1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 50
Текст из файла (страница 50)
149,а пунктиром. Длина этой второй полуокружности Е., < Е,. Аналогичный результат будет А для любой другой эоны. Причем полу. я окружности, соответствующие четным ~з/ ' т и нечетным вонам„будут располагаться тэк же, как Ь, и Ь, соответственно. Чем ,г больше номер зоны, тем меньше длина соответствующей полуокружности, Согласно теории Френеля, амплитуда вторичных воли, излучаемых виртуальными источниками, прямо пропорциональна косинусу угла между нормалью к фронту волны и лучом, идущим от виртуального источника к точке наблюдения. Чем больше номер зоны, тем больАр ше этот угол. Изменением амплитуды в пределах одной зоны можно пренебречь.
6) Подобные построения поэволят най- ти амплитуды А„ревультирующих ко- лебаний в точке М в зависимости от площади и формы отверстия в диафрагме. Если эакрыть часть отверстия так, что отверстие окажется меньше первой зоны Френеля, то разность фаз О между крайними виртуальными источниками, располагающимися в центре и по внешней границе эоны, меньше я. При векторном построении получится только часть дуги полуокружности.
Центральный угол, соответствующий атой дуге, равен 8. Длина хорды, стягивающей дугу, равна амплитуде результирующего колебания. Если, наоборот, эакрыть центральную часть отверстия так, что открытым останется кольцо, концентричное отверстию, то при векторном построении получится оставшаяся часть полуокружиости, по которой можно определить фаэу и амплитуду реэультирующего колебания. Зная амплитуды, можно найти соответствующие интенсивности Г, поскольку в любом случае У, - А,. Решение. Испольэуем равеиство (1) и теорему Пифагора для Л ВСМ: (б + 1/2)' = Н'+ г,', откуда, пренебрегая 1э/4 как малой величиной второго порядка, получим Ы у;э/Х. При полностью открытом волновом фронте построение приводит к спирали, подобной изображенной на рис.
149,б. При этом результирующая амплитуда А А,/2, (4) где А, — амплитуда результирующего колебания при условии, что радиус отверстия равен радиусу первой зоны. Падающая волна — плоская. Это эначит, что интенсивность света, приходящего в точку М беэ диафрагмы, равна интенсивности /э падающей волны. При диафрагме, отверстие которой совпадает с первой зоной, интексивность 1см. (4)1 с/1 = 4с/о. Если закрыть центральную часть отверстия, то это равнозначно тому, что на рис. 149,а останется только верхняя 332 333 б) Рис.
156 параллельных лучах (дифракция Фраунгофера). Оптическая схема страитса так, что в каждую фиксированную точку экрана приходит волны, которые после щели образуют плоский фронт, повернутый по отношеыию к фронту пада- половина дуги йп и результирующая амплитуда А„= А /ч2 . Тогда )ье - ~,/2 = 2с/а. Если закрыть внешнюю половину первой зоны, то результирующая амплитуда колебаний в тачке М ые изменится. Изменится только начальная фвэа ф реаультирующего колебания (рис. 149,а; пунктир). Если закрыть половину первой зоны по диаметру, то амплитуда волны, испускаемой открытой половиной каждого элементарного кольца, а,' я,/2, тогда '1пп та,' Ь,/2.
В Фазовые соотношения цри этом не измеыяются. Следовательно, векторное построение дает полуокружность, длина которой 1' 1 /2. Соответственно результирукыцая аыплитуда равна диаметру атой полуакружности: А,'~з А,/2. Интенсивность света в точке наблюдения А(з А/4 '/о. Зазача 21.9. Плоская монохроматическая волна(Л 0,60 мкм) падает на диафрагму Д с узкой щелью ширины Ь 0,04 мм (рис. 150,а). За щелью ыаходится собирающая линза 1 (1 40 см), д в фекальной плоскости которой распое ' ложен экран наблюдения Э. Определить положения минимумов первого и второго порядков на экране и относительную интенсивность первого максимума, Построить график распределения интен- Э О сивнасти в дифракционной картине.
Анализ. Как следует из описания з) установки, наблюдается дифракция в ющей волны на некоторый угол ф — угол дифракции. В падающей волне колебания во всех точках фронта происходят в одинаковой фазе. Вдоль фронта дифрагированной волны фаза от точки к точке изменяется, и для точек А и В (рис. 150,б) разность фаз 22э 2я 8 ЛЬ Л Ьз[пф. (1) Зта разность фаз, одыозначыо определяемая углом днфракции ф, сохраняется вплоть' да соответствующей точки экрана.
Тонкая линза ые изменяет фазы проходящей через ыее волны. Чтобы найти условия минимума или'максимума, не' проводя расчета зависимости интенсивности от угла дифракции, разобьем щель на зоны Френеля. В данной схеме аоиы вти имеют форму тонких полос, расположенных вдоль щели, ширина их, очевидна, зависит от угла днфракции. Минимум будет наблюдаться, если в щель уложится четное число зон Френеля. В атом случае разность фаз 0 — разность фаз между лучами, идущими ат крайних виртуальных источников щели,— должна быть равной четному числу я.
Поэтому условие минимума для щели [см. (1)1 имеет вид 2э — Ь в1п ф„2ая, Ь з[п ф = шЛ, где ф — угол дифракции, соответствующий минимуму ш-го порядка. При дифракции Фраунгофера в точках, соответствующих минимуму интенсивности, волны, приходящие от соседних зон Френеля, гасят друг друга полностью, так как вследствие параллельности лучей амплитуды их одинаковы. При наблюдении под углом ф 0 имеет место центральный максимум (волны от всех виртуальных источников щели име.
