1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 41
Текст из файла (страница 41)
8 Зааача 17.4. Между двумя длинными параллельными прямыми проводниками с током в одной плоскости с ними н симметрично относительно них расположены параллельные шины, по которым поступательно движется проводник АС длины ! = 0„2 м (рис. 118). Расстояние от каждой шины до ближайшего проводника с током а 1 см.
Токи в прямых проводниках текут в противоположных направлениях, причем 1, = 1о = 40 А. Определить электродвижущую силу индукции, возникающую в проводнике АС, если скорость его движения о=3 м/с. А С Анализ. Проводник АС движет- ся в'магнитном поле, созданном ан- В типараллельными токами. Движе. Х ® Х ние проводника происходит в одной плоскости с токами, т. е. в плоскости, перпендикулярной линиям индукции поля. Если проводник движется поступательно вниз, то магнитная составляющая силы Лоренгнс. Пэ ца, действующая на свободные злек- троны проводника АС, направлена вдоль проводника от С к А, н на конце А проводника накапливаются отрицательные заряды, ЭДС ицдукции может быть найдена по формуле с 3' ) (т х В) 41.
(1) л Магнитное поле создается двумя прямыми токами 1, и Х: В В,+В. В рассматриваемой области векторы В, и Во коллинеарны, направление результирующего вектора В показано на рис, 118. Режснис. На основании принципа суперпозиции (учитывая сонаправленность полей) магнитная индукция результирующего поля В В,+В,, или, поскольку токи 1, и 1, практически бесконечно длинные, В = р 1,/(2яг,) + ро1,/(2лг,), где г, и г, — расстояния соответственно от токов Х, и 1, до рассматриваемой точки.
Если ввести оси координат, то для любой точки, лежа- щей между токами, г, х„г ! + 2а — х. Тогда, учитывая, что 1, 1, 1, йаходим Рассмотрим теперь подынтег)вольное выражение в равен- стве (1). Векторы т Х В и сП коллинеарны, причем в выбран- ной системе координат сИ = бх. Тогда с учетом (2) подынтег- ральное выражение в (1) примет вид ( х В) сП вЂ” ( — + з„„~дх. рого (! Подставляя это выражение в (1) и учитывая, что пере- менная х изменяется от х, а до хс а + 1, получаем или 3' — 1п — = 1,5. 10 В.
роХо а +1 л а 272 Зтэ + Г = О. (2) х х ®н х Задача 17.5. В плоскости, перпендикулярной линиям ии- 1 ч и дукции В однородного магнитного поля, расположены параллельные шины, замкнутые на резне. тор сопротивлением В (рис. 119). По шинам может свободно скользить проводник длины (, массы т, Какую силу надо приложить к проводнику, чтобы ои двигался поступательно с постоянной скоростью т,? Как будет двигаться проводник под действием постоянной силы Р, направленной параллельно шинам, при отсутствии начальной скорости? Найти закон изменения скорости со временем для этого случая. Определить полное количество джоулевой теплоты, которое выделится на резисторе Р при движении проводника, если ему сообщить начальную скорость т, параллельную шинам, без действия внешних сил? Сопротивлением шин и самого проводника пренебречь.
Во всех случаях проводник перпендикулярен шинам. Анализ. При движении в магнитном поле в проводнике возникает ЭДС индукции, и, так как шины земкнуты на резистор, по контуру, включающему резистор и проводник, пойдет ток силы 1 3' /Е. Тогда на проводник со стороны магнитного поля будет действовать сила Ампера ?,„которая по правилу Ленца тормозит движение проводника. В противном случае, если проводнику сообщить любую малую начальную скорость, под действием силы Ампера („он начнет ускоряться, т.
е. приобретать кинетическую энергию,, на сопротивлении будет выделяться джоулева теплота. Следовательно', предположение о том, что. в рассматриваемых условиях сила Ампера ускоряет движение проводника, противоречит закону сохранения энергии. Таким образом, когда к проводнику приложена некоторая сила Г, движение его будет равномерным, если Причем, поскольку проводник прямой, расположен перпендикулярно линиям индукции, а магнитное поле однородно, сила Ампера 1 ВЬ (3) Если скорость движения проводника задана, то можно найти ЭДС индукции, тогда равенства (1) — (3) позволят найти силу Г„под действием которой проводник сохраняет равномерное прямолинейное движение.
Если на проводник действует постоянная сила Г, то уравнение движения проводника имеет вид ж — 1 +Р. Ьт <И (4) При этом ЭДС и сила тока индукции, а значит, и сила Ампера ?ь пропорциональны скорости проводника. Если вид функциональной зависимости силы Ампера от скорости известен, то решение дифференциальною уравнения (4) позволит найти искомый закон изменения скорости со временем. Когда проводник начинает движение под действием постоянной силы Г, его скорость нарастает, и при некотором ее значении в* сила Ампера скомпенсирует действие приложенной силы Р. Начиная с этого момента проводник будет двигаться равномерно. Если проводнику еообщают начальную скорость те при отсутствии внешней силы Р, то на него действует только тормозящая сила ?„и проводник движется замедленно.
Поскольку сэма зта сила пропорциональна скорости, ускорение йо/сМ тем меньше по модулю, чем медленнее движется проводник. Работа приложенной силы Г за некоторый промежуток времени Йз равна сумме изменения кинетической энергии К проводника и количества джоулевой теплоты, которая за это же время ог выделяется на резисторе Кс дК + ЬЯ ЬА. (Ь) Это равенство справедливо при В = сопз$, т.
