1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Суммарная разность по- г», зэ теициалов между обкладками этих конденсаторов равна разности потенциалов между поверхностями 3 и 3, т. е, между обкладками конденсатора 1, в точности совпадающего с первоначально заданным конденсатором алектроемкостью С, - С, - ооБ/(. (4) Следовательно, конденсатор 1 подключен параллельно конденсаторам П и 111 (см. рис. 89). Общая электроемкость системы (см.
(3) и (4Ц Следовательно, энергия системы убывает. Начальная энергия системы — энергия заряженного конденсатора ~ о Со(/о /2 (1) где Со — электроемкость заданного конденсатора. Для того чтобы рассчитать конечную энергию системы, надо либо найти напряженности во всех трех областях, где существует электрическое поле (вне коробки поле отсутствует), и плотности энергии поля в каждой из указанных областей. либо найти емкость новой системы и ее заряд. В атом случае )У - ()'/(гс). (2) Решение. Воспользуемся вторым способом. Как уже было показано, заряды на поверхностях Б, 1; 4, 6 попарно равны и противоположны по знаку.
Это позволяет обе пары поверхностей рассматривать как заряженные плоские кон. денсаторы (П и Ш, рис. 89). Электроемкость каждого из них С» Св» ооЗП. (3) Поверхности б (нижняя обкладка конденсатора П) и 6 (верхняя обкладка конденсатора 1П) соединены между со- 206 воЯ(2Г+!) (5) С-С„'~,' '~!" 2Л Первоначальный заряд конденсатора о? - Со(/ после помещения его в коробку распределился между поверхностями 2 Яв конденсатор 1) и 1 (вгв, конденсатор П). Таким образом, заряд системы о9 = (ов + (о» Со(/о.
Подставив зто выражение в (2), найдем конечную энергию системы: )У ЦВ/(2С) (Со(/о)в/(2С) Тогда изменение энергии с учетом (1) Со'/о ( Со бди -)у — и' - — ( — -1). о 2 1С Учитывая (4) и (5), находим 8%' — оо8(/в /(2(в + 2в ')) — 8,85 ° 10 в Дж. Заавча 13.3.
Плоский воздушный конденсатор (8- 200 см', в, - 0,3 см) заряжен до разности потенциалов (/о - 800 В. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить 207 Р = Ег(е, (5) Е, и/(2гг) (?,/(2ееЯ), Р = з ЯУ,',/(21г). (2) ЬЯТ Уг(С вЂ” С )/2, г А' ) Р, бх, (4) (6) 209 расстояние между обкладками до 1г 0,5 см„ не отключая конденсатор от источника (рис.
90)? Аиализ. Конденсатор соединен с истоМ- ником„ поэтому прн любых манипуляциях разность потенциалов на его зажимах остается постоянной и равной У, прн этом заряд может нзменяться. Однородность поля между обкладками позволяет рассчитать силу взаимодействия Рг пластин. При раздвижении пластин внешняя сила Р равна и противоположна силе взаимодействия н ее работа С другой стороны, работу внешней силы можно определить из уравнения энергетнческого баланса: где Мà — изменение энергии конденсатора; А — работа, совершаемая источником.
Так как конденсатор соединен с источником, то изменение его энергии найдем по формуле где С, н С, — соответственно конечная н начальная емкости конденсатора. Работа, совершаемая источником, где ЬЦ вЂ” заряд, протекший через источник н равный изменению заряда на обкладках конденсатора. Следует отметить, что при расчете работы источника по формуле (4) знак работы определяется знаком /г9; работа источника положительна, когда он подает заряд на конденсатор, н в этом случае ЬЦ > О. Решение. Первый способ. Поскольку поле, создаваемое каждой нз пластин, на небольших расстояниях однород- но (следует предположить, что это сохраняется и прн рассто- янии 1 = 1,), то где Е, — напряженность поля, создаваемого одной из пластин; (е — заряд второй пластины.
Напряженность поля одной пластины где Ц, 4) — заряд пластины, создающей поле. Отсюда м' = 2е ЯЕ,. Подставляя это выражение в (5), получаем Р 2ееЯ)~~. (6) Напряженность поля, созданного одной пластиной, вдвое меньше напряженности Е между обкладками конденсатора. Благодаря однородности поля У - 22 = 2Е,1, откуда Е, У,/(21). Подставляя это выражение в (6), находим Как видно, сила взаимодействия между пластинами„а следовательно, и внешняя сила, раздвигающая пластины, прн напряжении Уг непрерывно изменяются с расстоянием 1.
Если ввести ось.ОХ и предположить, что перемещается отрицательная пластина конденсатора, то выражение (1) можно переписать: 1 где Р„Р; 1 х — координата второй пластины. Прн раздвижении обкладок х изменяется в пределах от 1, до 1г. 'гог- да ггЯУ ) 4~ еаЯУ /1 11 А' = — г~ — — а~ — - — ~ 4,2 мкДж. (7) 2 3 зг 2 ~Ц 1г,) В т о р о й с п о с о б . Из уравнения (2) А' ЬВ' — А Так как (/ сопз$, то изменение заряда конденсатора М (С вЂ” С~)У~ откуда (см.
