1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Учитывая, что в воздухе Р, с»йп а в парафине Р, сазЕм из соотношений (2) и (3) получаем: Е„, = зЕ»м (5) (6) Р„= Э„/з. Соотношения (2) и (6) позволяют определить », - Д" ,о,', -,Г~, '. ».. В воздухе Р„, Р, зш а,Р„Ра соз а и окончательно ».-»,,~Р + ' ' -а,а аа.о а»а '. При этом вектор Р, образует с границей раздела угол р: Р э1па зш 3 — "» Р 0,65, ($ = 40'. .Рз ~а Из соотношений (3) и (5) а, ая и - — а„*е 1 В воздухе Ем Е, зш а, Е„Е, соз а. Тогда з)п' а Ез Е, + сов» а 1,3 В/м. Вектор Е» образует с границей диэлектрика угол 3". Е~йп а з)п ()' Е 0,65; 3' 40'. Таким образом, векторы Р и Е при переходе через границу диэлектрика меняют свое направление, »преломляются», оставаясь по-прежнему коллинеарными друг другу.
Как следует из (4), вектор поляризации в парафине направлен так же, как вектор Е» (или Р,), и его модуль равен Р, Э вЂ” з,Е, = 1,2 10" Кл/м». 200 Зааача 12.7. Цилиндрический конденсатор, радиусы обкладок которого В, 2 см, В, = 2,5 см, заполнен двумя коаксиальными слоями диэлектрика (рис. 86). Первый слой — пропитанная бумага (з, 4), второй — стекло (з, 7). Радиус границы раздела диэлектриков В 2,3 см. При какой разности потенциалов между обкладками начнется пробой конден- саторау Предельная напряженность для бумаги Е„1,2 ° 10' кВ/и; для стекла Е, 1,0 10' кВ/и.
4кяляз. Предельной, или пробивной, называется такая напряженность, при которой начинается разрушение молекул диэлектрика. Сам процесс пробоя очень сложен, поэтому в электростатике можно говорить только о начале пробоя, не рассматривая дальнейшего хода процесса. Рис. 46 В данной задаче следует прежде всего определить, какой из двух слоев диэлектрика при повьппении разности потеншзалов между обкладками будет пробит первым, т. е. в каком из диэлектриков напряженность раньше достигнет предельного значения. Поле внутри конденсатора заведомо неоднородное, и напряженность убывает с увеличением расстояния от оси системы.
Поэтому пробой может начатьзя в точках, наиболее близких к оси системы, т. е. в первом слое при г Вп ваь втором — при г В». Поскольку вся система обладает осевой симметрией, напряженность поля может быть найдена с помощью обобщенной теоремы Гауссв ~Р 63 ХЯ, Если выбрать вспомогательную поверхность в виде коаксиэльного цилиндра, получим Р т/(2к ), (1) где с — линейная плотность заряда на внутренней обкладке.
При этом вектор Р нормален к границе раздела и выражение (1) справедливо в любой точке конденсатора. Учитывая, что Э з,зЕ, получаем выражения для напряженности поля в указанных точках: Š— ('г В), 2~~~~Ва Е„(г Ва). 2зеэе»В» Значения этих напряженностей зависят от с, т. е. возрастают с увеличением заряда„но вх отношение остается неизменным: Е,/Е» з В»,/(заВ,). ' (2) зот Оно позволяет определить, в каком слое начнется пробой. Приравнивая Е, или Е, соответствующей пробывыой напряженности поля, определим значение с, при котором наступает пробой.
Искомую разность потенциалов найдем по формуле У Е,бг, (3) и Реисекие. Соотношение (2) при числовой подстановке даст Е,/Е, = 2. Следовательно, при любой разности потенциалов напряжеыыость поля в точке 1 (г В„з з,) в два раза боль. ше, чем в точке 2 (г .В„з с,), а отношение щюбнвных значений напряженности Е, /Е 1,2, Это значит, что, когда в точке 1 (бумага) напряженность будет равна пробивной (1,2 10' кВ/и), в точке 2 (стекло) напряженность равна 0,6 10' кВ/м, т.
е. меньше, чем пробивная напряженность стекла. Таким образом, пробой начыется в бумаге. Тогда т 2яссз~В~Е~ (4) Чтобы ыайти разность потенциалов (см. (3)Ь следует выразить Е, как функцию расстояыия г. Из (1), учитывая связь между Э и Е, находим: г 2 (В~ г ~ Ве) ° 2я~ачг Ег 2 (Вс~Г~В,). 2ведеэг Очевидно, Е„терпит разрыв прн г В . Поэтому интеграл в уравнении (3) следует раабить на два: з / +з Производя интегрирование, получаем =г е~ В... В, Подставим с т„ыз выражения (4) в (5): У з ВЕ ~ — )с — + — ~с~ 45 кВ. я ~--~ а, В, ээ Во зоз $13.
Электрическая емкость и энергия В задачах этого параграфа рассматривается в основном уравнение энергетического баланса прн внешнем воздействии на конденсаторы, связанном с изменением емкости конденсаторов. Изменение емкости системы может сопровождаться перемещением зарядов, т. е. протеканием тока. При этом всегда предполагается, что любое перемещение зарядов, обусловленное изменением емкости системы, происходит настолько медленно, что потерями на джоулеву теплоту, проыорцнональными квадрату силы тока, можно пренебречь. %' ~в, й$', (1) где )г — объем, в котором существует электрическое поле; ю, з еЕ'/2 — плотность энергии поля.
