1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 52
Текст из файла (страница 52)
е. о о(Л) или о о(«е), то выражение длз групповой скорости можно найти, используя соотношения между фазовой скоростью, длиной волны и циклической частотой: «е = 2хо/~ й = «э/и. (2) Решение. 1. Закон дисперсии задан как о = о(Л). Преобразуем правую часть выражения (1): 4«э 4«э 4З 4Л 4«««/дЛ Используя выражения для волнового числа и первую из формул (2) и производя дифференцирование, получаем бо и=и вЂ Л вЂ . 4Л (3) Подставим в выражение (3) заданный закон дисперсии: 4 /.) 2э и-о — Л вЂ” ~ — ) = — =2о. 4Л(,Л/ Л (4) Полученный результат показывает, что в данном случае групповая скорость, т. е. скорость распространения волнового возмущения (волнового пакета), больше фаэовой скорости.
Под фазовой скоростью о в выражении (4) можно Коиимать среднюю фаэовую скорость волн рассматриваемого интервала или ее минимальное значение. 2. Закон дисперсии задан как о о(«е). Преобразуем выражение (1): а«э 4«э,Ь 1 1 ,ц«4о 4/«4и/4«о 4э/йо Используя вторую из формул (2), произведем дифференцирование: бь (4«э / бс) - э« сз Подставим полученное выражение производной 6««/бп в формулу (5): У' ,:Да,««Д (6) По ааданному закону дисперсии а 4 с сА (7) а а «~,'„~,,«~,„«„) Подставляя выражение (7) и закон дисперсии в (6), получаем с тЯ «Р-"«..
(8) Зааача 22.2. Показатели преломлении сероуглерода для света с длинами воли Л, = 5090 /«, Л« = 5340 «««, Л, 5740 А соответственно равны: в, 1,647; и, 1,640; в, 1,630. Найти фаэовую скорость для Лз и групповую скорость вблизи нее. Анализ. Фаэовые скорости для каждой заданной длины волны могут быть найдены по формуле и, с/вг Групповая скорость равна скорости распространения энергии, варено«жмой данным волновым пакетом, и не может превышать скорости света с в вакууме. Следовательно, выражение (8) имеет смысл, если в выражении (7) коэффициент А с О, т. е. фзэовая скорость распространения волн о > с.
Для нахождения групповой скорости надо знать закон дисперсии. Общее выражение групповой скорости можно преобразоватея ба 4м 43 4Л 43/4Л. Учитывая, что )е = 2я/Л, ео = 2яо/Л, получаем и = о — Х(е)о/дЦ. (2) По условию, групповая скорость должна быть выражена через показатель преломления и и длину волны Л. Используя выражение (1), преобразуем формулу (2): и — 1+ —— (3) Производная бк/Ы может быть найдена, если известна функция п(Л), либо графически по тангенсу угла наклона касательной к графику п(Ц в данной точке.
Для построения графика недостаточно трех точек с заданными значениями п и Л. Поэтому задача может быть решена только приближенно. Если отношения (ве — я,)/(Л вЂ” Л,) и (и, — в,)/() — Л ) (4) равны или незначительно отличаются друг от друга„'то функцию л(Ц можно считать в диапазоне от Л, до Ле близкой к линейной. Тогда производная Йв/4Л для Л = Л, равна отношению (4) либо среднему из двух значений. При значительном расхождении отношений (4) оценить групповую скорость по данным задачи невозможно.
Реэеекие. Фазовзя скорость для Л = Л, [см. (1)] ие = 1,83. 10' м/с. Рассчитаем отношения (4): (л — в,)/(Ъ вЂ” Л,) — 2,80.10 е А ', )/( Л ) 2 60. И)-е А-е Как видно, расхождение составляет около 11% и в качестве е)я/бЛ при Л Л, можно взять среднее: — - — 2 66 10 ' А '. Йл «)Л Знак «-» показывает, что с ростом Л показатель преломления уменьшается, а фазовая скорость увеличивается (область нормальной дисперсии).
Подставляя найденное значение е(п/дЛ, а также п в,и Л Л, в выражение (3), получим и = 1,7 10 и/с. Рассчитанная групповая скорость равна скорости волнового пакета, содержащего длины волн в интервале от Ле до Л + ЬЛ, где ЬЛ ч. Ле. Заавча 22.3. Электромагнитная волна с циклической частотой оо распространяется в разреженной плазме. Концентрация свободных электронов в плазме М .
