1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Тогда ЭДС или ток индукции могут быть найдены последующим дифференцированием этой функции„при зтом направление тока или знак ЭДС зависят от знака производной аФ/аа. Если дзи проводник, который движется в магнитном поле (речь идет именно о движении отдельного проводника, а не контура в целом), то при использовании приведенных формул под аФ следует понимать абсолютное значение магнитного потока, пересеченного (озаметенногоо) проводником за время аа его движения; знак ЭДС следует определить независимо от расчета.
В этом случае ЭДС индукции можно находить и как удельную работу 264 сторонней силы„роль которой играет магнитная составляющая силы Лоренца. Тогда 8; ] [ч х В] 61, причем интегрирование проводи'гся по проводнику Ь, а знак ЭДС зависит от знака подынтегрального выражения. Очень важно при анализе задач учитывать всю совокупность явлений, связанных с возникновением тока индукции, его взаимодействием с магнитным полем и влиянием на условия, вызвавшие его появление. Задача 17.1.
Определить направление тока индукции и знак ЭДС индукции в следующих случаях: 1) в однородном постоянном по времени магнитном поле в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, расположен замкнутый проводник в виде узкою прямоугольника, который деформируется в квадрат (рис. 115,а); 2) в магнитном поле, нндукция которого непрерывно убывает со временем, в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, расположено проволочное кольцо (рис.
115,5); 3) в плоскости, перпендикулярной линиям индукции магнитного поля, постоянного по времени, расположены параллель® ные шины, по которым скользит проводник АР (рис. 115,в). А 1) Анализ. В первом и третьем слу° чаях рассматривается движение проводника в постоянном по времени магнитном поле, причем движущийся проводник все время остается в плоскости, перпендикулярной линие) ям индукции. Сила Лоренца, действующая на свободные электроны проу водника, направлена вдоль него (или ° ° ~ И( ) имеет составляющую вдоль проводника) и вызывает в первом случае направленное движение зарядов (ток д Се) э, Г ~ индукции), в третьем — перераспрее деление зарядов (ЭДС индукции).
Во втором случае проводник нелад° ° ° вижен, но вследствие изменения магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, под действием з) б) которого в кольце появляется ток индукции, который мож- но найти из выражения 1 1 бФ (1) д б) Чтобы определить направление тока, предположим„что положительная нормаль к площадке, ограниченной рассматриваемыми контурами (в первом и втором случаях) сонаправлена вектору В (т. е.
направлена по оси 02). Тогда Ф > О. Если в результате применения формулы (1) сила тока в контуре окажется величиной положительной, то это значит, что направление тока и выбранное направление нормали образуют правовинтовую систему (если смотреть с конца вектора и, то ток идет против часовой стрелки). Решение. 1. Вследствие деформации проводника при неизменной его длине площадь, ограниченная проводником, 'возрастает, следовательно„бФ/6) > 0 и (см. (1)] 1 < О. Это значит, что направление нормали выбрано неверно, поэтому, если смотреть с копна вектора пэ, ток идет по часовой стрелке. 2.
Индукция магнитного поля, а следовательно, и магнитный поток уменьшаются, бФ/б) < О. Согласно формуле (1), Х > О. Это значит, что направление положительной нормали выбрано правильно: если смотреть с конца вектора в, ток идет против часовой стрелки. Легко видеть, что в первом случае ток индукции создает магнитное поле, направленное навстречу внешнему, во втором — сонаправленное внешнему полю. В обоих случаях магинтное поле тока индукции препятствует изменению магнитного потока, вызывающего его появление, как это и следует нз правила Ленца. 3. Сторонней силой, вызывающей перераспределение зарядов в движущемся проводнике, является магнитная составляющая силы Лоренца: Р д,тхВ.
Прн заданном направлении векторов ч и В вектор ч х В направлен против оси ОХ, а сила, действующая на электроны, — по оси ОХ (д, < О). Следовательно, на конце Р будут накапливаться отрицательные заряды, на конце А — положительные, т. е. стороннее поле направлено от Р к А, н при таком направлении обхода проводника 3' > О.
261 Если шины замкнуть (выше или ниже проводника А0, безразлично), то в проводнике потечет ток, направленный от З к А. Тогда появится сила Ампера, действующая со стороны внешнего магнитного поля, которая будет тормозить движение проводника, что находится в соответствии с правилом Ленца. Заалча 17.2. В однородном магнитном поле, нндукция которого В, вращается с постоянной угловой скоростью ю прямоугольная рамка со сторонами 1, н 1 (рис. 116); ось вращения перпендикулярна линиям индукции.
Определить максимапьную ЭДС индукции, возникающую в рамке при следующих положениях осн вращения: 1) проходит через середины сторон 1,; 2) совпадает с одной из сторон (,; 3) параллельна стороне („ отстоит от нее на расстоянии х, и расположена в той же плоскости. что и рамка. Объяснить полученные результаты. Аяалвз. Прн вращении рамки непрерывно изменяется угол между вектором В и нормалью к плоскости рамки, следовательно, изменяется н магнитный поток, пронизыва.
ющнй рамку. Это значит, что в рамке возникает ЭДС нндукцин Угловая скорость вращения рамки постоянна, следовательно, а = п ~2 изменяется со временем по линейному закону. Если принять, что в начальный момент плоскость рамки В во всех трех случаях нормальна к линиям индукции, а положительное направление нормали совпадает с вектором В, то в любой момент а = мФ. Так как магнитное поле однородно„то магнитный поток, пронизывающий рамку, Ф = ВЯ соз а, или, выражая угол а как функцию времени и площадь рамки как В 1,(„ получаем Ф В(,1 сов О)Ф.
