1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Магнитный поток может быть рассчитан в общем случае по формуле ф- ~В4Я, (2) где интегрирование ведется по площади Я, показанной на рисунке штриховкой. Элементарную площадку 6Я надо выбирать так, чтобы в пределах ее индукцию В можно было считать постоянной. Очевидно, что при осевой симметрии ивдукция зависит только от расстояния г. Тогда элементарной площадке ЙЯ следует придать форму, показанную на рисунке. В атом случае (3) ~В41 =+ ~б(, (д) (4) ВЙ1 В ~41 В 2кг. (д) (ь) С контуром Ь, сцеплен только осевой ток, т.
е. Х) = 1, поэтому при подстановке второго иэ уравнений (4) в равенство (1) получим В 2яг рс1, откуда при В, < г < В, В = р 1/(2яг). (б) Решение. Можно предположить, что в пространстве внутри трубы направление линий индукции согласовано с направлением тока в осевом проводнике. В соответствии с этим выберем направление обхода контуров 1ч и Ь, так, чтобы оно составляло правовинтовую систему с осевым током 1. Тогда во всех точках контура В угол %~с(1 = О.
Во всех точках контура Ь, угол В, 61 также постоянен и равен 0 или в. Из осевой симметрии следует, что модуль вектора В во всех точках каждого иэ контуров постоянен. Следовательно, левую часть равенства (1) можно записать в виде 240 241 С контуром Ь, сцеплены токи, текущие и по осевому проводнику, н по трубе. Так как они направлены в разные стороны, то Е1 О, поэтому при подстановке первого из уравнений (4) в равенство (1) получим х В ~Й О, откуда при г > В, (д) имеем В О.
При г- г, 1 см(см. (б))Вз 2 ° 10'Тл. При г = г, ) В, получим В = О. При расчете магнитного потока сквозь площадку Я следует учесть, что согласно условию полем внутри металла (г < В,) можно пренебречь. Индукции поля в пределах от В, до В, рассчитывается по выражению (б). Вектор положительной нормали к площадке Я при заданном, направлении тока нормален плоскости рисунка н сонаправлен с вектором В, поэтому в выражении (2) В 03 - В ЙЗ - В1 6г (см. (3)1. Тогда„подставив выражение (б) в (2), получим Ф ) — 2 — Йг. г~ П 2яг Рэ В подынтегральном вырюкении переменной является только расстояние г, изменяющееся в пределах от В, до Вм и ) ~11 Рбг Ф = — ~ —.
2я д Произведя интегрирование, находим Ф--2 — )п — =4,6 10 Вб, в В 2я В~ Завяня 1$,5. В однородном магнитном поле (В = 0,02 Тл) в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, расположено проволочное полукольцо длины 1 = 3 см, по которому течет ток силы 1 0,1 А (рис. 100). Найти результирую* щую силу, действующую на полукольцо. Изменится ли сила, если проводник распрямить7 Анализ. 'Сила, действующая на элемент тока 101 со стороны магнитного поля В, бР-141 х В. По условию, во всех точках полуколь- л ца Й1, В = я/2. Поэтому в скалярной форме уравнение (1) имеет вид ЙР = 1 б(В. (2) Если ток в проводнике направлен по часовой стрелке, то в заданном поле силы ЙГ, действующие на все элементы 1 61, Рис, 105 направлены по радиусам полукольца и стремятся растянуть его.
Все элементарные силы ЙР лежат в одной плоскости, совпадающей с плоскостью рисунка. При переходе от одного элемента полукольца к другому направление их непрерывно нзменяетса. Поэтому для нахождения результирующей силы следует отдельно искать ее проекции на две произвольные оси координат: Р,= ~бР„, Р„- ~бР„, (3) Я ю где Р, и Р, — проекции искомой результирующей силы; цг; и ЙÄ— проекции элементарных сил на оси координат.
Индеке 1 означает, что интегрирование ведется по полукольцу. В данном случае не учитывается действие на полукольцо магнитного поля подводящих проводов, а также взаимодействие отдельных элементов полукольца. Чтобы проверить правомерность такого пренебрежения, оценим индукцию магнитного поля, созданную одним из подводящих проводов, считая, что провода эти длинные и расположены нормально плоскости полукольца. Иццукция поля, созданного таким проводом, В - р,(/г, где г — расстояние от оси провода до рассматриваемой точки. Очевидно индукция максимальна вблизи поверхности провода. Если радиус провода порядка 1 мм, то при силе тока 1 0,1 А индукция порядка 10 ' — 10 "Тл, т. е.
на два-три порядка меньше индукции В внешнего поля. Решение. Если, учитывая симметрию проводника, выбрать оси тзк, как показано на рисунке, то проекция результирующей силы на ось ОХ ю 242 М - р„ ° В, (4) дР„= 1ВВ соз а ба. - ен Р„ 21В)/я = 3,8 10 4 Н. я я а, = — — 5 либо а, = — + (). (2) А = 1(Ф вЂ” Ф,), (3) 245 Проекция элементарной силы на ось ОУ [см.