(4)] А - (/з(С, — С,). Подставляя выражения (9) и (3) в (8), имеем А Уо (Сз С,)/2. Изменение электроемкости конденсатора (9) (1 С -С =аьЯ~ — — — ), 2 1 откуда При всвользозавви этих методов решевив веобходиио оговаривать медлеввость дзижевиа пластины. В первом случае это возэолает считать. что звешвяв сила зсс ерема резва по модулю силе взаимодействия пластик, во втором — что за зсе время дзижевия вапряже. иие ва обкладках конденсатора равно Уе тогда сила тока настолько мала, что можно ие учитывать потери энергии ва джоулево тепло. Задача 13.4. Воздушный конденсатор емкостью С, = 0,2 мкФ заряжен до разности потенциалов Ус 600 В. Найти изменение энергии конденсатора и работу сил поля при заполнении конденсатора жидким диэлектриком (а = 2).
Расчет произвести для двух случаев: 1) конденсатор отключен от источника; 2) конденсатор соединен с источником. Анализ. Работа А сил кулоножжого поля может быть в задаче рассчитана только из уравнения энергетического баланса: Ь)т — А +А 21О При внесении диэлектрика в алектрическое поле кон. денсатора силы поля совершают положительную работу независимо от того„отключен предварительно конденсатор от источника или нет. (Силы кулоновского поля поляризуют диэлектрик и втягивают его в область большей напряженности.) Таким образом, А > О, В первом случае за счет этой положительной работы сил поля энергия конденсатора умшп шается. Во втором случае напряжение на обкладках конденсатора остается неизменным, следовательно, при внесении диэлектрика заряд конденсатора должен возрастать.
Зто значит, что источник, посылая добавочный за- ряд конденсатору, совершает положительную работу и характер изменения энергии конденсатора заранее не известен. Очевидно, в первом случае Я сопз1) изменение энергяи удобно рассчитывать по формуле 0з(1 ЬИ~- — ~' — — — ), (2) 2 ),Сз С~!' во втором (У сопзь) — по формуле Пт МУ вЂ” ь(С вЂ” С ). (3) Поскольку диалектрик нацело ааполняет весь конденсатор, то независимо от его формы С, = зС,. (4) Ревыкиа. 1. Конденсшор предварительно отключен от источ- ника (А 0). Уравнение (1) с учетом (2) и (4) принимает вид 0'( 1 Ь)à — ~ — — — ~ — А . 2 (ЮС, С,,~ Заряд конденсатора (г С,Уь.
Тогда С,Уз (1 Мà — 2-~ — -1~ — 1,8 ° 10 з Дж; А, 1,8 10 з Дж. 2. Конденсатор соединен с источником. Изменение энер- гии по выражению (3) с учетом (4) С,У' Ь%' — 2-(е — 1) - 3,6 ° 10 ' Дж. (5) 2 Следует обратить внимание, что в атом случае, хотя силы кулоновского поля совершали положительную работу, энер- гия конденсатора увеличилась, что возможно только за счет ' положительной работы источника. Работа сил поля из уравнения (1) А А — Ь)т'. (6) Подставляя выражения (4) и (5) в (6) и учитывая, что А ЬЦ(/ь (/сз(С, — С,), получаем А, - С,(/сз(е — 1)/2 3,6 ° 10 ' Дж. Как видно, Ат > А„' это объясняется тем, что в первом слу ве по мере заполнения конденсатора диэлектриком силы поля ослабевают.
211 Заавча 13.5, Рассчитать энергию поля, созданного зарядом 13, равномерно распределенным в вакууме по объему, имеющему форму шара радиуса В (рис. 91), Найти изменение энергии при разделении заряда ве на два заряда 9/2, бесконечно удаленных один от другого. После разделения каждый из зарядов 4)/2 распределяется с той же объемной плотностью по объему, имеющему форму шара.
Аиализ. Заряд 9 создает электрическое поле как в области, занятой самим зарядом, так н вне ее. Полная энергия электрического поля )У= ~, бУ, (1) где плотность энергии электрического поля ш, ' е Ев/2. (2) Таким образом, решение задачи сводится прежде всего к нахождению напряженности поля, созданного данной конфигурацией зарядов. Идеальная сферическая симметрия позволит найти напряженность поля с помощью теоремы Гаусса: К ЙЯ вЂ” Х(3, 1 з зо где Я вЂ” площадь вспомогательной поверхности, которой, очевидно, следует придать форму сферы, концентричной рассматриваемому заряду. После разделения заряда аналогично может быть найдена энергия поля, создаваемого каждым из зарядов 9/2.
(Поскольку в условии оговорено, что после разделения заряды бесконечно уделены один от другого, их взаимодействием, а значит, и их взаимной энергией можно пренебречь.) При разделении заряда 13 силы поля совершают положительную работу (одноименные заряды отталкиваются), энергия системы уменьшается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
