1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Общее число штрихов решетки К = 1000, период б = 5,1 10 ' мм. Падающий свет содержит две длины волны: Л, 4600 А и Л = 4602 ч. Начиная с какого порядка спектра эти линии будут разрешены? Определить угол дифракции найденного порядка спектра. Какой наибольший порядок спектра можно наблюдать с такой решеткой7 Наблюдение дифракцнонной картины ведется в параллельных лучах с помощью соответствующей оптической системы. Анализ. Для того чтобы наблюдение дифракционной картины проводить в параллельных лучах, следует расположить экран наблюдения бесконечно далеко от решетки либо за решеткой поместить линзу с фокусным расстоянием 7, а экран наблюдения — в ее фокальной плоскости (рис. 153, а).
В этом случае в каждую точку экрана будут приходить вторичные волны, образующие эа решеткой плоский фронт, повернутый по отношению к фронту падающей волны на опреде. 1 ленный угол 9 дифракции. Те углы дифракции, для которых волны, иэлучаемые всеми щелями, будут усиливать друг друга, соответствуют Э главным максимумам. Благодаря периодичности решетки достаточно Ы найти условия, при которых волны, излучаемые двумя соседними щелями, усиливают друг друга. Вто происходит тогда, когда разность э) хода между осевыми лучами волн, из- Рис. 153 лученными соответственными виртуальными источниками двух соседних щелей (рис. 153, б), равна целому числу длин волн: й = д з1п (р„= юХ.
(1) Период решетки д, как видно иэ рисунка, равен суммарной ширине щели и непрозрачного промежутка. Поскольку каждая щель дает наиболее интенсивное излучение для углов дифракции 9 < агсзш (Л/Ь) (см. задачу 21.9), где Ь вЂ” ширина щели, в оптических дифракционных решетках ширина а непрозрачного промежутка несоразмерна Ь и всегда а > Ь. Условие минимумов при дифракции на решетке имеет вид (2) д э1п <р„' ЬЛ/Ф, где Ь Ф Ф; 2Ь1 и т.
д.; Ф вЂ” общее число штрихов. Это условие легко может быть получено векторным методом сложения гармонических колебаний, излучаемых каждой щелью, и соответствует такой разности фаз 9 = (2л/Л)Л, при которой «изображающие» векторы образуют замкнутый многоугольник (см. задачу 21.6). Как видно иэ сравнения условий (1) и (2), между двумя главными максимумами располагается Ь/ — 1 минимумов и столько же побочных максимумов. Каждый главный максимум, следовательно, имеет некоторую конечную ширину— расстояние между ближайшими минимумами, располагаю- 338 ш = Л,/[Ф(Л, — Л,)] = 2,3. Ь Ь(к — 1).
(1) ср - агсз)п (ЗЛэ/д) 16'. з) б) Рис. 154 341 340 щимися справа и слева от него. Так, например, значения И - " 1 в условии (2) соответствуют минимумам, ограничивающим центральный максимум [ш 0 в условии (1)]; й = Ж вЂ” 1 и И = Ф + 1 соответствуют минимумам, ограничивающим первый главный максимум (и - 1). Максимумы двух близких по длине волн могут перекрываться.
Принято считать, что две длины волны разрешены, если расстояние между их максимумами одного порядка не меньше, чем расстояние от максимума данного порядка одной длины волны до ближайшего к ней миниму. ма той же длины волны. Данное условие разрешения с учетом выражений (1) и (2) позволяет ответить на поставлен. ные вопросы.
Решение. Волны с длинами Л, и Л можно считать раэрешеннымя„если максимум т-го порядка для волны Л совпадает с минимумом для волны Л, ближайшим к ее максимуму того же ш-го порядка. Для волны Лэ положение и-го максимума [см. (1)] з)в ~р - т)з/4(. Минимумы для Л„ближайшие к ее максимуму того же и-го порядка [см. (2)], э)п ср' = (иК вЂ” 1)Л,/(<ФЬЮ), юп 4)" (иФ+ 1)Л,/(оМ). Поскольку Л ) Л„надо, чтобы угол ~р„совпадал с углом <р". Тогда шЛ, - (шФ + 1)Лв/))в' или и(Лэ' — Л,) = Л,/Ю, откуда искомый порядок спектра Это значит, что разрешение указанных волн начнется только с главных максимумов 3-го порядка.
Угол дифракции спектра найденного порядка может быть определен иэ выражения (1) для т 3: Наибольший порядок спектра, который можно наблюдать, определяется условием <р„,„, < я/2. Следовательно, д з)п ~р - — "'"' < 1 и т < — = 11,3. ввв Ю Л Это значит, что можно наблюдать 11 порядков спектра, 11 главных максимумов. Зааача 21.11. В прозрачной стеклянной пластинке (показатель преломления п) сделаны углубления так, как показано на рис. 154.
Ширина уступов и впадин одинакова и равна а. На верхнюю поверхность пластины нормально к ней падает плоская световая монохроматическая волна с длиной волны Л. Наблюдение дифракционной картины ведется в параллельных лучах. При каком минимальном значении глубины И в центре дифракционной картины будет минимум? Под каким углом д, виден при этом главный максимум 1-го порядка? Анализ. В задаче оговорено, что наблюдение дифракционной картины ведется в параллельных лучах. Это значит, что оптическая схема включает линзуЬ(рис.
