1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 35
Текст из файла (страница 35)
ззз 4агоз 1 4згоз <) о (5) Аналогично, В В,+В+В . с(В = зз зсП х г/(4ягз), (2) С,Уз В!Вз =1!(г В )зозз/(2го). В-!В,-В,!, (2) Рззс. 1ЕО 233 234 При решении задач предполагаетсл, что студенты знают выражения для индукции простейших полей: поле прямого тока, бесконечно длинного и конечной длины, поле на осн витка и т. д. Ясли какая-либо нз этих формул неизвестна, то ее вывод следует предпослать решению соответствующей задачи. Задачи, в которых рассматривается действие магнитного поля на проводники с током, включают расчет силы Ампера, действующей со стороны магнитного поля на линейные токи, н работы, совершаемой при их перемещении.
Заавча 15.1. К тонкому однородному проволочному кольцу радиуса г, подводят ток 1. Подводящие провода, расположенные радиально, делят кольцо на две дуги, длины которых 1, и (3 (рис. 100). Найти индукцию магнитного поля в центре кольца. Анализ. Магнктное поле создается токами зз и зз, текущими по дугам 1, и )з кольца, и током 1, текущим по подводящим проводам: Каждое нз слагаемых может быть найдено на основании принципа суперпозиции и закона Био — Савара — Лапласа: где сз — вектор магнитной индукции поля, созданного элементом тока ЙП в точке, радиус-вектор которой г.
Токи в подводящих проводах не создают поля в центре кольца, так как для любого элемента сИ этих проводов 1 б) х г О. Векторы индукции В, и В магнитных полей, созданных токами з, и з, в центре кольца, как следует из выражения (2), направлены перпендикулярно плоскости рисунка и противоположны друг другу. Следовательно, искомая иидукцня магнитного поля в центре кольца где В, н В, могут быть найдены применениемм выражения (2) и принципа суперпозицяи к каждому из токов $, и з,.
Решения Запишем закон (2) в скалярном виде: бв )з збзз(п а/(4хгз). ° (4) В центре кольца для каждого элемента тока г = го; сз = с)1, г я/2. Все элементарные с(В полей, созданных элементами тока !зб(, коллинеарны между собой, и интегрирование выражения (4) цо дуге (, дает Вз " Иозз(зЛ4кго). Подставляя выражения для В, н В, в (2), получаем В )з ~ (з(з — зз(з ~/(4лг'). Соединение проводников 1, и 1 — параллельное, сопротивление каждого из них прямо пропорционально длине (по условию, кольцо однородное).
Это значит, что силы токов 1, н з, обратно пропорциональны сопротивлениям В, и В„т. е. обратно пропорциональны длинам дуг 1, н 1,: Следовательно, зз(з зз1„и индукцня магнитного поля в центре кольца В О. Очевидно, что если в выражении (5) заменить длину дуги 1, длиной окружности 1 2кг, то получается известное выражение индукции в центре витка, обтекаемого током з;. Ззаача 15.2. Бесконечно длинный прямой проводник, по которому течет ток силой Х = 5 А, согнут под прямым углом (рнс. 101). Найти индукцию магнитного поля на расстоянии а 10 см от вершины угла в точках А и С, лежащкх соответственно на биссектрисе прямого угла и на продолжении одной из сторон.
Анализ. В любой тачке нндукция магнитного поля может быть найдена как векторная сумма индукций полей, созданных токами, протекающими по двум частям 1 и 2 провода." В В,+В. Согласно условию, проводник бесконечно длинный, что позволяет не учитывать магнитное поле, создаваемое токами в подводящих проводах, идущих к источнику. Модуль индукции магнитного поля в любой точке, создаваемого каждым из проводников, может быть найден по формуле поля прямого тока: В = )сб?(соз а, — соэ аэ)/(4яг), где г — расстояние от проводника до точки М: а, и а,— углы, образуемые радиус-векторами К, и К„проведенными от концов проводника к точке М, и самим проводником (рис.
102). В точке А, как следует из закона Био — Савара — Лапласа, векторы В, и В, нэлравлены одинаково и перпендикулярны плоскости рисунка. Следовательно, (2) в„= в,„+ в В точке С проводник 1 поля не создает, так как для любого элемента этою проводника Ы1 х г О. Поэтому (3) Вс В|с' Решение.
Вследствие симметричного расположения точки А относительно частей проводника В,„= Вы„поэтому [см.'(2)] (4) В„2В сФ э Рис. 102 Рэс. 1О1 220 Из рис. 101 видно, что для точки А г = а еоэ (х/4) - а Г2/2; , а, = 0; соэ а,„ = 1; аь, = а = Зх/4; соэ а, = — т'2 /2. Тогда [см.
(1) и (4Ц )с) [ б2) В = „~1+ !=24 10'Тл. хзб2~ 2 ! Для точки С г' = а; а, = а, = х/2; соэ а, О," а , - я; еоэ а, = — 1. Тогда [см. (1)и (3)) Ве - р 1/(4яв) 0,5 ° 10 ' Тл. Если студентам неясно, что а,„= О, а, = я, то это можно показать, соединив точку А с нижним концом провода 1 (или точку С с правым концом провода 2). Тогда видно, что при бесконечном удлинении проводов а,„- О, а,с - я. Зэаача 15.3. Соленоид длины 1 имеет Ф витков диаметром с( каждый, по которым течет ток силы 1 (рис.
