1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е. полной равноправности всех направлений вектора чо Хч, 0 и последнее слагаемое в правой части (2) обращается в нуль. ' Первое слагаемое можно представить как зго(иг)г/2. Тогда поступательная кинетическая энергия молекулы во время движения сосуда (яг ) зга(о)1 2 2 Очевидно, и средняя полная кинетическая энергия молекулы во время движения сосуда может быть выражена аналогичной суммой: (Ж~)' (И' ), + т и'/2. (3) 11В Здесь первое слагаемое есть средняя полная энергия хаотического движения молекулы, равная 13Т,/2. После остановки сосуда (го~о)" ч (Иго)г (1/2)аТг.
(4) Если учесть сделанные в условии задачи оговорки, свидетельствующие о том, что сосуд не участвует в энергетическом баленсе, то (оч )' (Яг ), т. е. при остановке сосуда кинетическая энергия направленного движения каждой молекулы полностью переходит в энергию хаотического движения. Сравнивая (3) и (4), получим й()ро) (1Уо)г ()То)г вгои /2 (б) Выражение (5) позволит найти искомое приращение среднего квадрата скорости теплового движения молекул. Рзвгекие. Из выражения для средней энергии поступатель- 3 ного движения молекулы эг (иг)/2 — )гТ следует, что (э2) - 3ЪТ/био.
Средняя полная кинетическая энергия одной молекулы (Ят ) ()гТ/2. Совместное решение двух последних уравнений дает (ог) б(твг )/(йв ). Тогда изменение среднею квадрата скорости 6 гг(о ) (о )г (о )г гг(~ о) гзг Учитывая выражение (5), находим Ь(иг) - Зиг/г Для одноатомного газа (1 3) Ь(ог) иг. Для двухатомного газа (Е = 5) Ь(иг) = О,би'. Зааача 3.4. Площадь окна 3 - 2 и', расстояние между рамами 1 = 0,2 м. Наружное стекло имеет температуру г, = — 10 'С, внутреннее — гг 20 'С.
Давление воздуха между рамами атмосферное„а температура его линейно изменяется вдоль 1 от Фг до гг. Определить полную энергию молекул и полное число молекул воздуха между рамами. 119 120 а))о' — ! — ' — 3 бх. )о(то + ох) Анализ. По условию задачи, воздух находится в неравновесном- состоянии, так как температура изменяется вдоль оси ОХ (рис. 47). Согласно молекулярной теории, это 0 значит, что концентрация молекул в различных частях объема может быть различной, молекулы не подгис. 47 чиняются максвелловскому распре- делению по скоростям.
Однако ни температура граничных слоев, ни распределение температуры в объеме воздуха не изменяются со временем (стационарные условия). Это позволяет предположить, что в пределах достаточно тонкого слоя дх, находящегося при некоторой температуре Т, молекулы подчиняются максвелловскому распределению по скоростям и средняя кинетическая энергия одной молекулы такого слоя (ого) 1)от/2 (1) (1 5 — число степеней свободы молекул воздуха, в основном состоящего из двухатомньпс газов)..Концентрация молекул в пределах такого тонкого слоя и р/()аТ), (2) где р — давление газа, одинаковое во всем рассматриваемом пространстве.
Выражения (1) и (2) позволяют найти полное число й)1) молекул и их полную кинетическую энергию боУ' в пределах слоя толщины дх! Й)о= иЯдх, (3) бц - (И;)6)7. (4) Интегрируя выра!кения (3) и (4) по всем слоям, можно найти искомые значения Ф и %'. Рви!ение. Прежде чем подставлять в равенство (3) выражение (2), следует найти в явном виде Т (х). По условию задачи, Т(х) Т, + ах, (5) где а — некоторая постоянная. Подставив выражения (5) и (2) в (3), получим Тогда полное число молекул ! (6) 2 Я То+ах Йа о Постоянные Т, и а можно найти из равенства (5) и граничных условий: цри х = 0 Т Т, (где Т, 1, — 273 'С), следовательно, То= Т;1 при х = 1 Т Т (где Т = 1, + + 273 С), следовательно, Т, Т,+ а), откуда а (Т,— Т,)/1.
Подставим полученные значения в выражение (6), учитывая, что р 1,01 10'Па: М вЂ” — )и ~ 1,06 10!а. ~та -т!) Т! Для нахождения полной энергии всех молекул подставим выражения (1) — (3) в формулу (4): 6%' = — )ат — Я бх = -рЯ «)х. р 2 )ат 2 Давление одинаково во всех точках рассматриваемого пространства, поэтому ! )о' — рЯ~дх = -РЯ = 1,0 10 Дж. 2 Э 2 о Заавча 6.5. Рассчитать среднюю длину свободного пробега молекул азота, коэффициент диффузии и вязкость при давлении р = 10' Па и температуре 1 = 17 С.