154, а), расположенную за стеклянной пластинкой. В фокальной плоскости линзы находится экран наблюдения Э. Тогда свет, прошедший через стеклянную пластинку без изменения направления, собирается линзой в ее главном фокусе — в центре дифракционной картины. Световые пучки, прошедшие без отклонения через все выступы, приходят к плоскости М)т', параллельной фронту падающей волны, в одинаковой фазе, так же как я световые пучки, прошедшие через все углубления.
Однако между теми и другими пучками имеется разность фаэ, обусловленная тем,. что первые из них проходят расстояние Ь в стекле, вторые — в воздухе (такая система называется фазовой дифракционной решеткой). Оп- И тическая разность хода между этими пучками определится выраже- нием В центре дифракционной картины будет минимум, если оптическая разность хода. (1) кратна нечетному числу полуволн. Главные фраунгоферовы максимумы наблюдаются при таких углах дифракции, когда световые пучки как от выступов, так и от углублений усиливают друг друга. (3) Ь, аз(п~р 81П ф1 = Л/(2о).
(4) 2н йФ вЂ” 9+ — й. м (5) (6) ЛФм = 2Ьх, ЬФм 2тя, 343 342 Идеальнаа иериодичиость фазовой решетки, казалось бы, позволяет свести расчет дифракционной картины к интерференции двух световых пучков, проходящих через соседние выступ и углубление.
Однако колебания виртуальных источников, расположенных в плоскости МЖ в выступах, отстают по фазе от колебаний источников, расположенных также в плоскости МЬР, но в углублениях, на 2я 9 — Ь, (2) Л Поэтому соответственные лучи, например 1 и 2, исходящие от виртуальных источников А и В (рис. 154,б), и лучи 2 и 3, исходящие от виртуальных источников В и С, хотя и испускаются иэ соответственных точек соседних углубления и выступа, но отличаются друг от друга по фазе на разные значения.
Виртуальный источник А опережает по фазе источник В на Э (см. (2)1. Кроме того, луч 1 опережает луч 2 на разность хода и суммарная разность фаз 2я ЛФ 8+ — Ь. м Л Колебания виртуального источника В отстают по фазе от колебаний источника С на 9. Кроме того, луч 2 опережает луч 3 по-прежнему на разность хода йг Поэтому разность фаз между лучами 2 и 3 Условия максимумов, как обычно, сводятся к тому, что найденная разность фаз должна быть равна четному числу ж где Ь, ж — целые числа.
Если числа Ь, ж можно подобрать так, что оба уравнения (6) дадуг один и тот же угол дифракции <р, то максимум, наблюдаемый под этим углом, будет наиболее ярким. Возможность зта, очевидно, зависит от разности фаэ Э, т. е. от глубины Ь. Решение. В центре дифракционной картины наблюдается минимум, если разность хода Л, (см.
(1)) равна нечетному числу полуволн: Л Ь(л — 1) (2ж — 1) —, 2' 1чинимальиая глубина Ь соответствует ж = Л, т. е. Л 2(я — 1) ' Чтобы найти углы дифракции, соответствующие главным максимумам, подставим выражения (1) — (3) в (4) и (5). Тогда уравнения (6) примут такой вид: 2я — [а 31п ~р+ Ь(в — 1Ц 2Ья, 2я — (а з(п <р — Ь(п — 1)] 2жх.
Л Легко видеть, что при найденном аначении Ь (см. (7)1 оба уравнения дают одинаковые углы дифракции при Ь ж + 1. Первый главный максимум получится при Ь = 1, ж О: 2 22. Взаимодействие света с веществом Задачи этого параграфа охватывают прежде всего явления дисперсии и поляризации. При изучении первого из этих явлений следует помнить, что применяемые теоретические формулы — и законы дисперсии, и выражение для групповой скорости и - Йм/4Ь вЂ” справедливы только в узком диапазоне длин волн. Более того, само понятие групповой скорости — скорости распространения огибающей к волновому пакету — имеет смысл до тех пор, пока деформация волнового пакета незначительна.
Зто значит, что волновой пакет содержит гармонические волны в диапазоне длин волн от Л до Л + ЬЛ, где ЬЛ « Л, и что дисперсия мала. Задачи, связанные с явлением поляризации (поляризация при отражении и прохождении света через одноосиые кристаллы), имеют феноменологический характер. Ни формулы Френеля, ни построения волновых поверхностей в кристалле не рассматриваются. Кроме того, в задачах данного пары рафа затрагивакггся вопросы, которые обычно относят к квантовой оптике,— давление света и фотоэффект.
Зааача 22.1. Вычислить групповую скорость: 1) поперечкых упругих волн в стержне, фаэовая скорость которых о а/Л (а = сопзз); 2) электромагнитных волн в рззре- Й .Ф Р р * - «/«+.«« (А = сопз$). Анализ. Если среда обладает дисперсией, т. е. фазовая скорость волн зависит от циклической частоты е«(или от длины волны Л), то независимо от природы волн групповая скорость отлична от фазовой и может быть рассчитана как и - бм/бй, где Й = 2х/Л вЂ” волновое число. Если задан закон дисперсии, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