103). Витки расположены вплотную друг к другу так, что плоскости их перпендикулярны оси соленоида. Найти индукцию магнитного ноля в точке С, лежащей на оси соленокда дх на расстоянии х от его середины. При Ф каком соотношении между длиной и а диаметром соленоида ивдукция маг- Х нитного поля в середине его может бн быть рассчитана по приближенной формуле очень длинного соленоида а) при относительной погрешности, не превышающей 2%? А .с . ю.
Ф с т го расположены вплотную друг к другу, эквивалентен системе круговых б) токов одинакового радиуса, имеющих Рнс. 103 237 общую ось. Индукция магнитного поля на оси кругового тока ) радиуса г В - р,и'/(2( + Нэ)эп), (1) где Ц вЂ” расстояние ат центра кругового тока до точки, в которой определяется индукции. (Формула выводится на основании закона Био — Савара — Лапласа и принципа супер- позиции.) Для того чтобы найти индукцию магнитного поля, со- зданною всем соленоидом, используя принцип суперпози- ции, соленоид следует разбить на такие элементы, каждый из которых можно считать линейным витком (круговым то- ком). Такой элемент толщины Ьх, показанный на рис.
103,а, содержит йг/ (Ь//1)йх витков, и сила тока в нем сУ 1 г) Р/ (ГЬ//() дх. (2) В соответствии с формулами (1) и (2) ивдукция магнитного поля, созданного таким элементом, ЬВ -, /)74 Дг('+ вэ)иэ(). (3) Поскольку все элементарные векторы ЙВ коллинеарны, индукция результирующего поля может быть найдена ин- тегрированием выражения (3) по всей длине соленоида. Оче- видно, что искомое выражение В зависит от диаметра соле- ноида д - 2ю его длины 1 и расстояния хс. Приближенная формула для индукции внутри бесконечно длинного соленоида имеет вид В., - р,)7Р/й (4) При ее использовании относительная погрешность ЬВ-!  — В ~/В.
(Ь) Используя формулы (4) и (Ь), можно найти предельное отношение )/А Решение. Для проведения расчета индукции магнитною поля в точке С введем координатную ось ОХ (начало коорди- нат — в середине соленоида), тогда х — координата точки С. Произвольный элементарный виток толщины йх с коор- динатой х находится от точки С на расстоянии $ Подставив это выражение з (3), получим (6) 2) ~г~ + (хс 288 При суммировании иидукций полей, созданных всеми элементами дх, координата х измеиается от — 1/2 до + 1/2. Дла упрощения интегрирования введем в качестве переменной интегрированна угол <р, умножив предварительно числитель и знаменатель выражения (6) на г.
При подстановке следует учесть, что гв гор э)пз р, х — гс$3 р, Ьх ~ге+(хс -х) 1 Тогда выражение (6) примет вид ЬВ - р,()7 з р арпи>. Поскольку иа рисунке векторы ЬВ, а следовательно, и векторы В направлены по оси ОХ, введем окончательно в качестве переменной интегрирования угол а = я — <р, тогда юр — ба, причем а измеяяется для точки С от а, до а, (рис. 103,6). Окончательно р,/б/ г В = р Уг/(сое аз — соз а~)/(2О. Как видно, !/а-х )/а-х соэ а, соэ и)- пэ/4+В/2-хе) И /4+0/2+хо) В середине соленоида х О, соэ а, = — сое аи и выражение (7) примет вид (7) В рта4Ц1 Р +1* ~. При использовании формулы (4) относительная погрешность (см. (Ь)) эт ЬБ- —, — - ~ — >Ь.
2Р' д (~2бп 289 1 ЬБ 1 — -т 1- /4'+)э 1+48/Р Разложив (1 + о /) )ьэ в степенной ряд по переменной и/( и отбраоывэя члены, содержащие д/1 в степени, большей двух, получиак Зааача 15.4. Двухпроводная система' состоит из коаксиально расположенных проводника (радиус В, = 2 мм) и тонкостенной цилиндрической трубы (радиус В, = 2 см), по которым течет ток (рис. 104).
Найти индукцию магнитного поля в точках, лежащих на расстояниях г, = 3 см, г, 1 см от оси системы, при силе тока 1 = 10 А. Рассчитать магнитный поток, пронизывающий площадку Я, расположенную в плоскости осевого сечения и ограниченную осью системы и одной из образующих цилиндра длины 1 1 м.
Полем внутри металла пренебречь. Бсю систему считать практически бесконечно длинной. Авализ. В данной системе магнитное поле создается как током, текущим по осевому проводнику, так и током„ текущим по трубе. Поле токов в подводящих проводах можно не учитывать, так как согласно условию система практически бесконечно длинная. Расстояние от оси системы до точки г соизмеримо с радиусом осевого проводника. Поэтому нельзя заранее предположить, что индукцию поля„созданного даже только этим проводником, можно рассчитывать по известной формуле, полученной на основании закона Био — Савара — Лапласа для прямого линейного тока.
Данная система токов вследствие симметрии создает поле„ линии индукции которого являются окружностями, лежа- щими в плоскостях, перпендикуляр- 43-14г ных оси трубы и концентричных ей. 1;„,, Это позволяет воспользоваться для рас- 1 чета индукции поля (причем результирующего поля, созданного асей системой токов) законом полного тока: ~вй1 р Х1, (1) (Ы где Х( — алгебраическая сумма токов, сцепленных с контуром интегрирования Ь (контур следует провести в виде окружности, расположенной так же, как и линии индукции). ' Понятие двухпроводной свстемы сзвзчэег, что силы обоих токов равны в токи текут з вротвзоположвых яапрззлевлях. На рисунке показаны два контура: Ь, радиус которого г > В„и Ь„радиус которого удовлетворяет условию В~ < г < Ва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
