, а кинетическая энергия уменьшается. Рассмотрим теперь переход частицы заданной массы из 0 10-ай 6 0 в) р„н 0,1 О,об -0,06 б) Рис. зз Для построения графика У(г) найдем еще значения г, при которых У(г) 0 (кроме г- сс): А В 1 — — — = О, — (А — Вг) = О, гв г гз при г г, = А/В = 2 см П(г„) О. График У(г) показан на рис.
22,а. Для вычисления экстремальных значений 7,(г) следует найти значения г, при которых первая производная с)Р,/Йг обращается в нуль. На основании уравнения (2) й", 6А 2В 2 — ' = — — + — — (- ЗА+ Вг), а с 2 — (- 3А+ Вг) = О, г~ откудаЫ,/бг= 0 при г = г' ЗА/В = б см. При этому,(г') = - — 0,028 Н. Знак в — ° показывает, что цри г - г'ла частицу действует сила притяжения. Значения г, при которых Р, О, уже известны: 7, = 0 прн г -в сс и при г г'. График Р,(г) показан на рис. 22,б. После построения графиков следует обратить внимание на то, что при движении частццы, например, из бесконечности к центру поля до г = г, результирующая сила является силой точки г„где частица находится в равновесии, в точку гв = В, считая, что в точке г, неизвестная скорость и, направлена строго по радиус-вектору, а в точке гв скорость р, = О.
Применим к этому переходу уравнение (3): ЬУ„= 1/(В) — Щг,), ЛК = — всю,'/2. Подставив выражения (4) в (3), получим: ц- Ддв>-~~Ц~ У(В) — 2,4 10 Дж; р, 3,7 м/с. При г — сс (4) Ь(/ы (/( ) — У(г,), ДК т(о,') Подставив выражения (б) в (3), получим: с-,/2~~~( ° )-Щ~~; с( )-О;с -62~. (б) где й — упрутость сетки, х— прогиб сетки. При х = х и = йх,/шя. Ркс. 23 ' Статическим иавывавтся прогиб упругой сетки под действием силы, резкой силе тяжести акробата.
Задача 3.8. Акробат падает в упругую сетку с высоты И = 10 м (рис. 23). Зо сколько раз наибольшая сила давления акробата на сетку больше его силы тяжести, если статический прогиб' сетки хв = 20 см2 Массой сетки пренебречь. Анализ. При соприкосновении акробата и сетки возникает " сила т действия сетки на акробата, равная в любой момент искомой силе давления акробата на сетку. Эта сила достигает максимального значения в низшей точке при х = х Вследствие того что сетка упругая, сила 1 пропорциональна прогибу сетки: )/ / )=йх, В положении равнонесия йх„жб и, следовательно, и х /х. и х /х,=11.
(3) ЬУ йх~,/2. (б) Таким образом, задача сводится к определению максимального прогиба х сетки. За все время движения акробата на него действуют или только сила тяжести жй, или сила тяжести и упругая сила й Если рассмотреть движение акробата и упругой сетки в поле тяготения, то эта система будет консервативна, причем полная ее энергия складывается из кинетической энергии обоих тел, их потенциальной энергии упругого взаимодействия и нх потенциальной энергии. в поле тяготения. А так кэк, по условию, масса сетки пренебрежимо мала, то полная энергия системы включает кинетическую энергию акробата, потенциальную энергию упругой сетки и потенциальную энергию акробата в поле тяготения Земли.
Закон сохранения энергии можно записать в виде ЬК+ ВУ + ЬУ О. (2) Для определения х„, следует применить уравнение (2) к переходу из какого-либо состояния с известными значениями координаты и скорости в состояние, при котором прогиб сетки максимален. Решение. Рассмотрим переход системы из положения 1, когда акробат находится на высоте й над сеткой, а сетка не деФормирована, в положение 11, когда х х„Кинетическая энергия акробата н в верхнем, и в нижнем положениях равна нулю, т. е. При переходе иэ верхнего положения в нюкизе потенциелт ная энергия акробата в поле тяготения Земли изменится иа йУ, — тЯь + х„). (4) Потенциальная энергия упругодеформированной сетки изменится (увеличится) на Подставив выражения (3) — (5) в (2), получим — щд (й + х ) + йхз /2 = О.
Разделив почленно последнее выражение на й и учитывая, цто жд/й х (см. (1)), после простейших преобразований получим квадратное уравнение относительно х„ х', — 2х,х„— 2хзй О. Ер Я * ~+Д+2*а 22 (второй корень — отрицательный — не имеет смысла). Таким образом, 3ааача 3.9. По теории Резерфорда — ВоРа, электрон в атоме может двигаться по плоским эллиптическим орбитам. Какова полная энергия электрона в атоме водорода, если большая полуось эллипса а 2,1. 10 з см, а ядро находится в одном из фокусов эллипса (рис. 24)? Сила притяжения электрона к ядру У В/г', где г — расстояние от ядра до точки, в которой находится электрон; В 2,3 10 и Н м'. Анализ.
Во время движения электрона при любом его положении на него действует только сила притяжения со стороны ядра. Сила зта, во-первых, зависит только от расстояния г, т. е. от координаты точки, в которой находнтся электрон, во-вторых, направлена к ядру. Следовательно, можно говорить, что электрон движется в силовом поле, консервативном и центральном, центр которого совпадает с положением ядра. При движении в таком поле электрон обладает потевциэльной энергией и полная его энергия и момент импульса остаются постоянными. Чтобы найти полную энергию электрона, попробуем записать в явном виде законы сохранения энергии и 0 момента импульса для двух произвольных фиксированных положений электрона на орбяте.
Это позволит получить два уравнения, содержащих в качестве неизвестных значения скоростей в выбранных точках, а в результате совместного решения этих уравнений найти скорость, а гас. 24 следовательно, и кинетическую энергию электрона в любой иэ фиксированных точек. Зная кинетическую энергию электрона, можно определить и ею полную энергию. Последняя, очевидно, не должна зависеть от координат выбранных точек, но может зависеть от параметров эллипса, по которому движется электрон. Предварительно следует выразить потенциальную энергию злектрена в данном силовом поле как функцию координат. Изменение потенциальной энергии, как всегда, определяется работой сил поля, взятой с обратным знаком: с((/ — ДА, „— Р„бг, где Р, — проекция силы на направление радиус-вектора г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
