1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(Е) Д1 — (Е, ) Дг — ДР. (2) чество тмшот 1, о 1 нное од >й ге й, быть в случае вакуума найдено по закону Фурье ерю тэ градны«т температуры для вычисления кпзичщтва сты Ю надо определить изменение кинетической энергии всех молекУл УДаРившихса за вРемл Д1 о холю, Ю-~ ДИ~(. (3) для расчетов по Уравнениям (2) и (3) надо прежде вс ти число ДИ ударов, испытываемых рассматриваемой стен кой за промежуток времени ДП В направлении, нормальном к боковым стенкам сосуда, движется вследствие полной хаотичности движения молекул '/, общего числа «««молекул, причем 131 зти молекулы образуют два встречных потока, летящих с разными скоростями и, и и„зависящими от температуры той стенки, от которой летят молекулы.
Поскольку «к стенке» и «от стенки» молекулы движутся с разными скоростями, промежуток времени М следует выбрать настолько большим, ггобы ' о стенку успело удариться не только большое число молекул, но и каясдая из них успела удариться много раз„т. е. Успела много раз пройти расстояние 1 в обоих направлениях. Если каждая молекула ударится о стенку враг раз, то полное число ударов, испытываемое стенкой за промежуток времени ЬФ, зФ в«Аз~3. Тогда уравнения (2) и (3) запишем в таком виде: (Е)йг = — ЬР МЬг/3, (4) О = ! Ь)У, ! )7ьз(3, (5) где ЬР и Ъ»(в — изменения импульса и кинетической энергии одной молекулы при ударе о внутреннюю стенку. [Знак модуля в (3) и (5) объясняется тем, что количество теплоты„ получаемое стенкой, Я > О, а при ударе о внутреннюю стенку молекулы будут отскакивать с меньшей скоростью, поэтому вз»У ( 0 Ы»е ( 0 1 В уравнения (4) и (5) входят величины, которые зависят от значения скоростей молекул до и после удара.
Найти зти скорости можно только зная механизм соударения молекул со стенкой. Предположим, что на поверхности каждой стенки существует слой адсорбированных молекул, средняя кинетическая энергия которых равна средней кинетической энергии молекул самой стенки. Слой »тот находится в динамическом равновесии с молекулами газа: молекулы, подлетающие к стенке, «прилипают» к ней, одновременно из слоя вылетают, «испаряются» молекулы, скорость которых может быть рассчитана как среднеквадратичная: и = ~~~~~, = ~~Й~(р, (б) где Т вЂ” температура стенки. Импульс силы, испытываемый стенкой, и получаемая ею энергия при таком «обмене» молекул такие же, как при ударе и отражении с соответствующим изменением скоростей.
Очевидно, что если температуры стенок одинаковы, то все явление протекает, как при упругом ударе. 132 Решение. 1. Найдем прежде всего число враг ударов одной молекулы о ра сматриваемую стенку и бщее чи, о Ф всех молекул. Если скорость молекУлы до удара о холодную стенку после уд~ра чм то на пролет от холодной стенки к теплой и обратно каждая молекУла тратит время ч = (~и + (уи . Тогда 1 в' .взг = — = М Ы и 1 ив+и (7) Обп1ее число молекул Ф = яЯв, причем концентрация в может быть определена из уравнения Клапейрона — Менделеева для начального состояния: р = я)»Т .
Тогда 1 г )7 = Р,ВЦ(ЬТ,). (8) Для Расчета давления введем ось ОХ, нормальную боковым стенкам и направленную к внутренней стенке. Тогда .(и,+и). С учетом (7) и (8) уравнение (4) можно записать в скалярном виде (г,)взг з» (и, + и ) — ' '-~- Определив скорости и, и и, (см. (6)), получим Р = (1), /8 = р, ~Т,(Тв = 0,017 Па. 2. С редняя кинетическая энергия молекулы до удара о холодную стенку определяется температурой Т теплой стен- 1 ки, после удара — температурой Те холодной стенки: Ъ(й'е) = 1Й(Т» Тфй где 1 5 — число степеней свободы. Уравнение (5) с учетом (7) и (8) позволяет найти ' О= '„(Т Т) Р1" гз" 2 ' з 33Т, 1(ив+ ив) ' тогда а- -'— ' "вот,-я~~ -«,«вд». ' Обье и прострекотав между стенками сосуда у я, тек как, по данным звдечк, реастоякке 1 много мекыпе лквейвых размеров стенок.
133 в 9. Первое начало термодинамики и процессы в газах Задачи данного параграфа посвящены применению первого начала термодинамики к процессам, происходящим в идеальном газе либо в газе Ван-дер-Ваальса. При этом предполагается, что зти процессы явлаются квазистатическими (все промежуточные состояния равновесны).
Это позволяет записывать уравнение первого начала сразу в интегральной форме. Использование дифференциальной Формы записи первого начала термодинамики целесообразно только в тех случаях, когда, например, с помощью этого закона и уравнения состояния нужно найти уравнение процесса или теплоемкость газа. Анализ задач целесообразно начинать с графического изображения процессов. Для лучшего понимании рассматриваемых явлений важно привлекать молекуларно-кинетические представления. Задача 9.1.
