1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 37
Текст из файла (страница 37)
В положении устойчивого равновесия поток Ф, ВтЗ, Подставляя выражения потоков Ф, и Ф, в (3) и учитывая (4) и то, что катушка содержит 33/т витков, получаем А, В,ЗЕт)3/т(1 1 з)п 6) Р1,1т)Е,ХтЗ(1 Т з3п (3)/б Если а, я/2 — 33, тоА, О,б 10 ' Дж; если а, н/2+ 33, то А,' 2,1 10' Дж. 3. Индукция поля в середине основания длинного соленоида В, = ртЕ,Ф,/(23). (б) Следовательно, при перемещении катушки из центра соленоида в середину его основания поток, прояизывающий один виток, изменяется ог Ф,' Ф, В,З до Ф' ВтЗ. Работа внешних сил А' — Ат Ет)ут~Ф,' - Фт). (6) Подставим выражения для Ф,' и Ф,' с учетом (4) и (б) в (6): А' р Г,Ет)3т,)3ГтЗ/(2() 6,6 10 4 Дж. Зааача 15.У.
В одной плоскости с бесконечно длинным прямым щхяюдом, по которому идет ток силы 1 б А, расположена прямоугольная рамка (20 х 10 см), по которой течет ток силы 3 0,2 А (рис. 103). Длинные стороны рамки параллельны прямому току, причем ближайшая находится от него на расстоянии хт б см, ток в ней сонаправлен току Е. Определить силы взаимодействия прямого тока' с каждой из сторон рамки и работу, которую надо совершить, чтобы повернуть рамку на угол а я вокруг дальней длинной стороны. Анализ. Прямоугольная рамка с током находится в неоднородном магнитном поле прямого тока. Поскольку в условии аадачи оговоре- Х но, что прямой ток 1, создающий Х магнитное поле, бесконечно длинный, поле проводящих проводов можно не учитывать.
Индукция маг- Х нитного поля такого прямого тока В р Е/(2яг), (1) где г — расстояние от прямого тока до рассматриваемой точки. Сила, с Уис. 10В ~ Прямой ток — это ток, текущий по длинному прямому проводу 246 которой действует это поле на каждую из сторон рамки, может быть найдена суммированием элементарных сил Ампера: ЙР 1 61хВ. (2) Вектор В во всех точках рамки направлен перпенди кулярно плоскости рамки, и в пределах каждой стороны й1, 1) = я/2. Каждая из сторон рамки — прямолинейный проводник. Поэтому в пределах одной стороны все элементарные силы параллельны друг другу и их результи- рующая Р, ~Й)г ) |В 4(1„ В Ь (3) где (, — длина соответствующей стороны рамки. Работа внешних сил при медленном повороте рамки равна работе сил поля, взятой с обратным знаком: (4) А* — А — 1 (Фд — Ф,), где Ф, и Ф, — потоки сквозь площадь рамки до и после ее поворота.
Вследствие неоднородности поля прямого тока (б) (3) Р, = уд(дЕ,/(2яхд) 8,0 10 ' Н; Рд РдИд/[2Я(хд + (дН = 2 7'10 д Н где вектор ЙЯ совпадает по направлению с положительной нормалью к плоскости рамки и„следовательно, образует правый винт с направлением тока д. Решение. Стороны 1, 3 рамки параллельны прямому току и находятся от него на расстояниях соответственно г = хд и г х + 14, где (д — длина короткой стороны рамки.
Подставив выражения г в (1) и (3) и проведя интегрирование, получим: Силы 1", и Р направлены в противоположные стороны. Силы, действующие на стороны 2, 4 рамки, равны по модулю и противопо.пожны по направлению. Вдоль каждой из этих сторон индукция непрерывно изменяется. Введем для расчета ось ОХ.
