1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Решение. Координаты точки В: х (/2, у Ь, Координаты точки С: х (+ а,'у О. Подставляя их в выражения (1) и (2), находим потенциалы и проекцви вектора напряженности в указанных точках. В точке В: Ф= 9 2 =18В, Е О, 4хза Р/4+ Лз Е„ = — Ь , 180 В/м. 4( 2 4лзз ((3/4+ ЛЗ) 164 166 р= — ~ — о-~-И В, 4) 4еео 1+ а (х < 0). с/з а,д х 4 4 а) Рис. 67 4хео )е/4 уе ' сеу 2хео()е/4+ уз) Е )1 4яео 1хе (1-х) а, 1 а) з Рек. 66 18т 188 В точке В вектор напряженности направлен вверх параллельно оси 01; по модулю Е Е„180 В/и. В точке Сс Е = — ~ — + — ~ 280В/м,Е О.
ОГ 1 1) 4аео ((1+а)~ ае~ У При расчете Е, (см. (2)) в точках, где х > ), у О, выражения (1 — х) < О, ((( — х)' + уе)ем (! — х !е. В точке С вектор напряженности направлен вправо вдоль оси ОХ, црк этом Е Е, = 280 В/м. Для точек, лежащих на прямой, соединяющей заряды, у Ои Для этих точек у > 0 при любом х; ср - со при х - 0 и х — с. Очевидно, что в области 0 < х < 1 потенциал имеет минимум. Из выражения Е„для точек у 0 видно, что ~р = )р„(Е, = 0) при х 1/2. Примерный график ф(х) для этой прямой иаображев на рис. 66, а.
Для точек у 0 (см. (2)) В соответствии с этим выраже- нием (0<х <с), причем Е„> О, если х < с/2; Е„< О, если х > с/2; Е- — ( — + —, О( 1); 4хео (хе (1- х) Е 0 х 4аео (1+~а))е~ Напряженность терпит разрыв в точках х О их-1, причем Е, х хсо,солих- О,иЕ Тес,если х с. График Е,(х) для прямой у 0 показан на рис. 66, б. Для точек, лежащих на прямой ЭВ, х 1/2 и выражения (1) и (2) принимают такой вид: Очевидно; что ср > 0 при всех значениях у, знак проекции Е„определяется знаком ордннаты у. При у х ЬГ2/4 = 3,5 см производная с(Ее/с)у = 0 и, следовательно, Е„имеет экстремальные значения. Соответственно, для ср(у) это будут точки перегиба.
Примерные графики ср(у) и Е„(у) показаны на рис. 67 а, б. Зваача 11.3. Тонкий стержень длины ! - 10 см равномерно заряжен зарядом 9 = — 3 10 ' Кл (рис, 68). Найти напряженность поля н потенциал в точке С, лежащей на оси стержня. Расстояние от середины стержня до атой точки хо = 20 см. Определить, при каком наименьшем аначении хо/с напряженность можно рассчитывать по формуле поля точечного ааряда, если относительная погрешность не превышает 6%. Анализ. Электростатическое поах с ле создано зарядом, распределенным по тонкому стержню.
Конфигурация а х зарядов не позволяет установить точное расположение силовьвс линий в Рис. 68 б!р сЩ/(4~з г), з 4«сзг' ен (2) г хс — х. (б) (4) Для хс 20 см <рс - — 138 В. 169 166 пространстве, поэтому для определения характеристик поля следует использовать принцип суперпознции. Разобъем стержень на элементарные участки длины сц с варядом Щ. Каждый такой участок можно принять за точечный заряд, создающий потенциал где г — расстояние от элемента 4( до точки С. Потенциал результирующего поля где (9) показывает, что интеграл берется по всему заряду (?, создающему поле.
Поскольку требуется найти напряженность и потенциал поля в точках, лежащих на оси стержня, введем ось ОХ. Тогда длина элемента 41 = !(х, положение элемента определяется его координатой х, а расстояние от этого элемента до точки С Вследствие симметрии очевидно, что в точках, лежащих на оси ОХ, вектор Е направлен вдоль этой оси, по- этому Е„- — бр/б, Е„- Е, - О. (8) Реженяе. Равномерное распределение заряда по стержню позволяет утверждать, что 49/б( 9/(, откуда 49 (9/1)б(. Так как <(( !(х и при интегрировании по стержню переменная х изменяется в пределах от — 1/2 до + 1/2, то согласно (1) и (2) Производя интегрирование, получаем х+ 1/2 44пзс( х - 1/2 Расстояние хс в выбранной системе координат представляет собой абсциссу х точки С, н выражение (4) можно записать как функцию координаты х: ~ +1/2 !р = — 1п —.
4«зс( «с - 1/2 ' Тогда 4е О Е (б) бх 4«зз( (,Х-(/2 х+(/2/ Поскольку заряд 9 < О, то Е < 0 н Š— Е„если х > 1/2 (справа от стержня), Е, > 0 и Е Е„, если х < — 1/2 (слева от стержня). Следует заметить, что формулы, выведенные для потенциала и напряженности, справедливы только для ~ х ) > 1/2. Подставляя х - хс = 20 см в (б), получаем Ес = "!20 В/м, причем вектор Е направлен противоположно направлению оси ОХ. Чтобы ответить на второй вопрос задачи, проанализируем выражение (5). Очевидно, что пренебречь 1/2 по сравнению с х нельзя.