Кислород нагревают от 1, 50 'С до 1, - 60 'О. Масса кислорода ж = 160 г. Найти количество поглощенной теплоты и изменение внутренней анергии при изохорном и изобарном процессах. Начальное давление близко к атмосферному. Анализ. При давлении, близком к атмосферному, газ можно считать идеальным. Графики изохорного 1 и изобарного 11 процессов (рис. 53)'расположены между одними и теми же изотермами, следовательно, изменение внутренней энергии гааа должно быть одинаковым: Ап = Ап = — -щт — т )„ ер 1 и 2 где 1 - 5 — число степеней свободы (молекула кислорода двухатомна). Поскольку оба процесса характеризуются постоянными теплоемкостями, искомое количество теплоты мо. жет быть найдено по формуле (2) й = — С(т — Т ), и где С вЂ” малярная теплоемкость, зависящая от характера процесса. 134 При изохорном процессе гаэ не Р совершает работы, поэтому количество поглощенной теплоты будет меньше: Ц,< Ц.
Исходя иэ молекулярно-кинетической теории, зто можно объяснить тем, что при изобарном нагревании газ расширяется и молекулы его, Рис. 53 ударяясь о движущийся поршень, отскакивают от него с меньшей, чем до удара, скоростью, отдавая часть своей кинетической энергии поршню. На восстановление энергии молекул и требуется дополнительное количество теплоты. Резсеиие. Согласно выражению (1), А(У = ЬУ - 1040 Дж. При изохорном процессе Я,,= ЬУ,, = 1040 Дж. При иэобарном процессе, учитывая, что молярная тепло- емкость С - (1 + 2)В/2, из равенства (2) получаем Ц = — — Я(т — Т) 1450 Дж.
ар 1+2 р 2 Р Очевидно, что разность 14 — ЛУ, равна работе, совершенной газом при изобарном нагреванйи. Заавча 9.2. Азот, занимающий при давлении р = 10' Па объем 1Р1 10 л, расширяется вдвое. Найти конечное давление и работу, совершенную газом при следующих процессах: а) изобарном, б) изотермическом, в) адиабатном (рис. 54).
Аиалик Заданное начальное давление позволяет считать гаэ идеальным. Рассмотрим графики всех про- ,'3 цессов в координатах р, 1р. Очевидно, что работа' будет тем 3 больше, чем выше пройдет кривая, ,е т. е. чем больше давление в течение процесса. Исходя иэ молекулярно- к кинетической теории давление определяется силой ударов молекул о Рис.
54 135 стенки и частотой ударов. Согласно основному уравнению кинетической теории, р — и 2 (и~) 3 2 Это уравнение есть следствие того, что сила, действующая на стенку сосуда, определяется (по абсолютному значению) числом ударов, испытываемых стенкой за некоторое время, и силой этих ударов. При изобарном 1 — 2 процессе расширение происходит при непрерывном увеличении температуры, что соответствует увеличению силы отдельных ударов, испытываемых стенками сосуда. Частота ударов уменьшается вследствие увеличения объема так„что давление остается постоянным.
При изотермическом 1 — 3 процессе кинетическая энергия молекул не изменяется и давление уменьшается только в результате уменьшения числа ударов, испытываемых стенкой. Пря адиабатном 1 — 4 процессе кинетическая энергия молекул, отдаваемая движущемуся поршню, не пополняется извне. Поэтому адиабатное расширение происходит при более резком; чем при постоянной температуре, падении давления (уменьшаегся и частота ударов, и сила ударов).
Решение, Работа газа при нзобарном процессе Аз = Р (Р— Р ) = 1000 Дж При изотермическом процессе конечное давление рз = р)«/Ъз= 0 6.10' Па. Работа газа »'» »'» Ге« А = рйу рК~ — =р)«1п -ь=690Дж. 13 ~,~ у ! »» При адиабатном процессе конечное давление р,= р,~;/у,). Азот — двухатомный газ„поэтому 7 (Г + 2)/1 - 1,4. Тогда р = 0,38.
10' Па. Работа, совершаемая газом при аднабатном расширении, равна убыли внутренней энергии: А„— Д(Ги = — -1Г(Т, — Т,). и$ Из уравнения Клапейрона — Менделеева, написанного для начального и конечного состояний, получаем: — 1ГТ, = р,ӄ— ЛТ, = Р,У,. Подставляя эти выражения в формулу для работы, находим А„= — (р,»«, — р,~;) 600 Дж.
Звалчв 9.3. Рассчитать, во сколько раз изменится число ударов, испытываемых 1 смз стенки сосуда за 1 с при двукратном увеличении объема двухатомного идеального газа в случаях изобарного, изотермического и адиабатного рйсширений. Аяалвз. Число ударов, испытываемых 1 см' стенки сосуда за 1 с, прямо пропорционально концентрации л молекул и их средней скорости (о). Концентреция молекул обратно пропорциональна объему газа; скорость прямо пропорциональна корню квадратному из температуры. Следовательно, отношение числа ударов, испытываемых стенкой после расширения, к начальному числу ударов ь»» «(«,)» где «,, T и Т„Т, — объемы газа и термодинамические температуры в первом и втором состояниях соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