ют одинаковую фазу). Приближенное условие максимума й-го порядка Ь зп1 ф, = (2й + 1) 2 . Л (3) В этом случае в щели укладывается 2й + 1 зон Френеля, Выражения (2) и (3) при известном фокусном расстоянии линзы позволят найти положения минимумов и максимумов на экране. Для оценки интенсивностей следует провести геометрическое сложение колебаний, приходящих в некоторую точку экрана, которое позволит найти амплитуду А ре- 334 ззз зультирующего колебания в некоторой точке экрана, соответствующей углу дифракции кр. Разобьем для этого щель на г очень уаких элементарных полосок ширины 2ЛЬ каждая.
При достаточно малых значениях 2ЛЬ можно считать, что все виртуальные источники одной элементарной полоски излучают волны, которые при заданном угле ~р подходят к линзе без разности хода. Поскольку тонкая линза не иаменяет фазы проходящих через нее волн, то зти волны придут к соответствующей точке экрана также без сдвига по фазе. Обозначим а, — разность фаз между волнами от двух соседних элементарных полосок; а,— амплитуду результирующей волны, излучаемой одной полоской. Очевидно, результат векторного сложения будет тем точнее, чем меныпе ширина ЬЬ каждой элементарной полоски и соответственно чем больше число г таких полосок.
В пределе при ЬЬ '- О число г са. В этом случае 2л 1пп га,=8= — Ьзшкр, «Л где 9 — разность фаз между волнами, излучаемыми виртуальными источниками, расположенными по краям щели; 11ш га, =А, где А — результирующая амплитуда колебаний, которая имела бы место, если бы волны от всех виртуальных источников приходили в некоторую точку экрана беа разности фаз. В данной схеме такой точкой является точка О, совпадающая с главным фокусом линзы. В точке О собираются лучи„параллельные оптической оси линзы, для которых угол дифракции кр = О. С При векторном сложении колебаний, г когда каждый из «изображающих«век- ,8 торов стремится к нулю, получим плавную кривую, имеющую форму дуги окружности; ее длина ь = А „где А — ре- 22 зультирующая амплитуда в точке О экю рана; соответствующий этой дуге цент- О ральный угол равен 9 (рис.
151). Иско- мая амплитуда А — хорда, стягивающая Рлс. 132 эту дугу. Для расчета А рассмотрим 22 СОВ. Очевидно, ОЭ = А /2 = г з)п (О/2). Радиус окружности г = Е/8. Тогда в1п (кк/2) '4 =А В/2 где А« — амплитуда результирующего колебания в точке х 0 экрана. Учитывая, что интенсивность | - А', получим зи)г (Е/2) '/ и«( )2 (4) где / - Аг — интенсивность центрального максимума; 8 = (2х/Л) Ь з1п ~р — разность фаз между волнами, приходящими в данную точку экрана от крайних виртуальных источников на щели.
Как следует из выражения (4), Г = О, если з1п (8/2) О, т. е. 9/2 пас, где п« 1, 2, 3,;, или кг = 2тя. Учитывая выражение (1), получим условие минимума, совпадающее с (2): Ь з1п ~р- а«Л. Значения угла кр, при которых интенсивность максимальна, можно рассчитать, как обычно, определив 4У/Ж и приравняв эту производную нулю. Полученное уравнение не имеет точного решения. Числовой метод дает значения угла кр дифракции, близкие к условию (3), поэтому, как уже указывалось, зто условие является приближенным.
Решение. В точку х Π— главный фокус линзы — приходят лучи, идущие под углом ~р = О, т. е. в этой точке— центральный максимум. Координата любой точки на экране, в которую приходят лучи с углом дифракции кр, х /13 кр, (5) Для минимумов 1-го и 2-го" порядков угол кр удовлетворяет условию (2) (а«2 = 1 и в2, 2) з1п кр, Л/Ь 0,015, з)п ~рэ = 2Л/Ь = 0,030. Полученные зиачеяия синусов настолько малы, что можно считать зш ~р = 13 ~р. Тогда по формуле (5) координаты минимумов 1-го и 2-го порядков: х, хбммих,=х12мм.
! Ьебнрннк к«к«к 337 336 Положение максимума 1-го порядка также может быть определено из равенств (5) и (3) при Ь = 1: э1п <р,' ЗЛ/(2Ь); х,' й 9 мм. Чтобы определить относительную интенсивность первого максимума, используем вырыкение (4), Подставив условие (3) при Ь = 1 в (1), получим О, Зя, откуда 1см. (4)] -12 -3 '/~/'/о 4/(9х') 0,045. Чтобы построить примерный график распределения интенсивности на экране, помимо известных значений интенсивности в минимумах (,7 = О), центральном максимуме (/ /э) и в первом максимуме (7 = 0,045) рассчитаем интенсявность на половине ширины центрального максимума, т.
е. при 9' я, что согласно (1) соответствует углу дифракции ~р' эгсз1п ~Л/(2Ь)1. Из выражения (5) для 9 е' найдем х' х 3 мм. Из выражения (4) для Е -яп у м /'/'/э 4/я' = 0,41. График распределения интенсивности показан на рис. 152. Заэача 21,10. На дифракционную решетку падает плоская волна, фронт которой параллелен плоскости решетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