В этом случае напряженность электрического поля обратится в нуль, Преобразуем выражение, стоящее в скобках: приведем дроби к общему знаменателю, после чего вынесем в знаменателе хв за скобки: 1 1 '( Я 2 -1/2 +(/2 з 1 (з/ 4 ~ «з [ 4«э ( [последнее преобразование возможно, если членами, содер- жащими 1/(2х) в степени, большей 2, пренебречь(. Таким образом [см. (5)), По приближенной формуле напряженность поля точечного заряда з.
Я (у) 4язах~ ' Здесь, кзп я при расчете пстеппивпа, зпвк Е, автоматически определяется знаком заряда Ц. Из сравнения выражений (6) и (7) видно, что погрешность приближенного расчета Е - Е„р„о,( 12 ЬЕ Е 4хо' По условию ЬЕ = 0,05, следовательно, х /1 т'5 = 2,2, т. е. даже при таком небольшом удалении от стержня можно пользоваться приближенной формулой напряженности поля точечного заряда, если допустимая погрешность 5%. Задача 11.4.
Положительный заряд ог равномерно распределен по тонкому проволочному кольцу радиуса Е (рис. 69). Определить напряженность поля и потенциал в точке С, лежащей на оси кольца на расстоянии г от его центра. Изменятся ли эти величины, если нарушить равномерное распределение заряда по кольцу? Аиахиа Поле создано зарядом, распределенным по тонкому кольцу заданного радиуса. Оно не обладаег достаточной симметрией даже при равномерном распределении заряда (нельзя указать точную конфигурацию силовых линий)„поэтому для расчета напряженности и потенциала поля можно использовать только принцип суперпозицин.
Разобъем кольцо на элементарные участки. Каждый такой участок можно принять за точечный заряд Щ Потенциал созданного им поля фр Щ/(4ло г), где г — расстояние от элемента сЩ до точки С. Потенциал результирующего поля получим интегрированием выражения (1): (2) ии Если ввестк оси координат, то проекции вектора напряженности на оси координат можно определить дифференцированием полученного выражения для потенциала по соответствующей координате. )Решение. При переходе от одного элемента кольца к другому рис е9 г = тВо + го не изменяется.
Тогда выражение(2) можно пре- образовать: 1 4лоо(Во + го) Очевидно, что ~ Щ Ц независимо от характера распреие деления заряда. Следовательно, как в случае равномерного распределения заряда по кольцу, так и в любом другом случае в точках, лежащих на оси кольца, потенциал 4) 'Р по 4лоо(В~ + го ) (3) Проекция вектора напряженности на ось ОЯ Е, ар 4)г 4лоо(Во + зо) (4) Зааача 11.5. В вакууме имеется скопление зарядов в форме длинного цилиндра радиуса Во = 2 см (рис. 70). Объемная плотность зарядов р постоянна и равна 2 мкКл/м'.
Найти напряженность поля в точках 1 н Л, лежащих на расстояниях При равномерном распределении заряда иэ симметрии его следует„что вектор Е направлен вдоль осн ОЕ, т. е. Е, Е„О, Е = Е,)г. При г > О, если заряд положительный, Е, > 0 и вектор Е направлен по оси ОЕ, т. е. вверх. В области г < 0 Е,< 0 и вектор Е направлен против оси ОЯ, т. е.
вниз. При неравномерном распределении заряда ио кольцу выражения (3), а следовательно, и (4) не изменятся, во Е, и Е„ не обратятся в нуль и будут существенно зависеть от характера распределения заряда. При этом, чтобы найти Е„и Е„в точках, лежащих на оси ОЯ, следует определить потенциал в произвольной точке пространства (х л О, у л 0), затем дифференцированием получить выражения для Е„и Е„и только после этого подставить х О, у О. Таким образом; при нарушении равномерного распределения заряда потенциал точки С останется прежним, а напряженность изменится. 1?О фибЯ = ~'~.
оо (2) 172 г, -1 см, г, = 3 ем от оси цилиндра, и равность потенциалов между этими точками. Построить графики Е,(г) Анализ. Поле создано зарядом, равномерно распределенным по объе' г1' 8 му. конфигурация зарядов поаволяет считать, что поле обладает осевой симметрией: силовые линии — прямые и в любой плоскости, перпендикулярной оси цилиндра, радиальны.
Рис. 70 (Очевидно, что вблизи концов цилин. дра и при очень больших г силовые линии не будут радиальны.) Предполагаемая симметрия позволяет искать напряженность поля с помощью теоремы Гаусса. Вспомогательной поверхности следует придать форму цилиндрической поверхности, коаксиальной заряду. Длина этого цилиндра может быть произвольной, но заведомо много меньше, чем длина заряженного цилиндра, в противном случае предположение о плоскорадиальной структуре поля несправедливо. Разность потенциалов можно найти, используя выражение напряженности поля как функции координат: о о 21, — Чъо ~Е оП = ~Е„о)г., (1) 1 1 Очевидно, что разность потенциалов двух заданных точек не зависит от выбора начала отсчета потенциала.
Однако по условию задачи требуется еще построить график зависимости у(г). Для этого надо предварительно выбрать начало отсчета потенциала. Иэ приведенных выше соображений о симметрии поля ясно, что оно не может находиться в бесконечности. Решение. По-видимому, характер функциональной зависимости Е(г) для точек, лежащих внутри и вне объемного заряда, рааличен. Поэтому следует провести две вспомогательные цилиндрические поверхности Я, и Я, с радиусами г, < Во и г, > В . Для каждой поверхности теорема Гаусса может быть записана в виде Е„рВ,'/(2о,г). Подставляя в (5) г - г, и в (6) г = г„находим: Е, 1,1 ° 10' Б/м; Е, 1,5 10' В/м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