Определить зависимость фазовой скорости электромагнитных волн в плазме от их частоты, если взаимодействием волны с ионами можно пренебречь. Анзлиз. Согласно теории Максвелла, фазовая скорость электромагнитной волны в среде 1 с ееоээо где с 1/,~е Р— скорость света в вакууме, е и (е — соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды. Если считать относительную магнитную проницаемость разреженной плазмы близкой к единице, то задача сводится к нахождению зависимости е(ео). Диэлектрическая проницаемость характеризует свойства среды по отношению к электрическому полю. Формально электрические свойства среды могут быть охарактеризованы вектором поляризации Р, равным отношению дипольного.момента некоторого объема диэлектрика к этому объему.
Если вектор поляризации прямо пропорционален напряженности Е электрического поля, то коэффициент пропорциональности а определяет диэлектрическую проницаемость среды: Р еоаЕ (2) (коэффициент ео введен только для того, чтобы коэффициент а был безразмерным). Диэлектрическая проницаемость, как известно из курса электростатик и, (3) 346 341 Таким образом, чтобы найти характер зависимости з(аа), необходимо выяснить, что происходит в плазме при прохождении электромагнитных волн. Разреженная плазма представляет собой в первом приближении совокупность свободных электронов и положительных ионов.
При отсутствии полей плазму можно считать электрически нейтральной, концентрации положительных ионов и электронов одинаковы в любом достаточно малом, но макроскопическом объеме. Рассмотрим действие электрического поля электромагнитной волны на свободные электроны в предположении, что взаимодействием электронов между собой и с ионами можно пренебречь. Действие магнитного поля волны можно не 'учитывать.
Из соотношения между амплитудными значениями напряженностей полей (чаааЕа,~ираНа) легко показать, что от- ношение максимальных сил /„ // = и,/с, где и, — скорость движения электронов, Если электроны совершают колебательное движение, то поле, ими создаваемое, аналогично полю колеблющихся диполей, и вектор поляризации можно найти как Р Ра)" а (4) где ра — некоторый средний изменяющийся со временем электрический момент диполя, соответствующий движению одного электрона; Ма — концентрация электронов. Чтобы найти характер зависимости ра(аа), рассмотрим движение электрона под действием электрического поля падающей волны.
Если пренебречь изменением фазы волны на расстояниях, малых по сравнению с длиной падающей волны, то напряженность электрического поля, воздействующего на электрон, Е = Е соз со4. Согласно второму закону Ньютона, ди, эа,— ' е.Е, соз вц (б) где эа, и е — масса и заряд электрона. Знаки векторов в уравнении (5) опущены, так как предположено, что падающая волна плоскополяризована и вектор Е колеблется только в 348 одном направлении, например вдоль некоторой оси Х. Такое же направление сохранит и вектор ускорения а = Йп,/64.
Умножим обе части уравнения (б) на бг/ж, и произведем интегрирование в пределах от а = 0 (и, = 0), т. е. от начала действия электромагнитной волны, до произвольного момента Г (скорость электрона примет некоторое значение и,): 4)п, — 1 со Г 64. еЕ~ Г а ' эае а В результате интегрирования получим выражение для скорости электрона: дх еЕ и, = — = — а-з1п м. а м,в Пусть в момент а = 0 координата электрона ха, тогда Интегрируя это выражение, находим закон движения электрона: х-х + — — — созе(, еЕа еЕа (6) а а а е е где еЕа/(т,ае) — некоторое постоянное смещение электро- нов при прохождении электромагнитной волны.
Очевидно, что появление такого смещения обозначает нарушение элек- трической нейтральности плазмы, но так как зто смещение не зависит от времени, то оно не изменит фазовой скорости волны, Слагаемое ха следует отбросить, так как вследствие нейтральности плазмы до воздействия электромагнитной волны при усреднении по всем свободным электронам оно обратится в нуль. Таким образом, искомый дипольный мо- мент ра - ех(() определяется только последним членом выра- жения (6): аа р — — Е соз ааа. а а а е Благодаря сданному ранее предположению о том, что падающая вази;а плоскополяризована, последнее равенство можно записать в векторном виде: р = — еаЕ/(эа,аг). 349 Тогда >ем. (4)) вектор поляризации Р = — е К4Е/(э>,<сз) и на основании (2) и (3) е >><о>(зоз>.<э ) (7) Решение.
Подставив выражение (7) в (1), найдем фазовую скорость как функцию циклической частоты, т. е. закон дисперсии: Из этого выражения очевидно,что в данной среде фазовая скорость электромагнитных волн больше скорости света в вакууме. Следует помнить, что весь вывод основывается на приближенной модели, согласно которой разреженная плазма представляет собой совокупность положительных ионов и электронов, не взаимодействующих между собой. Предположение о плоскополяризовэнной волне не принципиально и введено только для упрощения расчета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
