1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Из (»), (9) и (10) следует: Е, Э, 0 (г<В,иЯ,<г<В). (12) Так как Е, (нормальная составляющая вектора напряженности) терпит разрыв на всех заряженных поверхностях, т. е. при г = В„г В„г = Ве и г = В„то интеграл в вырежении (2) необходимо разбить на четыре: е» е е» 191 = ()Е, йг + ~Е„йг + ~Е„йг + ~Е, йг. Подставляя сюда соответствующие вырзлеения из (11) и (12) (при этом третий интеграл обратится в нуль), получаем а [» а [а а, ° а 4ле е га 4ж гв 4ле г о я о о По условию задачи, е»1 = О, откуда 11 — ЧВ~ — ~ — — — ~+ — — — + — ~ = — 3 ° 10в Кл е Ве Ве Ве Яе В» Следует заметить, что ~ 19 ~ > ее„позтому Е, < О, если г > Я„ т. е. вектор Е направлен к центру системы. По условию, радиус-вектор г совпадает с направлением внешней нормали ко всем поверхностям, заряженным свободными или связанными зарядами, т.
е. Е, Е„, 11, 11 . Как следует из теоремы Гаусса, нормальная составляющая вектора Р терпит разрыв только на поверхностях металла— поверхностях, заряженных свободными зарядами; нормальная составляющая вектора Е терпит разрыв на любой заряженной поверхности. Значения поверхностных плотностей связанных зарядов а1' (при г В,) и «7' (при г = В,) найдем по изменению нормальной составляющей вектора Е, используя выражен кя (11). На поверхности В, ЬЕ = Е,(В + 0) — Е( — О) и 1 1 4леоеВе Поверхностная плотность свободных зарядов и = (41/(4лВ71), тогда [см. (3)) На поверхиости В, ЬЕ„Е, (Вз + 0) — Е,( — 0) = Снободиых зарядов ва атой поверх»ости вет, тогда [см.
(3)) ~~а 4 з з Согласно формулам (13) и (14), а,' — 3,0'10 з Кл/м'; и' О,Тб 10 з Кл/мз. Легко нидеть, что суммарные Гас 89 связаввые заряды (и,' ° 4кВз) ва этих воверхвостях равны и протил1 л" яЗ 114 воположиы по знаку. На основании (7), (9), (11) и (12) можно построить (рис.
80) графики зависимости 1),(г) и Е,(г). График зависимости ~р(г) построим из аивлиза графика Е„(г). При г < В, .Е, О, следонательво, ~в(г) сопз$ 0(по условию), В области В, < г < В, Е„> О, следовательно, йр/бг < 0 и <р(г) убывает с ростом г, кринэя <р(г) обращена вогвутостью вверх. В области В, < г < В, Е„= О, фг) = сопз1 (график имеет вид горизовтальвой прямой). При г > В» Е, < О, следователь»о, Йр/бг > О, ~р(г) нозрастает с ростом г, причем при г - со фг) - О. В точках г В,„г = В„г Вз, г В„где Е,(г) терпит разрыв, ва графике ~р(г) — точки излома (рис.
81). Зааяча 12,5. Плоский слой из диэлектрика с диэлектрической провицаемостью з раввомерво заряжев с объем»ой плот»остью р > 0 (рис. 82). Толщи»а слоя й Определить разность потенциалов между серединой слоя и его поверхво- 194 стью, между поверхностью и точкой, лежащей ва расстоявии ( от середивы слоя. Построить графики зависимостей В,(х), Е,(х), Р,(х) (Р— вектор поляризации) и фх), где х — рас-,ц стояние от середины слоя до рассмат- 14 риваемой точки, отсчитываемое по перпевдикуляру.к слою.
Аиаляз. Если ливейвые размеры боковых понерхвостей слоя весоиз- г с.вг меримо больше его толщины, то можво предположить, что в точках, достаточно удаленных от краев слоя, как ввутр» него, так и вве (вблизи), силовые линии — прямые, расположенные нормально к боковым поверхиостям слоя. Такая плоскосимметричвая ковфигурация поля позволяет найти напряженность с помощью теоремы Гаусса. Зная напряженность поля как функцию координат, можно определить разность потенциалов между задаввыми точками. Поскольку объемный заряд распределен по диэлектрику, следует применять обобщеввую теорему Гаусса.
Чтобы найти электрическое смещение Э и напряженность Е ввутри и вве слоя, проведем две нспомогательвые поверх»ости Я, и Я, н виде цилиндрических поверхностей, торцы которых параллельиы сред»ей плоскости слоя, симметричвы относительно вее и ааведомо меньше по площади. Теорема Гаусса позволяет найти вектор Э как Функцию коордиват, а из соотвошевий В зсеЕ, В = з~Е+ Р (2) можно найти напряженность и вектор поляризации как Фуикции координат. Зная вапряжеввость поля как функцию координат, можво по интегральным формулам рассчитать искомые разности потевццалов.
195 Решение. Рассмотрим левую часть уравнения (1). Как следует нз плоскосимметричной конфигурации поля, во всех точках боковых поверхностей Я, н Я, векторы Р и ЙЯ взаимно перпендикулярны (ВОЯ вЂ” = 0); на торцовых поверхностях векторы В и 68 коллииеариы и В «)Я В а)Я. По- этому ~1) 68 - ~В 6Я - 2ВЯ, (3) Ж=Я, 2~хор. Учитывая равенства (3) и (1), получаем В.2Я, Я, й~х~р, отсюда В р ~ х ) и В„= рх (В„= В, = 0). (4) Сумма свободных зарядов, охваченных поверхностью Я, (! х ~ > 1/2), уже не зависит от координаты торцов и 2ф = Я,1р. Тогда В.2Я, Я,(я, откуда В р!/2 и В, = р(х/(2~ х ~) (В„= В, = 0).
