1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Его модуль, как видно из рисунка, зависит от угла Э и может быть рассчитан в общем виде. Решение. Результирующая амплитуда максимальна, если разность фаз 9 - О, 2л, ...„2тл. (3) В этом случае все «изображающие» векторы сонапрэвлеиы, и А = 4А,. Если «изображающие» векторы образуют замкнупэй многоутольник, то результирующая амплитуда А О, т. е. все колебания как бы уничтожают друг друга. В данном случае таким замкнутым многоугольником будет квадрат и разность фаз л и «э —, 3 2, ..., (2т + 1)— (4) ' Подробное описание и обоснование »того метода дано в «адаче 5.6.
226 ггт 0 а) о 6) Рис. 145 л Зл Векторные диаграммы для Э, = 2 и 8, = приведены на рис. 145,а, б. Поскольку число складываемых колебаний четное, результирующая амплитуда обращается в нуль также и при Э я, Зя, ...„(2ш+ 1)л. (5) В этом случае векторы, соответствующие процессам 1 и 2„3 и 4, направлены в противоположные стороны и попарно уничтожают друг друга. Условия (4) и (5) могут быть сведены к условию 8 = 2тл/)л, (6) где т и 1л', 2г/, ... (в данном случае )и = 4). Следует обратить внимание на то, что условие (3) для О (постоянной равности фаз между двумя соседними колебаниями), соответствующее максимуму результирующей амплитуды А„совладает с условием максимума при сложении двух колебаний.
Условие (6) нулевой результирующей амплитуды отличается от соответствующего условия при сложении двух колебаний. эзз Зааача 21.7. Плоская монохроматическая волна (Л 0,54 мкм) падает на тонкую собирающую линзу В (рис. 146) с фокусным расстоянием / = 50 см. Вплотную за линзой расположена плоская диафрагма Ю с круглым отверстием, а эа диафрагмой, на расстоянии б = 75 см от нее, находится экран Э, на котором наблюдается дифракционная картина. При каких радиусах отверстия в центре дифракционной картины будет максимум освещенностиу Главная оптическая ось линзы перпендикулярна фронту падающей волны, плоскости диафрагмы и экрану наблюдения и проходит через центр С отверстия. Анализ.
Для расчета дифракционной картины свободную часть фронта волны следует разбить на воны Френеля. Как известно, зона Френеля — это свободный участок фронта волны, крайние ~~~ ',Ц~~ вторичные (виртуальные) источники которого посылают в рассматриваемую точку волны с разностью фаз я, т, е. с зг разностью хода Ье = Л/2 (под крайними виртуальными источниками понимаются такие, которые находятся на минимальном и максимальном рассто- Р яниях от точки наблюдения).
Так как волны от всех виртуальных источников, гМ Э располагающихся на открытой части фронта падающей волны (т. е. в отвер- Рис. 145 стии), распространяются в одной среде (в воздухе), то разность хода Ь оп- з ределяется только разностью расстоя- 1 ний от виртуальных источников до точки М.
На линзу, по условию, падает пу- з т з чок параллельных лучей (плоская волна), которые за линзой должны со- ;Р браться в ее главном фокусе г. Это значит, что на диафрагму с отверстием падает световая волна, фронт которой — сфера радиуса Я - 1 с цент- 'зг Э ром в главном фокусе )г линзы. Зоны, Рис. 147 проведенные из точки М экрана, ле-' жащей на перпендикуляре, опущенном из центра отверстия„ имеют форму сферических колец; перваа зона — форму шарового сегмента. На рис.
147 показаны (в сильно увеличенном масштабе) и обозначены цифрами первые три зоны. Если линза тонкая, то центр зоны 1 практически совпадает с точкой Π— центром линзы. Поскольку фронт волны обращен вогнутостью к экрану, то расстояния от края воны 1 до точки М меньше, чем ОМ, на Л/2, от края воны 2 — на 2Л/2 и т. д. Тогда расстояние от точки В (край отверстия) до точки М ВМ ОМ вЂ” ЙЛ/2, где й = 1, 2, 3, ... — число зон Френеля, которые отверстие диафрагмы оставляет открытыми. Так как эоны Френеля рав- 329 новелики цо площади, а результирующие волны от двух соседних зон Френеля приходят в точку М с разностью фаз х, то максимум освещенности в точке М наблюдается тогда, когда отверстие в диафрагме оставляет открытым нечетное число зон Френеля, Это соответствует Ь 1, 3.
