1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 42
Текст из файла (страница 42)
6 18. Свмоиндукция и взаимная ицдукция. Энергия магнитного поля В задачах этого параграфа рассматривается частный случай явления электромагнитной индукции — само- и взаимонндукция. При анализе задач следует осмысливать всю совокупность явлений, возникающих в электрических цепях при изменении силы тока.
Необходимо обращать внимание на то„что индуктивность Х. и взаимная индуктивность М зависят от геометрии праэодников, их взаимного расположения и магнитных свойств среды. Зги коэффициенты не зависят от силы тока только при отсутствии ферромагнетиков. На это следует обращать внимание и при расчете энергии. Задача 16.1. Две катушки, нндуктнвности которых Х, 3 мГн, Х 5 мГн, соединены последовательно (рис. 121).
При этом индуктивность системы Ь ~ 11 мГн. Как изменится индуктивность системы, если в одной из катушек направление тока изменить на противоположное прн неизменном взаимном расположении катушеку Ь Ь,+Ь,~2М. Ъ Ъ, + Ь~ + 2М. а) й' Ь,+Ь,— 2М. Гас. 121 Ъ' 2(Ь, + Ъ«) — Ъ = б мГи. Ч'и - Ь,1, Р„- Ь,У. (3) Ч~м - ~ М1„Ч~»« = ~ Мйг »» 1 ь (4) Ъ ь, + Ь«+ 2М, (1) Л, зсн 43 эес. шз 281 Анализ. Индуктивность системы определяется потокосцеплением: где 1 — сила тока в катушках (так кзк катушки соединены последовательно, то силы тока в них одинаковы). Суммарный магнитный поток равен алгебраической сумме потоков, пронизывающих все витки катушки. Все витки первой катушки прониаываютса собственным потоком Ч'и и потоком Ч'и, созданным второй катушкой.
Вторая катушка пронизывается также собственным потоком Ч м н потоком Ч~««р созданным первой катушкой. Таким образом, Ч~ =Ч~п+ Ч«я+Рм+ Ч»«.. (2) Собственные потоки всегда положительны и определяются индуктивностью каждой катушки: «Чужие» потоки могут быть положительными или отрицательными в зависимости от направления индукции поля, созданного'одной катушкой в витках другой. Знаки магнитных потоков 'Р„и Ч«м всегда совпадают (при изменении направления тока одновременно изменяются на противоположные н направление положительной нормали, и направление вектора индукции), а числовые значения их определяются взаимной индуктивностью: Так кзк катушки соединены последовательно, то Ч~„= Ч~„- * М.(. Смысл знаков определяется характером соединения и расположением катушек.
Если поля катушек сонаправлены и ° чужие» потоки положительны: Ч«««ч',«+ М1 (рис. 121,а); если поля катушек направлены навстречу друг другу, то «чужие» потоки отрицательны: Ч««»»рм — М1 (рис. 121,6). Решение. Подставив выражения (3) и (4) в (2) и (1), получим, что индуктивность двух катушек Так как до изменения направления тока Ъ > Ь, + йм то, очевидно (рис. 121,а), После изменения направления тока в одной из катушек (рис. 121,б)' Исключив неизвестное значение М из системы уравнений (5) и (6), получим Заалча 18.2. На картонный тор прямоугольного сечения, .размеры которого показаны нз рис.
122, извиты две обмотки. Число витков Ф, 400, К, 300. По обмоткам течет ток 1 3 А одного направления. Определить индуктивность и энергию системы. Какое количество электричества пройдет через медное кольцо с сопротивлением В = 0,8 Ом, надетое поверх обмоток на тор, при выключении токау Анализ. В рассматриваемой системе при достаточно плотном расположении витков магнитное поле практически сосредоточено внутри обмотки тора. По условию, токи в витках обеих обмоток направлены одинаково, следовательно, магнитные поля, созданные этими обмотками, сонаправлены и «чужие» потоки, пронизы- ' вающие каждую из обмоток, положительны (как н собственные). Тогда.
индуктивность системы где Ь, и Ь« — индуктнвности каждой из обмоток, М вЂ” взаимная (7) Аналогнчно„ »У 7,1'Гй. (3) » Ю- ~'Г„бх, о (4) ~в 61 = р,2Г. (Ы В 61 ~В Ж В ° 2пг. (6) гм (Ы В, р»ГАГ,/(2яг). индуктивность. Этн коэффициенты могут быть найдены нз выражений Ь,Г ))Г,фп, Ь»Г АГ»фм, М1 )У,ф», )7»фп, (2) где Фп и Фм — собственные магнитные потоки, Ф, н ф„— о чужие» магнитные потоки (нанрнмер, Фп — Цотов, созданный первой обмоткой и пронизывающий один из внтков этой обмотки; Фц — поток, созданный второй обмоткой н пронизывающий один нз витков первой обмотки). Индукцня магнитного поля внутри витков тора может быть рассчитана по закону полного тока.
Энергия системы При выключении тока в обмотке магнитный цоток, пронизывающий медное кольцо, надетое на тор, уменьшается до нуля, и в кольце появляется ток нндукцин. Количество электричества, проходящее вследствие этого по кольцу (через любое его поперечное сечение), где т — время прохождення тока индукции в кольце. Режеиие.