(Ь) Знак В, в выражениях (4) и (5) определяется знаками координаты х и объемной плотности р. 19б где Я, — площадь основания (торца) вспомогательной поверхности интегрирования, Равенство (3) справедливо потому, что оба торца располагаются симметрично относительно заряженного слоя и В во всех точках обоих торцов можно считать постоянным. Индексы 1, 2 показывают, что все проведенные рассуждения справедливы как для первой Я„так и для второй Яз поверхностей. Сумма свободнЫх зарядов, охваченных поверхностью Я„ очевидно, зависит от высоты )а этой цилиндрической поверхности. Если ввести осъ ОХ, то Ь 2~ х ~, где х — координата любого из торцов.
Для поверхности Я, (~ х ~ < 1/2) Подставляя выражения (4) и (б) в (2), получаем; Е„(! х ! < 1/2), аоа (6) 2 (х~ О х ~ > 1/2)' Е =Е=О' а о ° 1') Р рх[1- — ~ (~ х ~<(/2), Р, 0 (( х ( >!/2), (7) Р, Р, 0 О. Выражения (6) позволяют найти разности потенциалов: з ла ~Е а)х — за ха)х Г 91з М ооо 3 ба а 1 о 3 Г/ - ~Е бх - — ~ ах - —. 91 Г ра а * 2 во аа зао з оа Графики В„(х).
ЕЯх) и Р,(х), постРоенные по выражениям (4) — (7), показаны иа рис. 83. На границах слоя терпят разрыв Е, и Р„(нормальные составляющие векторов Е и Р), но не терпит раврыва В,. Следователъно, на поверхностях диэлектрического слоя, заряженного по объему, поверхностная плотность свободных варядов равна нулю, но вследствие поляризации диэлектрика возникают связанные заряды. Твк как ЬЕ, аз '/а„то на обеих поверхностях слоя поверхностная плотность связанных зарядов о ' > О. Отсюда ясно, что в толще слоя должен существовать отрицательный связанный заряд (суммарный связанный заряд равен нулю).
График аз(х) можно построить по графику Е,(х). Так как плоскосимметричная конфигурация поля не сохраняется на больших расстояниях от слоя, то начвло отсчета потенциала нельзя выбрать в бес- 197 конечности, Предположим, что <р 0 на средней плоскости слоя (х - 0). Во всей областях>ОŠ— — >О, — <О, Ьр бр бх ' бх следовательно, фх) убывает с ростом х. Во всей области х < 0 ń— — < О, — > О, бр бр бх ' 4х Рнс 94 следовательно, ср(х) убывает с ростом ~ х ~. Таким образом, кривая с~(х) симметрична относительно начала координат и в точке х 0 имеет максимум (Е„= — — = 0), В области ~ х ~ < — — < 0 и кривая 4р Жр бх 2 4хз обращена вогнугостью вниз.
В области ~ х ~ > — Е„сопз1, следовательно, ф(х) — линейная функция. Точкам ~ х ~ 1~2, где Е„терпит разрыв, на графике ~р(х) соответствуют точки излома (рис. 84). Заэлча 12,6. В пространстве, наполовину заполненном парафином (з 2), создано однородное электрическое поле, напряженность которого в воздухе Е, 2 В~м. Вектор Е, образует угол а - 60' с границей парафин — воздух, которую можно считать плоской (рис. 85).
Определить векторы электрического смещения, напряженности и поляризации в па- рафине. 6 Анализ. В условии источник поля не задан, однако известны модуль и направление вектора напряженности,а следоэац тельно, и вектора электрического смещен няя в воздухе. Поэтому цель задачи сводится к тому, чтобы выяснить, как изменяются векторы Р н Е при переходе через П:„ц границу диэлектрика. Связь между векторами Е и Р определяется соотношениями Р„ее Е;, Р, зерЕ; (ц индексы н и т обозначают нормальные касательные составляющие векторов (по отношению к границе диэлектрика).
гнс. 95 гэе Нормальная составляющая вектора Р при переходе через границу диэлектрика не изменяется: Рм = Р„м (2) где индекс 1 соответствует точкам, находящимся в воздухе; индекс 2 — точкам, находящимся в парафине. Это соотношение позволит определить изменение ыормальной составляющей вектора Е при переходе через границу. Касательная составляющая вектора напряженности не терпит разрыва прн переходе через границу диэлектрика: Еа Еа' (3) Это соотношение позволит определить изменение касательной составляющей вектора Р при переходе череа границу.
Зная нормальные и касательные составляющие векторов Е и Р, можно найти модуль и направление этих векторов в парафине. Вектор поляризации Р определим из выражения (4) зеЕ+ Р Р. Соотношение (2) может быть получено применением обобщенной теоремы Гаусса. Вспомогательная поверхность должна иметь форму цилиндра, торцы которого расцоложены параллельно границе раздела, по обе стороны от нее н сколь угодно близко к ней. Соотношение (3) может быть получено из условия, что циркуляция вектора Е равна нулю. Контур интегрирования должен иметь форму прямоугольника, две стороны которого расположены параллельно границе раздела по обе стороны от нее и сколь угодно близко к ней. Решение. Вектор Р, коллинеарен вектору Е, (направление последнего задано). Считая, что электрические свойства воздуха практически совпадают со свойствами вакуума, находим 1,77 ° 10 "- Кл/м'. 199 Очевидно, что вектор поляризации в воздухе Р, О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