б, ... в выражении (1). Условие (1) для нечетных ««совместно с геометрическими соотношениями, которые легко могут быть получены при рассмотрении треугольников ВСМ и ВСР, позволит найти искомый радиус отверстия. Решение. Если обозначить расстояние ОС через л, то ОМ «(+х,СР 1 — х, Треугольники ВСМ и ВСР прямоугольные, и с учетом выражения (1) можно записать (? — х)«+ «з, («( + х — щЛ/2)з - «(з + гз, где г — искомый радиус отверстия. Раскрывая скобки и пренебрегая членами, содержащими хз, Л' и хЛ, кзк малыми величинами второго порядка, получим: 2~я гз, 2««х — «(яЛ - г'. (2) Уравнения (2) составляют систему относителъно неизвестных х и г.
При совместном решении атой системы находим ,- ~Ы77ю-««. Если ««1, то радиус отверстия г 0,90 мм. З адача 21.8. Плоская монохроматическая волна интенсивности Уэ падает нормально на плоскую диафрагму Д (рис. 148) с круглым отверстием радяуса г,. На каком расстоянии от В С ! диафрагмы следует расположить экран наблюдения Э,чтобы для точки М экрана, лежащей на одном перпендикуляре с центром С отверстия, последнее включало одну зону Фрезг неля? Какова интенсивность света в этом случае в точке М? Как изменится интенсивность, если закрыть '««г половину площади отверстия (цент- ральную часть или по диаметру)? гас.
14з Длина волны падающего света Л. ззо Анализ. Если на диафрагму с отверстием падает световая волна, то для расчета дифракционной картины свободную часть фронта падающей волны следует разбить иа зоны Френеля — участки, крайние виртуальные источники которых посылают в точку наблюдения волны с разностью' фаз Л Эе = я, т. е. с разностью хода «« —. Если все пространство между отверстием диафрагмы и экраном наблюдения однородно, то разность хода равна разности расстояний от крайних виртуальных источников эоны до рассматриваемой точки экрана наблюдения.
По условию, падающая волна плоскаа, точка М лежит на перпендикуляре, восставленном из центра отверстия, поэтому первая (централъная) зона Френеля представляет круг с центром в точке С, все последующие зоны — плоские концентричные кольца. Расстояние от крайней точки В первой зоны, совпадающей в данном случае с отверстием в диафрагме, до точки М боль- Л ше, чем расстояние СМ, на —: Х Л ВМ СМ + — «(+ (1) Так кзк интенсивность волны, приходящей в какую-либо точку пространства, прамо пропорциональна квадрату амплитуды волны, приходящей в эту же точку пространства, то для расчета интенсивности следует провести геометрическое построение, которое позволило бы найти амплитуду А, резулътирующего колебания, приходящего в точку М от всех виртуальных источников первой зоны, и амплитуду Аэ резулътирующего колебания при отсутствии диафрагмы (т.
е. когда число открьггых зон Френеля й - ос). Разобъем первую зону на отдельные равные элементы, настолько малые, чтобы все виртуальные источники такого элемента посылали в точку М волны в одной фаза. Это возможно, если все точки этого элемента рзвноудалены от точки М. Такими элементами можно считать тонкие кольца толщины «Лг с центром в точке С. Пусть 9« — разность фаз между волнами, приходящими в точку М от соседних колец, ૠ— амплитуда результирующей волны, посылаемой одним кольцом. Тогда, используя векторный метод сложениа гармонических колебаний, можно найти результирующую амплитуду в точке М ЗЗ1 от первой зоны.
Однако реэультат будет тем точнее, чем тоньше каждое иэ рассматриваемых колец. В пределе Лг — О, а число таких элементарных колец т -+ со. В этом случае 1пп шэ,=я, (2) е) так как крайние элементарные кольца соответствуют крайним виртуальным источникам одной зоны; 1пп ва, = Ь„ (2) где Х, — реэультирующая амплитуда, которая получилась бы„если бы волны от всех элементарных колец первой эоны пришли в некоторую точку пространства беэ сдвига по фазе.
Следовательно, при суммировании всех элементарных векторов а„каждый иэ которых стремится к нулю, получится полуокружиость, длина которой Е, Если считать, что начальная фаэа колебаний, приходящих в точку М от центра первой эоны, равна нулю, то окружность будет располагаться так, как на рис. 149,а, реэультирующая амплитуда А, равна диаметру этой полуокружности. Если проделать подобное построение для второй воны, то вновь получится полуокружность, располагающаяся так, как показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