Согласно закону полного тока, Вследствие симметрии тора контуру интегрирования следует придать форму концентричной окружности, радиус г которой удовлетворяет условию В, < г < В,. При выборе направления обхода контура по линии индукции ВЯ1 О, В сопэо во всех точках контура. Тогда Если ~оле создано витками первой обмотки, то ХГ Х,1. Тогда урэвненне (б) с учетом (6) примет внд Для расчета потока Ф„следует выбрать элементарную площадку о(В Ь бг. Тогда >,Г1Ч,Ь ) 4 >2У1Ь, 2(,, Ф = ~В,бВ- ов В, ~уз 2), руЬ В, 2п Ж' 'о 2п ф = — 1п в,лу,ь 2п Подставив выражения (7) и (3) в (2) н (1), получим В - — 'О-(АГ,'+)1(,о+2рГ,АГ») )и ~ - 2,3 10-' Г . 2п Энергия системы [см.
(3)]»У 1,0 10 ' Дж. Прн выключении тока в обмотке тора по кольцу пройдет 1 4Ф ток индукции à — — —. Подставим это выражение в (4): В о» » о, 1ГЙФ 1 Г Ф,-Ф, Я вЂ” — — - — — Йф = (9) В141 В~ . Я о ою где Ф, - 0; Ф, — суммарный магнитный поток, пронизываю- щий площадь, ограниченную кольцом, прн силе тока 1 в об- мотке тора. Поскольку поле сосредоточено только внутрн тора, этот поток равен суммарному магнитному потоку, про-' низывающему поперечное сечение тора: ф, = 1(В1+В») 66. (8) где В, и В, — индукции магнитного поля, созданного первой н второй обмотками соответственно.
Произведя интегрирование так же, как это было сделано прн расчете потока Фп, получим Ф, = ~(гГ, + 1»',) '1п' ~2. Подставив выражение (10) в (9), находим 9 -~-(Ф, + 17,) 1 12 мкКл. в ГЬ Заэача 18.3. По цилиндрическому медной му проводняку радиуса го 2 см течет ток силы 1 100 А (рис. 123). Считая проводник очень длинным, найти энергию магнитного поля, сосредоточенного внутри участка ' Ь проводника длины 1 м. Анализ. Вследствие большой длины проводника можно пренебречь полем подводящих проводов и считать, что внутри пророс. оэз водника поле обладает осевой симметрией— линии индукции имеют форму окружностей с центром на оси проводника, плоскость любой яз них перпендикулярна оси. Симметричность поля позволяет лряменнть для расчета индукции закон полного тока. Считая, что магнитная проницаемость меди постоянна и практически равна единице, закон полного тока можно записать в виде (ы ХЕ = — яг'.
ого о (4) Энергия магнитного поля в объеме (г лг'Ео ((о — произ- вольная длина участка проводника) Уг ) оо„б'г', . К) где оо брг'/о)г В'/(2р ) — плотность энергии магнитного поля. Решение. Выберем контур интегрирования Е в форме ок- ружности, совпадающей с одной из линий индукции, радиус которой г < г . Если направление обхода контура совпадает с направлением линий индукции, то обй - 0 я В сопэс во всех точках контура интегрирования. Тогда ~ВЙ1 ~ВИ В 2лг.
(3) ол цэ Если плотность тока постоянна по поперечному сечению проводника, то сумма токов, сцепленных с контуром интег- рирования, В действительности плотность тока больше у оси проводника: если представить весь ток как совокупность линейных токов одного направления, то под действием сил притяжения они должны стягиваться к оси. Подставим выражения (3) и (4) в (1): В.2яг = роЕг'/г', откуда В = роЕг/(2яго').
(8) Элементарный объем Й'г', в выражении (2) должен быть таким, чтобы в ием плотность энергии, а следовательно, и индукция магнитного поля оставались постоянными. Этому условию удовлетворяет тонкий цилиндрический слой, объем которого Й)г = 2яг(о Йг, Тогда подынтегрзльное выражение в равенстве (2) с учетом (б) ау- (роЕ'г'/8 хГ) 2 1, а. Энергия ноля, отнесенная к длине, ч — = —,~ г бг — 2,5 10 Дж/м. МО~ о НОЕ, "4 ~о 4лго о 16л Окончательное выражение для энергии не содержит радиуса проводника. Это можно объяснить тем, что при задан.ном значении силы тока увеличение радиуса пркведет к уменьшению плотности тока, а следовательно, и плотности энергии, а полное ее значение останется неизменным. Зааача 18.4.
Дроссель с индуктивностью Е, 8 Гн и омическим сопротивлением В, - 40 Ом и лампа с сопротивлением В, 200 Ом соединены параллельно и подключены к ясточнику с электродвижущей силой 8' 120 В через ключ (рис. 124). Определить разность потенциалов на зажимах дросселя цри 1, - 0,01 с и оо = 0,5 с после размыкания цепи. Анализ. При установившемся рекиме сила тока 1 в цепи равна сумме сил токов, текущих через дроссель (1,) и лампу (Ео), причем Е, = 8'/В,. (1) При замыкании и размыканян ключа К в дросселе возникает ЭДС самоиндукции, которая стремится воспрепятствовать в первом случае нарастанию силы тока, во вто- Зло.
Ш4 ром случае — его исчезновению. ЭДС самоиндукцни возникает только в дросселе, так как лампа и подводящие провода считаются безындуктивнымн. После отключения источника замкнутую цепь составят дроссель и лампа, соединенные теперь последовательно. В момент « - О, соответствующий моменту размыкания, сила тока в этой цепи одинакова и равна установившейся силе тока 1«в дросселе (ток в безындуктивной лампе исчезает мгновенно). Разность потенциалов на зажимах дросселя после отключения источника в любой момент равна (2) где « — текущее значение силы тока, зависящее от времени; так как в дросселе действует стороннее поле, обусловливающее появление ЭДС самоиидукцни, то У„л )В; Зависимость силы тока «от времени может быть найдена из закона Ома для замкнутой цепи. Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
