1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Поэтому при извлечении корня следует брать модуль этого выражения: ~'/сз, — ~, = бз62, (5) ~ юа,/о~з-<оз =о~з-(оз/,оз-РЛ2. о Приравнивая левые части уравнений (5), получаем сзз сзо /сзз сзо /сзз ™и откуда ыо= Да, =424 с'. Подставим выражение (6) в одно из уравнений (б); 3 = (зэ, — сз,)/Л2. Тогда [см. (3)) частота, при которой амплитуда напряжения максимальна, Следует отметить, что такая ааметная разница между значениями ез и оз, соответствует чрезвычайно быстрому затуханию собственных колебаний в контуре.
Действительно, логарифмический декремент денного контура д = 2яб/эз = 1,3. Глава У ОПТИКА 9 21. Интерференция и дифракция В задачах этого параграфа рассматриваются явления интерференции и дифракции. Явление интерференции есть результат сложения когерентных волн. Интерференцией вторичных волн обусловлено и неравномерное распределение амплитуд колебаний (а следовательно, и интенсивностей) в некоторой области пространства, появляющееся вследствие дифракции. Поэтому при решении задач особое внимание следует уделять когерентности волн. Когерентность в обычных оптических схемах (за исключением когерентного излучения, создаваемого лазерами) достигается. тем, что световой пучок, испускаемый точечным источником, разделяется на два; последние тем нли иным способом сводятся в одну точку пространства, в которой и наблюдается интерференция.
Такое рааделение часто приводит к тому, что вместо одного источника появляются два мнимых, когерентность которых н надо установить. Волны, испускаемые разными точками одного протяженного источника, иекогерентны. В некоторых задачах вводятся идеализированные источники, когерентность которых либо оговорена, либо следует из описания самих источников. В задачах, связанных с дифракцией света, используется теория Френеля — Гюйгенса. Согласно этой теории, любая точка пространства, до которой дошел фронт волны, представляет собой вторичный (виртуальный) источник; все виртуальные источники когереитны; наблюдаемое распределение 310 интенсивности есть результат интерференции вторичных волн. Метод зон Френеля и векторное сложение колебаний, используемые при решении задач, естественно приводят к тому, что расчет дифракциониой картины является приближенным.
При решении задач необходим детальный анализ всей оптической схемы и явлений, происходящих при отражении света и при переходе через границу раздела сред. Для описания интерференции волн (как при собственно интерференции, так и при дифракции) во всех случаях удобно пользоваться понятием луча, изображая на оптических схемах ход лучей.
Под лучом (точнее, осевым лучом) понимается осевая линия узкого светового пучка, распространяющегося от источника (реального, мнимого или виртуального) в данную точку пространства. В этом случае можно говорить о разности хода двух лучей или даже о разности их фаз. В некоторых оптических схемах используются тонкие линзы. Следует иметь в виду, что линзы обладают свойством таутохроннзма, т.
е. не сообщают дополнительной разности фаз лучам, которые сводятся линзой в одну точку. При анализе и решении задач предполагается, что основные законы геометрической оптики, включая ход лучей через тонкую линзу и построение иэображения в зеркале, известны. В задачах 21.1 и 21.6 не оговорена физическая природа колебаний, в остальных задачах рассматриваются световые волны. Зааачз 21.1.
Два эидеальныхг гармонических вибратора, совершающих колебания с одинаковой частотой со сдвигом начальных Фаэ Ьав = я~4„находятся на расстоянии 1 друг от друга. При каких углах излучения 9 (рис. 13б) амплитуда реаультирующей волны максимальна, если 1 Х/4 и 1 = 317 Анализ. В условии не оговорена физическая природа волн, излучаемых вибраторами. В случае электромагшпкых (поперечных) волн интерференция наблюдается, если обе волны плоско- поляризованные и направления колебаний векторов Š— векторов Рнс. 115 311 напряженности электрического поля — совпадают.
Предположим, что вибраторы представляют собой очень ма- лые линейные гармонические диполи, расположенные пер- пендикулярно плоскости рисунка. В этом случае при любом направлении распространения в плоскости рисунка векторы Е излучаемой волны параллельны самим диполям, т. е. так- же направлены нормально плоскости рисунка. Поскольку виб- раторы совершают гармонические колебания с одинаковой частотой, волны, ими излучаемые, когерентны. Рассмотрим точку М, положение которой определяется модулем радиус- вектора г и углом 0 — углом между вектором г и полярной осью ОА.
Так как по условию требуется определить углы излучения О, для которых в интерференционной картине будут максимумы, то, очевидно, что каждый иэ лучей г, и г„проведенных от источников к точке М, должен образо- вывать с полярной осью угол, практически равный О. Это возможно, если расстояние г много больше расстояния 1 Я,Яг В этом случае разность хода, т. е. разность расстоя- нии, проиденных волнами, напученными источниками Ят и Ят, Ьг г, — г, = 1 31п О. (1) Очевидно„что на рисунке показать истинное соотношение расстояний нельзя, поэтому следует считать, что О, = 9.
