1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Количество теплоты, выделяющееся на неразветвленном участке цепи с сопротивлением В, Я = указ. Таким образом, для решения задачи необходимо найти силы токов во всех участках цепи, для чего можно использовать правила Кирхгофа. Тепловая мощность (отношение количества теплоты к промежутку времени, в течение которого она выделяется) на резисторе В, тем больше, чем больше сила тока 7б и сопротивление Влв С другой стороны, с ростом сопротивления В, сила тока 1о уменьшается. Поэтому сопротивление Вб, при котором выделяемая на резисторе тепловая мощность максимальна, может быть рассчитано только тогда, когда будет получено аналитическое выражение этой тепловой мощности в условиях заданной схемы.
б.оборннк кокон репаеиие. 1.. Применим правила Кнрхгофа к одному из узлов и к замкнутым контурам В, 8', Ва и Ва 8 а Ва 1, + 1а = Еа (1) Ея,+Ев =8'„ (2) Е,ва+ 1,В, 8а. (3) Умножив уравнение (2) на В„а уравнение (3) на В, и почленно их сложив, после несложных преобразований с учетом (1) получим 8', +8' (4) ВВа+Я В +В Прн заданных значениях ЭДС н сопротивлений Еа = 0,25 А. Из уравнений (2) и (3)' находим 1, = (8; — Е,В )Ев, = — 0,05 А; 1, (8' — Еаяа)/Ва = 0,3 А.
Отрицательное значение силы тока 1, означает лишь то, что направление этого тока указано на схеме неверно, В действительности ток через первый источник течет в противоположном направлении и сила этою тока 1,' = 0,05 А. При таком направлении тока 1, работа первого источника отрицательна: А — 8' 1'Лг = — 0,5 Дж Работа второго источника положительна, так как ток 1„ идущий через второй источник, направлен по его стороннему полю: А = 8',ЕаА1 = 3,75 Дж. Поскольку других источников в цепи нег, количество теп- лоты, выделяемое во всей цепи, Я А, +А 3,25 Дж.
' Обычно решение системы ураэнеппй, полученных па правил Кпрхгофа э общем виде, чрезвычайно громоздпс. Поэтому целесообразно находить прсмежуточвые числовые авачевпл величин, лак ато сделано ниже. Очевидно, эта величина может быть рассчитана н по формуле Ю = (ЕЛ + 1,'В, + 1,'В,) Ак 2. Выделяемая на резисторе В, тепловая мощность Еа Вы где „— искомое сопротивление.
Учитывая выражение (4), получаем (8',В, + 8',в,)'я, ~в,в +в,(в, +в )) Для ответа на вопрос задачи приравняем нулю производную ОРЕ/бв„а дФ вЂ” (8',В, + 8' В,)ах Вава + Ва(яа+Ва) -2Я,(яа + Ва Вава +Я„(яа +Ва) х О. (Вава+В„(Я, +Яа)) После алгебраических преобразований получим (8',В, +8,В,)' „(В,ва — В,(В, + В,)) О, )Вава.+ В(я, + В )) откуда В* ВаВа/(В~+ В) = б Ом. Зааача 14.6.
Определить закон изменения со временем напряжения на обкладках конденсатора при замыкании ключа К (рнс, 93). Через сколько времени, считая от момента замыкания ключа, напряжение дос- Е тигнет 99% от своего наибольшего значения, если В, = 30 кОм, В, 15 кОм, С 0,2 мкФу Лэ с Анализ. При замыкании ключа по цепи 8'В,в, пойдет ток и начнется процесс зарядки конденсатора. В любой момент времени напряжение П(Ф) на рис. 98 обкладках конденсатора равно напряжению на резисторе Вп т. е. разности потенциалов <р, — 'Г,: У(т) - 1В, = р, — Чп где 1,(Ф) — сила тока, проходящего по резистору В, в про- цессе зарядки конденсатора. Сила тока, проходящего по ре- зистору В„на основании первого правила Кирхгофа (2) 1,(т) = 1, + 1, В, +Вэ (внутренним сопротивлением источника пренебрегаем).
Тогда наибольшее напряжение на конденсаторе (3) Очевидно, что чем больше сопротивления и емкость, тем медленнее происходит процесс зарядки. Чтобы найти зависимость У(е), следует применить обобщенный закон Ома к участку 1 3' 2 для произвольного момента времени. Решение. Рассмотрим участок цепи 1 3' 2 при неустановившихся значениях сил токов: 1,(т)В, - р, — р, + 3'. Учтем уравнения (1) и (2): с У 401 — + — )В =- У+И. Вд бе! (4) Так как заряд конденсатора Я = СУ, то выражение (4) можно переписать в виде Ся — = $' — — У, (У В,+В, ' <Ь Ве (б) что является дифференциальным уравнением первого порядка где 1 = «Щ/е(Ф вЂ” сила тока, сбусловливзющего зарядку конденсатора. Когда процесс зарядки окончится (1е = 0), напряжение достигнет своего наибольшего значения У . Ток будет идти только по цепи 3'В,В„и, по закону Ома, для контура 8'В,В,8' относительно искомой переменной У(г).
После разделения переменных уравнение примет вид бУ,М с е-Щ+ леф~ с~ ' Для разделения переменных уравнение (5) было почлен- Йг но умножено на... При изменении вре- И' — (Я, + Вэ)У/Вз~СВ, мени от 0 до произвольного момента е напряжение изменяется от 0 до У. Производя интегрирование в укааанных пределах, получаем В 3' - (Я, + )Ц)У/Вз В~ + Вэ Я' СВ ' или после потенцирования У - — 1- ехр — Ф . (7) Анализ выражения (7) показывает, что У возрастает с течением времени и асимптотически стремится к своему наибольшему значению Уе 3 Вз/(Я~ + Вэ)~ что совпадает с выражением (3). Это можно предсказать ааранее: по мере роста напряжения на обкладках конденсатора сила тока 1 = Щ/Йг, определяющая скорость зарядки, непрерывно уменьшается.
