1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Легко убе- диться, что такое совпадение справедливо для напряженнос- ти и потенциала любой точки вне оболочки (г > В,), т. е. внесение незаряженного проводника, поверхности которого совпадают с эквипотенциэлями поля, не изменяет поля во внешнем пространстве. 2. Если центр шара смещен на расстояние х от центра оболочки, то в точке С потенциал, создаваемый зарядом а", который остается по-прежнему равномерно распределенным по поверхности Я, может быть записан, как и раньше: «р" - д "/(4яе В). 185 Потенциал, создаваемый зарядом «7', распределевие которого теперь неизвестно, может быть найден по принципу су- 6~' перпозиции: «р' ~ 4 .
Расстояние от любого элемента Е2 «)«7' до точки С одинаково и равно В„поэтому 1 р, - — 142 4леоВ,,1 4леоВ« (е') Потенциал, создаваемый зарядом Яо, следует также ис- кать по принципу суперпозиции: «ро„. ) —, где г— г Ж, о«4яе г' о переменное расстояние от элемента Щ, до точки С. Распре- деление заряда Цо по поверхности шара неизвестно, поэтому точное значение потенциала ф о найти вельзя. Попробуем его оценить.
При переходе от одного элемента «СЯо к другому расстояние изменяется от х — В до х + В . Если в выраже- нии для ф, переменную г замеяить значением г х — В, то «)0о о 9 4 1 е 222 В. Если в вырежеиии для «рос переменную г заменять значением г„* х + В, то 4 1* 22 113 В. / 4лео хо Во фс фос+ — ~- — + — ~ (76 х 8) В, 4)о 1 1 с х 4лео~ В«Вд~ Очевидно, первое значение соответствует потенциалу в точке С, создаваемому зарядом Яо, если ов сосредоточен ва поверхвости шара в точке, ближайшей к центру оболочки, второе — в наиболее удаленной точке.
Окончательно можно записать ф, (121 х 8) В, что дает относительную погрешность около 7%. Результирующий потенциал в точке С (учитывая равенство (2)) В точке 17 потенциал фо ~ Е2 «Сг, где Е, — результируюЕ2 щая напряженность поля, В точках г > В, поле создается только зарядом д" = Яо, поэтому Е, Яо/(4хеог) и фо Яо/(4хеоВ2) 45 В т. е, потенциал такой же, как и в случае 1. 3. На поверхности 82 равномерно распределен заряд (ео. Тогда для всех точек г < В, «р = сопзС Яо/(4леоВе). Таким образом, «рс = «рэ 45 В Зааача 12.3.
Точечный заряд 9 3 10 ' Кл находится на расстоянии а 3 см от большой тонкой металлической пластивы, соединеввой с Землей (рис. 77). Определить: Ц потенциал поли в точках В и С, симметричво расположеввых по обе стороны пластины ва расстоянии а от вес, причем точка В, ближайшая к заряду Я, находится от него ва расстоянии 1 = 8 см; 2) поверхностную плотность зарядов, иидуцироваввых иа пластине в точке .О, находящейся ва расстояния г, = 5 см от заряда Ф 3) заряд, ивдуцировавный ва пластине.
Анализ. При внесении металлической пластины в поле точечиого заряда ва вей появятся ивдуцироваивые заряды, причем на поверхности, обращенной к заряду Я,ивдуцируются отрицательные за- Е о ряды. Положительных зарядов ва з противоположной стороне пластины е ЕД«) вет, так как пластина, заземлена. 1 е 1 ел а Силовые линии результирующего поля обязательно нормальвы к поверхности иластивы. Это поле справа от пластины совпадает с полем, создаввым двуия точечными зарядами противоположных знаков + ое и — «2, находящимися симмет- е а ричво относительно пластины. Плоскость симметрии поля таких Рис. 77 187 Е = Е, + Е, (р <р~ + ~р.
В точке В потенциал, созданный зарядом +Я, <р, Я/(4хзо()1 потенциал, созданный зарядом — 9, (3) зарядов является эквипотенциалью о = О. В услонии металлическая пластина (притом тонкая) расположена как раз по этой эквнпотенциали. Если в электрическое поле внести незаряженный проводник, поверхность которого совпадает с экнипотенциалями поля, то во внешнем пространстве напряженность поля не изменяется. Поэтому можно утверждать, что поле, созданное точечным зарядом я пластиной, идентично полю двух точечных зарядов, причем второй заряд является зеркальным отображением заряда Я. Так как пластива заземлена, то слева от нее поля нет (силоные линии нанесены пунктиром).
Справа от пластины поле, в действительности соаданное зарядом 9 и зарядом, индуцированным на пластине, будет в точности таким, как поле двух точечных зарядов + (г и — Я, и может быть рассчитано по принципу суперпозиции. Чтобы найти поверхностную плотность зарядов в какой- либо точке пластины, надо определить напряженность поля вблизи этой точки, так как у поверхности проводника результирующая напряженность Е=!о!/з,, где о — поверхностная плотность индуцированных зарядон. Зная поверхностную плотность как функцию координат, полный индуцированный заряд можно найти суммированием по всей поверхности пластины: д = ~оЙЕ. 131 Решение.
1. В любой точке справа от пластины Слева от пластины напряженность поля равна нулю, след овательно, потенциал во всех точках слева от пластины одинакон и равен потенциалу пластины: ~р =<р О. 2. Чтобы определить поверхностную плотность о в точке Х), надо найти напряженность поля в точке, сколь угодно близко подходящей к точке В,справа. Напряженности полей, созданных зарядами + Я и — Я н этой точке, Е, = Е = Я/(4хз г,'). Результирующий вектор Ен направлен по нормали к пластине влево, причем Ен - 2Е, соз о = 9а/(2лезг,'). На основании формулы (1) находим ~ оэ ) Еэзо = Яа/(2яг,') = 1,1 ° 10 Кл/м'.