Предположим, что колебания источника Я, опережают ко- лебания источника Ят по фазе на заданное значение Ла,. Тогда уравнения волн, приходящих в точку М от источников Я, и Я, имеют вид Ет = Емз1п (ет — Йг,), Е, = Еогз1п (Ы вЂ” )тгт — Ьас), где й - 2я/Х вЂ” волновое число, Разность фаэ между этими волнами в точке М астм = . (гт т'3) Лос. 2я (2) Амплитуда результирующей волны максимальна, если раз- ность фаэ волн, приходящих в данную точку пространства, кратна четному числу я: Ь~рм=2шт (и =О, 1, 2, ...). (3) Подставим выражение (1) в (2) и приравняем разность фзз ЛТи [см. (3)) четному числу я: 2я — 1 зтп 0 — Ла = 2лл.
Х 313 Тогда угол излучения, для которого амплитуда результирующей волны максимальна, должен удовлетворять уеловию зш 9= (4) Вырюкение (4) получено в предположении, что расстояние г» 1, т. е. что мы ведем наблюдение достаточно далеко от источников. Никаких ограничений на отношение 1/Х при выводе не было наложено. Если 1 < Х, т. е. Х/1 ~ 1, то выражение (4) имеет смысл при л = О, т. е.
амплитуда результирующей волны максимальна только для одного фиксированного значения угла О. При 1 > Х интерференционное поле двух вибраторов имеет многолепестковую структуру, т. е. максимумы для нескольких направлений излучений. 1) Реиаеяве. Если 1=1/4, то (см. (4))з)п 0 = 4 л+ — /, т. е. 8/ амплитуда результирующей волны максимальна при я = 0 и 1 я угол излучения 0 агсз(п — = —.
о 2 5' .1( 1') Если 1 31, то 31п О = -~я+ )„т. е. амплитуда резуль- тирующей волны максимальна в направлениях излучения: 0' = агсюп — = 2,4' (л = 0); 1 е 24 9 О = агсз1п — = 22' (и = 1); 1 24 17 О = агса1п — = 45' (л = 2). 24 Значение я 3 уже невозможно (31п 0 > 1). Зааача 21.2. Два точечных когерентиых оптических источника, колеблющихся в фазе, находятся на расстоянии 1 = 0,5 мм друг от друга. Источники дают моно- хроматическое излучение с длиной волны Е = 0,5 мкм.
Экран наблюдения расположен параллельно прямой. соединяющей источники, на расстоянии т( = 30 см от них 313 (рис. 136). Описать интерференционную картину, наблюдаемую на экране. Найти расстояние между двумя соседними максимумами. Анализ. В условии оговорены когерентность источников и равенство нулю начальной разности фаз. Каждый из источников — точечный, т. е.
излучает сферическую волну, амплитуда которой обратно пропорциональна расстоянию: А, = Ас/ГГ ВОЛНЫ, ИЗЛуЧаЕМЫЕ ЭТИМИ ИстОЧНИКаМН, даЮт устойчивую интерфереиционную картину, причем разность фаэ между волнами, приходящими в любую точку пространства, опРеДелЯетсЯ только Разностью РаестоЯний Г, и Гм пРоходимых волнами от источников Я, и Яс до рассматриваемой точки: Ьср = (2к/Х)(Г1 — Г,). Во всех точках пространства, для которых разность фаэ равна четному числу я, амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд приходящих волн.
В этих точках будут интерференциониые максимумы. В точках, где разность фаз Ьсу равна нечетному числу х, будут минимумы; амплитуда результирующего колебания в этих точках равна модулю разности амплитуд приходящих волн. В любой плоскости, в которой лежат источники (например, в плоскости рис. 136), геометрическое место точек равных значений Л1Р— гиперболы (рис. 137). Очевидно, в простран- Ь О а 3л а-3Л Рис. 137 Рис. 136 314 етве геометрическое место точек заданных значений Ьсу (а значит, и сЛГ) — гиперболоид вращения. Картина в пространстве получится, если рис. 137 вращать вокруг оси Я,Я,. Множество точек, для которых Ь13 = О (центральный максимум), — плоскость, перпендикулярная отрезку Я,Я, и делящая его пополам.
Если расстояния от иоточников до рассматриваемых точек очень велики, так что ЬГ Г, — Г, «Г, и ЛГ «Г, то, во-первых, можно считать, что О, О (рис. 135) и разность хода практически зависит только от направления излучения, т. е. от угла О, причем (2) ЬГ Г -Г 181П О; во-вторых, на таких больших расстояниях относительное различие амплитуд волн, приходя1цнх в одну и ту же точку, пренебрежимо мало (предполагается, что источники <(бладают одинаковой мощностью излучения). В этом случае в тех точках пространства, в которых Ьсу - (2л + 1)х, результирующая амплитуда близка к нулю.
Интерференционная картина, которая получится на экране, расположенном параллельно прямой Я,Я„представляет собой сечение гиперболоидов плоскостью экрана— семейство гипербол. Поскольку расстояние с( от источников до экрана велико, то отрезки этих гипербол можно считать отрезками прямых, параллельных центральной прямой, получающейся в результате пересечения экрана и плоскости, для которой Ьсу = О (ось О,Я на экране; р . 136). Таким образом, ннтерференциониая картина на экране— система чередующихся светлых и темных полос. Поскольку амплитуды сферических волн, излучаемых источниками Я, и Я, обратно пропорциональны расстоянию, а интенсивность волны прямо пропорциональна квадрату амплитуды, интерференционные максимумы имеют различную яркость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