Учитывая, что справа от проводника в плоскости рисунка г = х, 6( Йх, и подставляя выражение (1) в (3), получаем Р, — 4 ° Е ВдЕД 2яз ь) При интегрировании по второй (или четвертой) стороне переменная х изменяется в пределах от хд до хд („ поэтому д~1д Р Р= — ~ — — 1п )дд11 Г 4з ВдЕ! В+Ь = 2,2.10 Н. 2я Е з 2я зд Для расчета потока, пронизывающего площадь рамки, следует выбрать элементарную площадку ЙЯ в виде узкой полоски (длина („пгирина йх), расположенной параллельно прямому току. В пределах такой полоски иидукция В остается постоянной. При расчете магнитного потока по равенству (5) следует учил тывать, что в первом положении рамки (до поворота) В, сИ О, переменная х изменяется в пределах от хд до хд + 14. Во втором положении (после поворота) д1, 68 к, переменная х изменяется в пределах от хд + (д до хд + 214.
В соответствии с этим, учитывая, что 63 = (,дх, получаем: (6) ч ЙЦ 2я Л х 2Я ' яд+ д Подставив выражения (6) в (4), находидд ~* Ид ) )и Г 64.10-4 Дж ЕВ "4+2~ 2з зд 242 249 3 16. Движение заряженных частиц в электрическом н магнитном полях В данный параграф включены задачи, связанные с движением заряженных частиц только в электрическом или только магнитном поле, а также задачи, в которых рассматривается движение заряженных частиц в одновременно действующих электрическом и магнитном полях. Задачи на движение частиц только в электрическом поле можно решать и при изучении электростатики.
Если скорости частиц, ускоренных электрическим полем, достигают значений, соизмеримых со скоростью с (скорость света в вакууме), то следует учитывать релятивистский эффект возрастания массы со скоростью и неприменимость формул классической механики Ньютона. Зааача 16.1. Заряженная частица разгоняется в электростатическом поле. При каком предельном значении приложенной разности потенциалоэ уэ кинетическую анергию частицы можно рассчитывать по законам классической механики, чтобы относительная погрешность не превышала 1% 2 Определить, при какой разгоняющей разности потенциалов полная энергия частицы превысит энергию покоя в два раза. Задачу решить для электрона и протона. Элементарный заряде 1,60 10 сэКл; масса протопят 1,67 10 "кг, масса электрона т, 9,1 10 з' кг.
Анализ. При любом напряжении с/ и любом характере разгоняющего поля кинетическая энергия частицы К ес/. Выражение это справедливо в предположении, что начальной кинетической энергией частицы можно пренебречь. Если энергия выражается в электрон-вольтах, то она численно равна напряжению У, при этом 1 эВ 1,6 10 "Длс. По законам релятивистской механики, кинетическая энергия К те' -1, где о — скорость частицы, с — скорость света в вакууме. Первое слагаемое, стоящее в скобках, может быть представлено в виде степенного ряда: 1 8 ,с 5 „э 1+ — — + — — + — — + ..., 1 — иэ/сс 2сэ 8сс 16сз Тогда (1и~ Зо" 5 о~ К =тес~ + + +" °; ~2с' 8с' 16 с Вынося пэ/(2с') за скобки, получаем т о~( 3 и' 5 ис К вЂ” з — 1+ — — + — — +...
2 ~ 4 сз 8 сс (2) 'Если и/с настолько мало по сравнению с единицей, что в выражении (2) всеми членами ряда, начиная со второго, можно пренебречь, то кинетическая энергия частицы выражается обычной формулой механики Ньютона: Кн тэсс/2. (3) Погрешность при расчете кинетической энергии по выражению (3) определяется всеми отброшенными членами выражения (2). Поскольку каждый последующий член содержит отношение о/с в возрастающей степени, при расчете погрешности достаточно учесть только первые два слагаемых. Тогда абсолютная и относительная погрешности вычисляются соответственно по формулам: выем 3 и' ЬК К вЂ” К 2 4с ЬК ЬК/Кн Зз'/(4с'). (4) Выражение (4) позволяет найти максимальное при заданной погрешности значение о'. Подставляя его сначала в равенство (3), а затем в (1), можно определить искомую разность потенциалов с/".