(2) Рнс. 116 гзз Уравнение (2) дает выражение магнитного потока как функции времени. ЭДС индукции [см. (1)] может быть найдена дифференцированием уравнения (2). Режеиве. Подставим выражение (2) в (1): — (В) 1 соз ию) = В(Д же)п мг (3) 4 ЭДС изменяется со временем по синусоидальному закону, причем в те моменты, когда а = п~,Ъ = яш (т = О, 1, 2, ...), поток, пронизывающий рамку, имеет экстремальное значение, ЭДС обращается в нуль. В те моменты, когда а = «„Ь = (2ж + 1)я/2, поток равен нулю, ЭДС индукции имеет экстремальное аначение (рнс.
116). При прохождении через это положение 3", = х В1,(ась (4) Ка!к'видно нз выражений (3), (4), ЭДС индукции, возкикающая в рюмке, не изменяется прн параллельном переносе оси вращения. Для выяснения влияния положения осн на происходящне явления рассмотрим рамку прн прохождении, например, через положение, изображенное на рисунке. В первом случае (рис. 116,а) стороны 1 и 2 рамки пересекают линии индукции, и 8'„возникают в обеих сторонах, причем направление их будет одинаково: линейная скорость проводника 1 (при указанном направлении вращения) направлена перпендикулярно плоскости рисунка против оси 02, н магнитная составляющая силы Лоренца, ответственная за перераспределение зарядов, перемещает алек- троны против оси ОХ.
Линейная скорость проводника 2 направлена по оси 02, и сила Лоренца перемещает электроны по оси ОХ. Таким образом, при движении проводника в магнитном поле ЭДС индукции прямо пропорциональна скорости его движения (скорость всех точек каждого из проводников одинакова), поэтому возникающая в каждой нз указанных сторон Я; = зю1,/2, где 3 — коэффициент пропорциональности, зависящий от длины и формы проводника, индукции В поля н положения Р дчхВ, (2) Е„- Е„= — Р /д,. 3'„„х )««о1, «р« — «р — ~(ч х В) 61.
« (3) 3' = 3', — 3' «««о)«. ~ч х В ( - оВ. (б) 270 рамки, зависящего от времени. Суммируя ЭДС по обеим сто- ронам, получим 3', = /««о1«. Проводники, перпендикулярные сторонам 1 и 2, независимо от положения оси вращения движутся в плоскостях, параллельных линиям индукции. Поэтому сила Лоренца не может вызвать в этих проводниках перемещения электронов вдоль них, так как сама сила перпендикулярна этим сторонам рамки.
Во втором случае (рис. 116,б) движется толы«о проводник 1, но его линейная скорость вдвое больше, чем скорости каждой иэ сторон в первом случае, и возникающая в этом проводнике В третьем случае (рис. 116,в) вновь в движении находятся обе стороны, параллелъные осн вращения, но теперь результирующая 3' равна разности злектродвнжущих сил, возникающих в них: линейные скорости проводников 1 и 2 в положении, изображенном на рисунке, направлены против оси О2, магнитная составляющая силы Лоренца перемещает электроны против оси ОХ. Линейная скорость проводника 1 о, о«(1«+ хо), проводника 2 о«о«хо, суммарная ЭДС в рамке Следовательно, во всех трех случаях возникающая ЭДС одинакова.
Зааача 1 7.3. В однородном магнитном поле (В - 0,02 Тл) вокруг оси, параллельной линиям индукции, вращается тонкий однородный стержень длины ° (о) ° 1 40 см (рис, 117). Осъ вращения 3 перпендикулярна стержню и праха° о ° о дит через один из его концов. Угловая скорость «о = 10 с '. Найти разность потенщаалов между осью вращения н серединой стержня, между серединой и свободным концом стергос.
иг жня. Анализ. При движении стержня в магнитном поле в нем возникает ЭДС индукции; перераспределение зарядов в стержне происходит под действием магнитной составляющей силы Лоренца являющейся в данном случае сторонней, Заряды разных зна- ков, накапливающиеся на концах стержня, создают кула- новское поле, напряженность которого Разность потенциалов между двумя любыми точками стер- жня С учетом выражений (1) и (2) получим Если стержень вращается так, как показано на рисунке (ось вращения проходит через точку О), то электроны будут накапливатъся на закрепленном конце стержня, я разность потенциалов Р— «Р„так же.
как и «Р„вЂ” «Рс, должна быть отрицательна, Решение. Для проведения расчета введем радиус-вектор г, иаправленнъщ от оси вращекия вдоль стержня. При интегрировании выражения (3) от 0 до А и от А до С получим 61 «)г. Тогда (ч х В) «)1 (ч х В) «)г. (4) Вектор ч х В направлен по стержню от оси вращения, Это направление сохранится в любом положении стержня. Таким образом, вектор ч х В коллинеарен радиус-вектору г. Вектор линейной скорости ч любой точки стержня перпендикулярен вектору В, и модуль векторного произве- дения Учитывая выражения (4) и (5), а также коллинеарность векторов т х В и бг, подынтегральное выражение в уравнении (3) можно записать в виде (ч х В) с)1 оВс)г.
Выражая линейную скорость, различную для разных точек стержня, через угловую (с 'сог)„получаем (т х В) сП соВгбг. (6) При интегрировании от 0 до А г иаменяется от О до !/2; прн интегрировании от А до С г изменяется от !/2 до !. Таким образом, подставляя уравнение (6) в (3) и учитывая пределы интегрирования, получаем: по соВсо сро — !рл = — о)В ~г бг = — — = — 4 мв; 8 о срл 'ро — юВ~ г йг — — соВ!о = — 12 мВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