(4) 3. Как нидно из этого выражения„поверхностная плопюсть о изменяется от точки к точке и зависит от расстояния г. Если из точки, являющейся основанием перпендикуляра, опущенного от заряда'Я на пластину, провести окружяость произвольного радиуса В (рис. 78), то такая окружность является множеством точек, равноудзленных от заряда (г, и, следовательно, точек равных значений о. Тогда, чтобы найти суммарный индуцированный заряд по формуле (2), надо выделить элементарную площадку ЙЯ, в пределах которой о сопэФ. Такой площадкой будет кольцо е радиусами В и В+ ЙВ, причем ЙЕ = 2яВ ЙВ.
Подставляя г = т'а' + В' в (4), получаем Яа )о~ яз ' 2л(аз + В~) Рис. 78 188 188 (р = — 9Д4лзе~Г4~а+1 ). Тогда (см. (3)1 'рв = 9 (1 1 673 В. 4лзо ~ 1 4аз +1з Тогда подынтегральное выражение в уравнении (2) примет вид )о)ЙЕ Яа (аз + Вз) ' (4) л, Рис. 79 191 190 При суммировании по всей пластине В изменяется от О до со.
Тогда причем, как было устаионлено ранее, д < О, т. е 9 Зазача 12.4. Металлический шар радиуса В, 2 см с зарядом 9, 3 10»Кл окружен вплотную примыкающим к нему концентрическим слоем парафина (наружный радиус В, 4 см, диэлектрическая проницаемость з = 2) и металлической концентрической оболочкой, радиусы которой В, = 6 см, В 8 см (рис.
79). Какой заряд (е» надо сообщить этой оболочке, чтобы потенциал шара был равен иулю7 Определить поверхностные плотности связанных зарядов на обеих понерхностях диэлектрика. Построить графики Рдг), Е„(г) и Т(г) для найденного значения (е». Аиализ. Поле заряда (е, вызовет появление индуцированных зарядов на поверхностях металлической оболочки и связанных зарядов на обеих поверхностях диэлектрика нследствие его поляризации.
Таким образом, результирующее поле создается свободными зарядами 1е, и (е„индуцироваиными зарядами з' и д" и связанными зарядами, Сферическая симметрия всех тел системы позволяет предполагать равномерное распределение зарядов по соответствующим поверхностям и строгую радиальность силовых линий. Поэтому напряженность поля может быть найдена с помощью теоремы Гаусса.
Елагодаря наличию диэлектрика следует использо- вать обобщенную теорему Гаусса: где Я вЂ” площадь вспомогательной поверхности, которой надо придать форму сферы, концентричной рассматриваемой системе. Применение атой теоремы позволяет найти электрическое смещение Р, а затем и напряженность Е как функцию координат, не определяя связанных зарядов.
По условию, заряд Я» внешней оболочки неизвестен. Чтобы найти его, надо установить связь между зарядами, создающими поле, и известным потенциалом ~р, шара. Очевидно, что заряд (е» войдет в выражение для напряженности поля. Так как потенциал ~р,=~Е,бг, (2) »1 то, обращая в соответствии с услонием задачи выражение (2) в нуль, можно определить заряд (е,. Поверхностную плотность связанных зарядов найдем по изменеишо нормальной составляющей напряженности поля. Как следует из теоремы Гаусса, записанной для нектора Е, в Е произвольной среде нормальная составляющая вектора терпит разрыв на любой заряженной поверхности, причем Ьńń— Е„, (о + о')/з», (3) где о и о' — поверхностные плотности соответственно свободных и связанных зарядов. Решение. Проведем одну вспомогательную поверхность площадью Я, в толще диэлектрика (В, с г с В,), другую На поверхности Я, векторы Э и ЙЯ коллинеарны, на поверхнои Я» угол между этими векторами равен О ил (зар д (е» может быть отрицательным), значение Р во всех тачках на каждой из поверхностей одинаково, Поэтому Р 6Я ~ ~Р ДЯ = х Р 4хг», %,з дз где г — радиус поверхности интегрирования; знак «+» соответствует вектору Р, направленному по радиус-вектору г (Р, > О и Р .0„); знак «-» соответствует вектору 11, направленному против радиус-вектора г (Р, < О и Р— Р,).
Поэтому ныражение (4) можно переписать так: Р дЯ = Т Р 4хгз Р, ° 4яг'. (б) ц Сумма свободных наряден, охваченных поверхностью Я, Е(е 1ег (6) или 24)-Е,+а,+0 +0". (8) (9) )а е,еЕ. (10) Е 4 е (В1<г<Ве); 0 4 01 +Юе Е, 4 „е (г>В1) Кроме того, в толще металла О, 1( 4)...~ 4леое311 ео [ 4лВе ) откуда 4лВ11 (е (13) 192 .192 7 Свае»на аелч Подставляя выражения (6) и (5) в уравнение (1), получа- ем е (В1 < г < Ве) (~) С~ Сумма свободных зарядов, охваченных поверхностью Е„ Подставляя выражения (8) и (5) в (1) и учитывая, что по закону сохранения заряда д' + о" = О, получаем Напряженность поля может быть найдена из соотноше- ния При определении напряженности область В, < г < Ве следует разбить иа две: ст В, до Ве и от Ве до Ве (зти области отличаются значениями диэлектрической проницаемости).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