Можно также рассчитать энергию конденсатора как (2) %' =' СУз/2, где С вЂ” электроемкость конденсатора. При использовании первого метода следует по заданному У найти напряженность поля, применяя соотношение з У- ~кб). (3) гас. зт зоз Эззлча т 2А. Плоский конденсатор, площадь каждой пластины которого Е 400 см', заполнен двумя слоями диэлектрика. Граница меясду ними параллельна обкладкам. Первый слой — прессшпэы (с, - 2) толщины (, 0,2 см; второй .слой — стекло (с, - 7) толщины (, - 0.3 см (рыс. 87), Конденсатор заряжен до разности потенциалов У - 600 В. Найти энергию конденсатора. Анализ. В конденсаторе электрическое поле практически локализовано между его обкладками.
Энергия заряженного конденсатора может быть найдеыа по общей формуле для энергии электрического поля: Реизекке. Поскольку в плоском конденсаторе в пределах каждого диэлектрика поле однородно, равенство (3) может быть записано в виде У = Ез)з + Ез(„ (4) где индексы 1 и 2 относятся соответственно к первому и второму диэлектрикам.
Граница раздела диэлектриков параллельна обкладкам и, следовательно, нормальна силовым ливиям поля. Поэтому .О, В,из,Е, е,Е,. Уравнения (4) и (5) представляют собой систему относительно неизвестных Е, и Е, при совместном решении которой получим: У езУ (з + е,(е/е еззз + зззз " (б) Е еззз/е, + зз езз + еззз В пределах объема каждого слоя плотность энергии постоянна, и равенство (1) принимает вид еаезЕз Я(з/2 + еаезЕз Я1з/2. Учитывая выражения (В), после несложных преобрзаований получаем 'й~ = еаУзЯезез/[2(е 1, + ез)зЦ 4,4 ° 10 ' Дж. Для расчета энергия вторым способом [см. (2Ц надо предварительно определить электроемкость: С = 4)/У, где зе ззЯ вЂ” заряд конденсатора. Для того чтобы установить связь между разностью потенциалов У я зарядом (3, надо сначала найти напряженность поля, а затем, учитывая однородность поля, воспользоваться уравнением (4).
Напряженность поля в слое диэлектрика (8) /(~р,). 204 Если формула эта ве очевидна, то следует сначала с помощью обобщенной теоремы Гаусса получить выражение для напряженности поля, создаваемого одной большой плоскостью, окруженной диэлектриком, а затем, используя принцип суперпозиции, найти напряженность между обкладкамя конденсатора. Подставляя выражение (8), записанное для каждого из слоев в уравнение (4), находим о() Ь1 0 (ез)з + ез)з). еа з, ез еаезззЯ Тогда электроемкость конденсатора [см. (7Ц С - еаезезЯ/(ез(~ + ез)з). После подстановки выражения (9) в (2) формула для расчета энергии примет тот же вид, что и в первом случае.
Задача 13.2. Плоский воздушный конденсатор (Я 200 см', з О,б см), заряженный до разности потенциалов У, 300 В н отключенный от источника, помещают в плоскую металлическую коробку; стенки коробки, параллельные обкладкам, той же площади Я каждая и отстоят на расстоянии Г 0,2 см от ближайшей к ней обкладки (рис.
88). Все стенки коробки не соприкасаются с пластинами конденсатора. Найти изменение энергии системы. Акалкэ. Поле уединенного плоского конденсатора однородно, и все заряды равномерно распределены на внутреннвх поверхностях 2 и 3 его обкладок. У краев пластин однородность поля нарушается, силовые линии выходят за пределы конденсатора. Если заряженный конденсатор поместить внутрь металлической коробки, то та стенка, ко- 3 Ц торзя перпендикулярна обкладкам конденсатора, попадает в это неодно- б родное поле. Под его действием в коробке произойдет перераспределение зарядов, причем в соответствии с направленцем силовых линий поля конденсатора на нижней стороне появят- 6 ся положительные заряды, на верхней — отрицательные.
Эти индуциро- гнс. зз 205 ванные заряды также практически равномерно рас ед ся по внутренним поверхностям б и 6 коробки и создадут собственное поле. Оно вызовет перераспределение зарядов на каждой из обкладок конденсатора — часть зарядов перейдет на их внешние поверхности. Равновесие наступят тогда, когда в толще металла напряженность результирующего поля окажется равной нулю. Очевидно, при этом поверхностные плотности зарядов на поверхностях б, 1; 6, 4; 3, 3 будут попарно равны и противоположны по знаку. Таким образом, помещение заряженного конденсатора внутрь металлической коробки приводит к перемещению зарядов и в коробке, и на обкладках конденсатора, т.
е. силы кулоновского поля совершают положительную работу. Поскольку конденсатор был предварительно отключен от источника, то изменение энергяи системы определяется работой сил только кулоновского поля: бой и заряжены равными, но разноимен+ П 1 б ными зарядами; поэтому ковщеисаторы П и ПЕ следует .считать соединенными последовательно. Заряд двух таких кои- 1 ХП. 6 4 денсаторов равен заряду каждого из них (например, Щ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