(2)] <У'„= 6Р соз а 1В и( соз а. При переходе от одного элемента 4Ц к другому угол а изменяется, т. е. написанное выражение содержит две переменные. Однако б( Е ба, где  — радиус полукольца, поэтому При интегрировании по полукольцу угол а изменяется от — я/2 до к/2. Подставим (4) во второе из выражений (3): Производя интегрирование н учитывая, что В = (/к, по- лучаем Очевидно,что результирующая сила Р = Р„ и направлена по оси ОУ. Если проводник (полукольцо) ) распрямить, то все элементарные силы ЙР будут параллельны друг другу. В этом случае результирующую силу Р'можно найти непосредственным интегрированием выражения (2).
Ъ'огда Р' 1ВЕ что больше Р в я/2 раз. Задача 15.6. В центре соленоида (длина Г = 70 см, диаметр витков Ы = 7 см, число витков Ф, 300) расположена плоская катушка, состоящая из )«', = 20 витков площадью В - 0,3 смз каждый. Плоскость витков катушки составляет угол 5 = 37' с осью соленоида (рис. 106).
По обмотке соленоида течет ток силы 1,= 4 А, по обмотке катушки — ток силы 1, = 0,1 А. Определить: 1) вращающий момент, действующий на катушку в начальном положении; 2) работу, совершаемую силами поля при повороз Ъ 5 те катушки до положения устойчивого равновесия; 3) работу внешних сил при перемещении катушки (после поворота) из центра соленоида в середину одного из оснований. Анализ, Катушка, обтекаемая током, находится в магнитном поле соленоида. Указание о том, что катушка плоская и соотношение между ее линейными размерами и диаметром соленоида Я << И, позволяет считать, что в пределах всех ее витков поле соленоида однородное. В таком поле на катушку действует вращающий момент где р 1, Я)«', — магнитный момент катушки,  — индукция поля соленоида.
По условию, длина соленоида в 10 раз превышает диаметр его витков, что позволяет рассматривать данный соленоид как практически бесконечно длинный. При расчете индукции В по приближенным формулам погрешность не будет превышать 0,5% (см. задачу 15.3). Вектор р направлен нормально плоскости витков катушки по правилу правого винта с направлением тока 1,. Вектор индукции В направлен по оси соленоида в ту или другую сторону.
Так как направления токов!, и 1, в условии не оговорены, то угол между векторами р„и В Катушка будет находиться в положении устойчивого равновесия, если ее магнитный момент р„сонаправлен вектору В. В етом положении а = р, В = 0 и М = О. Если а = я, то вращающий момент также равен нулю, однако зто положение соответствует неустойчивому равновесию. Если а = О, то на витки катушки дейдтвуют растягивающие силы, и при отклонении катушки силы зти стремятся вернуть ее в исходное положение (устойчивое равновесие). При а = к действуют сжимающие силы, которые в случае отклонения катушки стремятся повернуть ее на 180' (неустойчивое равновесие). При перемещении во внешнем магнитном поле витка с током 1 работа сил магнитного поля где Ф, и Ф, — магнитные потоки, пронизывающие виток в начальном и конечном положениях. Р Формула (3), как известно, спра- ведлива в предположении, что в пров цессе перемещения сила тока 1 остается постоянной.
Однако при перемещении проводника в магнитном поле в нем возникает ЭДС индукции, изменяющая силу тока. Следовательно, использование выражения (3) возмож. но либо при компенсации возникаюУиа ШУ щей ЭДС индукции электрическим методом, либо при сколь угодно медленном движении проводника. При повороте катушки в положение устойчивого равновесия силы поля совершают положительную работу, которзл может быть рассчитана по формуле (3).
Работа внешних сил при медленном перемещении проводника равна работе сил поля, взятой с обратным знаком. При перемещении катушки из центра соленоида в середину его основания внешние силы совершат положительную работу, так как в направлении от центра соленоида к основанию индукция магнитного поля уменьшается. На виток в таком неоднородном поле действуют, как видно из рис. 107, силы Г и Р', втягивающие его в соленоид. Решение.
1. Индукция магнитного поля в центре длинного соленоида (4) Эамепив векторное уравнение (1) скалярным соотношением и подставив в него выражения р„и В„получим М утЕ,Его,ЕУтЗ в3п а,/1. Так как при обоих возможных значениях угла а, (см. (2)) з1п а, соз (3, то М р,1,1,Х,)3/,3 соз (3/3 - 1,0 ° 10 ' Н м. 2. В начальном положении поток, пронизывающий один виток катушки, Ф, В 3 соз а„причем в зависимости от а, соз а, 2 з)п б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