Чтобы найти время т, по истечении которого У = 0,99Уе, подставим это значение в уравнение (7): 0,99У У 1 - ехр откуда -Я (В, +В,)т е 'л' = 0,01 или С )п 100. Окончательно е = Ся,яэ)п 100/(В, + В,) 9,2 10 ' с. Проведенный ресчет показывает, что практически процесс зарядки конденсатора деже при заданных больших значениях и сопротивлений, и емкости происходит очень быстро.
228 22Э 230 ЙА, =8'ЕсМ, ЙЯ -ЕзВЙг, Йй'=Й~ — ~ =— Зазлча 14.7. Конденсатор емкостью С д подключен последовательно с резистором 3 В к источнику с электродвижущей силой 8' (рис. 99). Найти закон изменения 3 3' со временем заряда на обкладкех конденсатора. Определить работу, совершаемую источником при зарядке конден- 1 сатора, и количество джоулеэой теплоРнс. 99 ты, выделяющейся при этом в цепи. Анализ.
Процесс зарядки начинается при замыкании ключа К (г 0) и длятся до тех пор, пока напряжение на обкладках конденсатора ие достигнет своего наибольшего значения, равного 8', а заряд — значения (? С8'. Во время зарядки сила тока в цепи е(г) сЩ/сМ. Напряжение на обкладках конденсатора (ЕЕ - э, — ~р,) может быть найдено из обобщенного закона Ома, примененного к участку 8В8'1. Закон Ома, записанный для произвольного момента времени г, даст дифференциальное уравнение относительно искомой функции (Е(О (или ЩФ)).
Очевидно, что по мере зарядки конденсатора сила тока„определяющая скорость зарядки, уменьшается, а заряд асимптотически приближается к своему максимальному значению. Найдя затем силу тока по выражению (1), можно рассчитать работу А источника и количество выделившейся джоулевой теплоты (Г Из закона сохранения энергии следует, что работа источника равна сумме количества джоулевой теплоты и электрической энергии заряженного конденсатора. Записав уравнение энергетического баланса для произвольного промежутка времени Йц можно также получить дифференциальное уравнение относительно искомой функции ЩФ).
Режзкиз. Для решения задачи воспользуемся вторым способом. Уравнение энергетического баланса для произвольного промежутка времени ЙФ ЙА„Й(з + <ПФ", где Йй' — приращение энергии конденсатора за время ЙФ. Очевидно, Тогда уравненке энергетического баланса 8'1 Й( = Е'В ЙФ + Я Щ/С. Разделив его почленно на ЙГ и учитывая выражение (1), после сокращения на ЙЯ/Йг получим 8' = — В+ —.
М Я Йс С' После разделения переменных уравнение примет вид ~и ЙО СВ СЯ'-Я При изменении времени от 0 до некоторого момента 1 заряд изменяется от 0 до Я. Произведя интегрирование в укаэанных пределах, получим 2 Сз -Π— — !п —, СВ Сэ или после потенцирования а-сг~~- * (- — '~) (2) Анализ этого выражения показывает, что заряд прибли- жается к своему наибольшему значению, равному С8', асим- птотически, т.
е. теоретически при Ф вЂ” сс. Работа, совершенная источником за все время зарядки конденсатора, А = ~8'1 Й(. а Учитывая, что 1 Йг ЙЯ вЂ” заряд, проходящий через источник за время Ю, и что эа время всего процесса заряд, прошедший через источник, равен конечному заряду конденсатора Я„= С8', получаем =8 Йа =С8'.
о Количество джоулевой теплоты, выделившееся эа все время зарядки на резисторе сопротивлением В, может быть найдено из закона сохранения энергии: 231 где )т = Яз/(2С) Се /2 — энергия заряженного конденсатора. Тогда. учитывая выражение (3), получаем Я - Сй'/2. Это выражение может быть панучено и независимым путем иэ аакона Джоуля — Ленца: а -)~'Лбе. (4) е Подставив в формулу (1) функцию Щг) [см. (2)], находим З' / з1 1 = — ехр ~- — ~. д Г сл,] Тогда [см, (4Н Г т В~е- бз = —. я ~ „„,„, Сй' В 3 2 а Глава ГК МАГНЕТИЗМ $15. Магнитное поле в вакууме Задачи параграфа охватывают следующие темы: расчет магнитного поля в вакууме по заданной конфигурации токов; расчет магнитного Потока; действие магнитного поля на проводники с током. Для того чтобы можно было не учитывать магнитные свойства самих проводников, по которым идет ток, следует рассматривать линейные токи, т.
е. токи, текущие по проводникам, поперечные размеры которых пренебрежимо малы. В противном случае следует оговаривать, что магнктные свойства проводника близки к свойства;и вакуума. В качестве основной силовой характеристики магнитного поля принимается индукция В поля. (В вакууме напряженность поля Н = В/р .) Расчет индукции магнитного поля производится либо на основании закона Вио — Савара — Лапласа и принципа суперпозиции, либо с помощью закона полного тока'.
Закон Вио — Савара — Лапласа, а следовательно, и формулы, выведенные с его помощью, справедливы только для линейных токов. В тех случаях, когда конфигурация токов, создающих поле, достаточно симметрична, для нахождения индукции магнитного поля можно испольэовать закон полного тока. Независимо от метода нахождения индукции магнитного поля всегда следует учитывать конфигурацию подводящих проводов. ' Закон полного тока иначе называют теоремой о циркулкции вектора магнитной индукции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
