1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Решение. Подставляя выражение (5) в (2) и производя дифференцирование, получаем ! СУоооо з1п (о1ог + ао). (8) Сила тока в контуре изменяется также по гармоническому закону с той же частотой оо„что и напряжение, но со - 1а С(/рррр (/р /С/Е' 1В - ~р, — Ч)~ + 3*1. фр (/рЛС/Ф 4'10 Р Вб (2) 49 ЙУ 1 — — — С— 41 41 (3) ~'т = 3С(/р з)п' сф. 1 или а'ц и аи — + — — + — У О.
<М~ Ь 41 ЬС (4) 301 300 сдвигом по фазе на л/2: Как видно из равенства (6), магнит- ный поток изменяется со временем синхронно силе тока (Х и М постоянны), следовательно, достигает максимальных зна. ченнй тогда же, когда и сила тока. Амплитуда силы тока Тогда максимальный магнитный поток [см. (6)1 Для определения начальной фазы колебаний напряжения подставим формулы (б) и (8) при 1 0 в выражения для энергий: )Р,(0) = СУр созэ ар, %' (0) -ЬС~УР01~~ з)пз ар, Поскольку щзр 1/Щ), выражение для энергии магнитного поля можно переписать в виде Тогда [см. (7)1 соз ар= а(п' а или М а = ~ 1; а - х х/4.
Очевидно, что значение ар' при записи выражения для У = Ур з1п (01р(+ ар) бУдет отличатьсЯ от найденного на +я/2. Заззча 20.2. Колебательный контур состоит из катушки нндуктивностью Ь = 5,0 мГн и конденсатора емкостью С = 0,2 мкФ. 'При каком логарифмнческом декременте и омическом сопротивлении цепи энергия уменьшится на порядок за трн полных колебанияу Какова относительная погрешность при расчете частоты по формуле собственных гармонических колебаний для найденного омического сопротивления7 Аяалкз. Полная энергия контура, в котором происходят электромагнитные колебания, прямо пропорциональна квадрату амплитуды, например, напряжения на обкладках кон- денсатора.
Но при наличии омического сопротивления колебания будут затухающими, т. е. амплитуда напряжения (силы тока и других величин) — монотонно убывающая функция времени. Чтобы составить дифференциальное уравнение, характеризующее изменение заряда или напряжения на обкладках конденсатора, применим обобщенный закон Ома к участку 1 Ь 2 (рис. 132)".
Если считать, что напряжение на обкладках. конденсатора П>Оприф,>ф,т. е. то направление тока, показанное на рисунке, соответствует убыли заряда конденсатора, т. е. Подставив выражения (2), (3) и Я'р — Ц61/41) в (1), получим би 4РС вЂ” С вЂ” В' У+ ЬС— 41 Йгэ Для решения тйкого уравнения следует ввести новую переменную з = Уев, где 3 Е/(2ь).
Тогда Решением последнего уравнения, если выражение, стоящее в скобках положительно, является гармоническая функция г А з)п (юг+ ар), причем ОР = — — — 01 ХС 41Р Р ()У) = Я,/Т = С'11, а~В/2. с»ос О - ~1»Вбг. (/с/) = Уо'СВ/(2Ь) = 1,3 мВт. (2) (3) У - Уо з)л (ост + ао), с+т (б) 1В = р, — ср, + 8; + У, (1) Рис 133 с с-еьсонис зала» 304 305 ляемая мощность равна отношению количества джоулевой теплоты, выделяющейся на сопротивлении В в течение некоторого промежутка времени ДФ, к этому промежутку: <)У) а /Д(. Количество выделившейся теплоты с Очевидно, что характер незатухающих колебаний, а значит, и выбор промежутка ДФ зависят от того, как происходит подача энергии извне.
Если предположить, что возникающие незатухающие колебания близки к гармоническим, т. е. напряжение изменяется по закону то промежуток времени следует брать Равным периоду коле2к баний: ДГ Т = —. Силу тока в катушке монсно найтя по выражению 1 х — хС вЂ”. а ' 4(/ (4) Йс Йс Знак о-», как и раньше, означает, что положительное направление тока соответствует уменьшению заряда на обкладках конденсатора. Решекие, Подставляя выражение (3) в (4) и производя дифференцирование, находим 1 ~ С(/, аэ (осз + Количество джоулевой теплоты [см. (2))„выделяющейся за Дг- Т, 9 - С'(/ом 'В ~сов'(ос(+ ао) 41. Выполним расчет с+т 1 с,т Й созо(ос»+ ао) 41 - — ) [1+ еоэ 2(он+ ао)[йс Т Тогда средняя эа период мощность Считая, что циклическая частота может быть рассчитана по формуле (1), находим Правомерность расчета частоты ос по формуле (1) легко может быть проверена по результатам предыдущей задачи, Задача 20.4.