Как изменятся найденные величины в результате двукратного увеличения объема газа: а) при постоянном давлении; б) при постоянной температуре7 Эффмотивньай диаметр молекул ааота о( 3,7 10 о см, Анализ. Средняя длина свободного пробега Л и коэффициенты переноса могут быть рассчитаны по следующим формулам: Л= 1/)( )За)'и), Э Л(о)/3, (2) (3) оа Л(о)ивао/3' Здесь и — концентрация молекул газа; (о) — средняя скорость молекул; эа — масса одной молекулы.
121 Концентрацию молекул по заданным значениям давления и температуры можно определить из уравнения Клапейрона— Менделеева: р = яйт. (4) Выражения (1) — (3) имеют смысл, если длина свободного пробега, рассчитанная по формуле (1), много меньше линейных размеров сосуда. Поскольку начальное давление газа — атмосферное, можно утверждать, что это условие выполняется, хотя размеры сосуда и не оговорены в условии задачи. Решение. Выражая концентрацию из уравнения (4) и подставляя ее в (1), получим )с= йтЯяййр) б,б 10 э м. Для Расчета коэффициента диффузии цо формуле (2) можно воспользоваться полученным результатом, определив пред- Р" ~л ю * м дВУ/(д-ОО~ Тогда Р - 1,0 10 ' м'/с. Для расчета В подставим в выражение (3) формулу (1): 1 1 Ч вЂ” я - (о), 3„~77 э где тэ Ч/К„. Окончательно Ч = — —, = 1,2 10 ' кг/(м с).
1 1 в(с) (б) Как видно из выражения (1), длина свободного пробега зависит только от концентрации молекул. При двукратном увеличении объема концентрация уменьшается вдвое. Следовательно, при любом процессе Х/Х, 2. Индексы 1 и 2 соответствуют состояниям до и после расширения газа. В выражение коэффициента диффузии входит не только длина свободного пробега, но и средняя скорость. Следовательно, При постоянном давлении объем прямо пропорционален т термодинамической температуре: — — = 2. Таким обрат, зом, — = 2ч2 . При постоянной температуре 1), г )), — — я=2.
Ээ З, Х, Вязкость, как видно из выражения (б), зависит только от скорости молекул, следовательно, и от температуры (все остальные величины, входящие в выражение (б), постоянны), ь, ~т т. е. — ~-~- . Это значит, что при постоянном давлении ч '(т Чз,/2 Ч1 При постоянной температуре коэффициент ц не изменяется.
— - /(х) бх. 41У К (1) Доля молекул, длина свободного пробега которых находится в диапазоне от х, до х,, может быть найдена интегрированием выражения (1) в указанном пределе: — = )'/(х)дх. Ь1У Ф На рис. 48 искомая доля молекул численно равна заштрихованной площади. (2) Зааача 8.6. Функция распределения молекул по длинам свободного пробега х' имеет вид / (х) Ае '",'где А и й— некоторые коэффициенты. Определить относительное число молекул, длина свободного пробега которых либо меньше ), либо заключена в диапазоне от Х до 2Х, где Х вЂ” средняя длина свободного пробега. Анализ.
Заданная функция распределения позволяет найти число ЙЖ молекул, длина свободного пробега которых лежит в пределе от х до х + бх, отнесенное к общему числу У молекул: 123 Использование формулы (2) воз. можно только после того, как будут определены значения постоянных коэффициентов А и й, что может быть сделано из условия нормировки и по известной средней длине свободного пробега. Условие нормировки сводится к Х тому, что при расширении пределов интегрирования от 0 до со ] /(х) Йх = 1.
о (3) (х) = Л = — ~ х йдг, 1 г оо где (гг) под знаком интеграла означает, что суммирование 1 и ит проводится по всем молекулам. Подстевляя ддг нэ раве э равенства ( ) и учитывая, что при суммировании по всем молекулам длина свободного пробега может принимать любое значение от 0 до сс, получим (4) Л= ] х/(х) о)х. о Р еиоэкие. Подставим в уравнения (3) и (4) заданное выра- женив Функции / (х) и проведем интегрирование: '1 1 ( 4 "бх — 1 о ао 124 Действительно, число молекул, длина свободного пробега которых лежит в пределах от 0 до сс, есть общее число молекул, т. е. 61о = 2/] /(х) о(х № (Таким образом, вся плоо щадь, ограниченная осями координат н графиком /(х), численно равна единице.] Средняя длине свободного пробега Второй интеграл может быть взят интегрированием по частям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