При разности потенциалов, большей с/э„полная энергия частицы (5) где К может быть вычислена по равенству (1); Еэ = тэе энергия покоя частицы. 250 Решение. Из выражений (1) и (3) следует, что (7) по (0,04/3)с'. Подставляя выражение (7) в (6), получаем ° еУ" = (0,02/З)т с'. Для электрона Е, т с' 8,2 10" Дж 0,511 МэВ; для протона Ео = т с' = 1,5.
10 'о Дж = 938 МзВ. Поскольку энергия покоя частиц выражена в электрон- вольтах, то в формуле еУ" = (0,02/3)Ео заряд электрона (или протона) авдо считать равным единице. Для электрона У,* - 3,4 10о В; для протона У о 6,3. 10о В. Из выражения (5) следует, что при Е = 2Е, кинетическая энергия частицы равна ее энергии покоя: К = еУ = Е„Следовательно, Е = 2Е„если электрон и протоа пройдут разгоняющее поле с разностью потенциалов У, 0,511 10оВ и У, 9,38 10о В соответственно.
Звллча 16.2. В плоский конденсатор параллельно его пластинам влетает узкий пучок электронов, прошедших ускоряющее электрическое поле с разностью потенциалов Уо 1500 В. Электроны влетают в конденсатор точно посередине между обкладками конденсатора, расстояние между которыми 3 = 1 см (рис. 109). При какой минимальной разности потенциалов У на конденсаторе электроны не вылетят из него, если длина обкладок о Ь см? Аналнэ.
Если пренебречь неу однородностью поля у краев плоского конденсатора„ то силу Р, действую+ щую на электрон, движущийся меж. ду пластинами конденсатора, можно Х считать постоянной и направленной ~ от: Р = еЕ = еУ/о(, Рис. 109 где е — заряд электрона. 0 262 еУ* = топ',/2, (6) где и — наибольшая скорость частицы, при которой использование формулы (3) дает погрешность ЬИг < 0,01. Из выражения (4) находим Поскольку напряжение ускоряющего поля мало, то электроны подчиняются законам классической механики (см. результаты задачи 16.1). Тогда под действием силы Р электрон приобретет постоянное ускорение, направленное также по оси Оу.
Следовательно, движение электрона вдоль оси ОХ вЂ” раваомерное со скоростью о, ио (во — начальная скорость электрона), движение вдоль осн Оу — равнопеременное с ускорением г о У О„= — = (1) о т, т, д Это значит, что электроны будут двигаться по параболической траектории, крутизна которой зависит от приложенной разности потенциалов У.
Минимальное значение У, при котором электроны не вылетят из конденсатора, соответствует траектории, показанной на рисунке. Закон двнжеаия электрона для этой траектории, записанный в координатной форме, позволит найти искомое напряжение У. Начальную скорость зо можно определить по заданному напряжению Уо ускоряющего ноля: т по/2 сУо' (2) Решение.
В выбранной системе координат х = иоо, у аоо'/2. (3) Для конечной точки К х = 1, у = о(/2. Подставляя эти значения и выражение (1) в (3), получаем ооо, 3/2 = еУо'/(т, ° 2д). Тогда У - о(опот,/(1'с). Выражая начальную скорость из уравнения (2), окончательно имеем У = Зо(ЙУ /12 120 В. Задача 16.3. Протон, имеющий скорость и = 10о м/с, влетает в однородное магнитное поле с нндукцней В = 0,01 Тл.
Вектор скорости протона направлен под углом а 60' к линиям индукции (рнс. 110). Определить траекторию движения протона, путь, пройденный им по траектории за время г, = 10 мкс, и его положение к концу указанного времени. Акалиг. На протон, движущийся в магнитном поле, действует магнитная составляющая силы Лоренца Р еех В. Эта сила, перпендикулярная вектору скорости, ие со. вершает работы, поэтому кинетическая энергия протона и модуль вектора скорости остаются неизменными. Следовательио, путь, пройденный протонам по траектории, Для описания траектории протона удобно представить вектор скорости ч как сумму двух составляющих, одка из которых ч, направлена по линиям индукции, вторая т,— перпендикулярно им.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