В колебательный контур, состоящий иэ катушки иидуктивноетью Ь и конденсатора емкостью С, включен источник с постоянной электродвижущей силой 3'о (рис. 133). Определить законы изменения ео временем напряжения на обкладках конденсатора и силы тока в катушке, если омическим сопротивлением контура можно пренебречь. Построить графики зависимости У(с) и 1(1). Акализ. При замыкании ключа К начнется процесс зарядки конденсатора. Когда напряжение на обкладках конденсатора будет приближаться к значению 8'о, так в цепи'должен исчезать. Однако ЗДС самоиндукции препятствует исчезновению тока, и, следовательно, можно предполагать, чта конденсатор сможет зарядиться до некоторого значения У > 8'о.
Когда напряжение достигнет максимального значения Уо, сила тока окажется равной нулю, начнется разрядка конденсатора через катушку и источник, т. е. ток в контуре будет идти противоположно направлению, показанному на рисунке. Чтобы найти закон изменения У(г), применим обобщенный закон Ома к участку 1 Г»Х 2: к Пусть напряжение на конденсаторе У > О, если ср, > ср,. Тогда 4О) Ы У = ср — ср, 1 = — = С вЂ”.
(2) ас 4» Здесь положительное направление тока соответствует увели- 41 чению заряда конденсатора. Учитывая, что 3' — Š— и бз В = О, и подставляя выражения (2) в (1)', получаем бзи 0 = — У+ 3' — ЕС— е бзз нли — +сз У=аз 3' бзи бзз о о е' (3) У = 2+3;, бзУ/бгз=бзв/без, и уравнение (3) примет вид бзл/буз - сз,'в - О. Поскольку сзз > О, решением такого дифференциального уравнения является гармоническая функция времени и = го сов (мог + ао), откуда ло соэ (ыег + <"о) + 3'о 1 = Своозо еш (зоог + ззо) (4) Постоянные ве и ао зависят от начапъных условий.
Выберем в качестве начала отсчета времени момент замыкания ключа К. Тогда У = О, 1 = О при з О. Подставив эти начальные условия в выражения (4), получим: ха сое оо + 3е 0 Сэооза взп оо = О. Совместное решение этих уравнений, содержащих в качестве неизвестных ао и го, дает оо ззь ва 3е (либо по О' ло 3о).
806 где азо =,)1/(Е,С) — ссбственнаа частота контУРа пРн отсутствии источника. Решив уравнение (3) и подставляя полученный результат в выражение для силъз тока [см. (2)], найдем У(з) и з(з). Решеяке. Для решения дифференциального уравнения (3) введем новую переменную и У вЂ” 3'. Тогда Подставим найденные эначе- и, 11 иия ао и х, в выражения (4): 3 о(1 соз сооз)~ 1 = 3"о,~С/ Е э1п озог.
Графики У(з) и Е(з) приведены на рнс, 134. рис з84 Как видно, сила тока обращается в нуль и при У О, и прн У = 23'о, а достигает максимального значения, когда напряжение на обкладках конденсатора У = 3' . 3' ы' о з (ые+ы~) +43зыз б ' Х. (ы'/ы-ы) +43' (2) где 3'о и оз — амплитуда и частота вынуждающей ЭДС, 3— коэффициент затухания контура. (Формула (2) может быть получена из (1), поскольку вынужденные колебания гармонические и 14 = Сы Уо.) Следует обратить внимание, что, хоти в условии ничего ве сказано об омическом сопротивлении контура, им заведомо нельав преиебречзо прн отсутствии омнческого солрстивлевив в контуре происходит как вынужденные, так и собственные колебании.
807 Зваача 20.5. В колебательном последовательном контуре происходят вынужденные гармонические колебания. При частотах вынуждающей ЭДС соз = 300 с ' и озз = 600 с ' амплитуда силы тока равна половине своего максималъного значения. Определить частоту озо собственных гармонических колебаний контура и частоту ве вынуждающей ЭДС, при которой амплитуда напряжения на обкладках конденсатора максимальна. Акалва. Вынуждающая ЭДС изменяется по гармоническому закону, поэтому в контуре происходят вынужденные гармонические колебания. В атом случае амплитуды соответственно напряжения и силы тока равны (3) (6) =406 с'. 1з 2'з/(2РХ.).
3з Ь [щз/щ ) 43з 43Ъ (аз/ззз -мз) +43 эоэ Анализ выражения (1) показывает, что Уз максимально при [При этом значении с> производная подкореиного выражения в равенстве (1) обращается в нуль, само подкоренное выражение имеет минимальное значение.) Анализ выражения (2) показывает, что 1з максимальна при сз = сз . Подставляя в выражение (2) поочередно значения оз, и сзз и приравнивая амплитуду силы тока половине ее максимального значения, получаем два уравнения относительно неизвестных сзз и 6, Ретиеяие. При эз = сзз [см.
(2)) Подставим значения зэз и сзз в выражение (2) и приравняем каждое из них половине найденной максимальной силе тока 1зз Сокращая каждое из уравнений на 8'з/з и возводя каждое из них почленно в квадрат, после несложных преобразований получаем: (зоО/оз, — оз,) = 126', (озз/зсз — оз ) = 126'. (4) При последующем извлечении квадратного корня надо учесть, что если ю, < оз„то зэз > м„т. е. выражение, стоящее в скобках левой части второго из уравнений (4), отрицательно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