е. при условии,что действием тока индукции на токи, создающие магнитное поле, можно пренебречь. Уравнение (Ь) позволит найти полное количество джоулевой теплоты. При наличии силы Р уравнение (Ь) может быть использовано также для вывода закона изменения скорости вместо уравнения (4). З?З Решение. Согласно условию, магнитное поле однородно, проводник движется поступательно н, как видно из рисунка, векторы т и В таковы, что Р = д,т х В направлена вдоль проводника н возникающая электродвижущая сила индукции 3' = оВ1, (6) Ясли скорость проводника постоянна и равна оо то,подставив выраженне (6) в (1) — (3), получим, что к проводнику надо приложить силу У, В'Ро,/В, причем эта сила должна быть еонаправлена вектору т .
о Закон изменения скорости проводника найдем из уравнения (5). По уелозню, проводник начинает двигатьея под действием постоянной силы г. При этом ее элементарная работа 5А = Уо бк Изменение кинетической энергии, как обычно, ЙК = то до. С учетом (6) и (1) количество джоулевой теплоты Щ = )'„~В с)1 (В'Ро/В) йп Подставив этн выражения в (5), получим т с(о + (В»Ро/Я) ЙФ = Р 61, или, введя обозначение В»Р/В = е, т бо (У вЂ” ео) йг.
Разделим в этом уравнении переменные и проинтегрируем от начаяьного состояния с О, о 0 до некоторого промежуточного состояния, характеризуемого моментом 1 н скоростью т » ! ~ 4о 1~„, 1, У со После несложных преобразований и потенцировзния второго из выражений (Т) получаем и- — (1 — е ') Р с Легко видеть, что при 1- сс скорость стремится к постоянному значению о* Р/с - РВ/(В»Р).
Очевидно, что прн и = о* 1»+ Р - О. Прн отсутствии внешней силы в уравнении (5) 5А 0 и 5»г — дК. Интегрируя это уравнение, получаем 9 К,— К, где К, = то»/2, К, = О. Таким образом, полное количество джоулевой теплоты равно начальной кинетической энергии, сообщенной проводнику. Зааача 17.5. В плоскости, перпендикулярной линиям индукции однородного магнитного поля, расположен проволочный квадрат со стороной а = 4 ем. Проволочная перемычка, параллельная двум сторонам квадрата, делит две его другие стороны в отношении 1: 3 (рис. 120). Все проводники выполнены из одинаковой проволоки, для которой отношения сопротивления к длине т = 1,7. 10 ' Ом/и. Найти силы токов, индуцируемых во всех проводниках прн изменении индукции магнитного поля по линейному закону от В, = = 5 10» Тл до В, = 8,4.
10» Тл в течение времени т 10 с. Аяаляэ. При изменении (возрастании) индукции магнитного поля возннкает вихревое электрическое поле, которое вызывает направленное движение свободных электронов в проводниках, т. е. индукционный ток.
Согласно теории Максвелла, переменное по времени магнитное поле п возникающее вихревое электрическое поле связаны уравнением ~ЕсП = — ~ — 48, (1) пз (э) причем поверхность интегрирования 3 ° натянута» или ограничена контуром интегрирования Ь; направление обхо- л да контура Ь образует правовинтовую х систему с положительной нормалью к поверхности В. Интеграл в левой час. ти уравнения представляет собой суммарную электродвижущую силу в контуре Ь; ннтегрел в правой части— х скорость изменения магнитного потока сквозь поверхность В. Чтобы найти силы индукционных токов, надо и Рис.
120 зтт рассмотреть контуры САКРС и РИМСР. Применяя к каждому из контуров уравнение (1), можно определить суммарные электродвижущие силы 3', и 8', в каждом из них. Для нахождения сил тока можно воспользоваться правилами Кирхгофа, так как сопротивления всех проводников известны. При направлении магнитного поля, показанном на рисунке, токи 1, и (, направлены, согласно правилу Ленца, против часовой стрелки. Направление тока Х в проводнике СР неизвестно. Для составления уравнений по правилам Кирхгофа направление этого тока следует задать. Решение.
Для определения электродвижущих сил применим уравнение (1) к каждому из контуров. Магнитное поле, по условию, однородно, и нндукцня его изменяется по линейному закону ав а — ЙЯ вЂ” — В ах (М (Я (здесь частная производная заменена полной и вынесена за знак интеграла, так как поле однородно), или с учетом (2) а — бя - — йВ. аг (3) Тогда, применяя уравнение (1) к контурам САХРС и Ра/МСР, получаем: 8; = й8, йа'/4; 3; йЗ, Зйа'/4. Для записи уравнений Кирхгофа выберем направление тока Х от С к Р. Тогда для узла С (3) 1з — (,— Х О, для контуров С4ХРС и РФМСР йа'/4 1,В, — ХВ, Зйа~/4 1,В, + ХВ, (4) 272 В-В,+йп (2) Если положительную нормаль направить против вектора В, то правая часть уравнения (1) для любого из рассматриваемых контуров примет вид где В, 1,5ау; В, - 2,5а1 и В ау — сопротивления участков САХР, РХМС и СР соответственно.
Подставив эти значения сопротивлений в уравнения (4), получим: йо/(41) 1,И вЂ” Х, зйа/(41) 2,бааз + Х.. (5) Уравнения (3), (5) составляют систему, совместное решение которой позволяет найти силы токов. Для решения этой системы найдем коэффициент й из уравнения (2): й (В, — В,)/т 3,4 10"~ Тл/с. Подставив числовые значения й, 1 и а в (5) н заменив, согласно (3), Х на (, — 1„получим: 2 10' 2,5$,— 1,; 6 10' 3,5$,-1„ откуда 1', 1,68 ° 10 4 А; 1, = 2,19 ° 10 з А; Х 0,51 ° 10 1 А. , Поскольку Х > О, направление этого тока выбрано правильно (от С к Р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
