1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(6) 172 Боковая поверхность вспомогательного цилиндра и его торцы находятся заведомо в равных условиях относительно силовых линий поля, причем во всех точках торцов Е,о)Я = = л/2 и поток вектора напряженности сквозь торцовые поверхности равен нулю. На боковых поверхностях Я, ро.„ нормаль совпадает с направлением радиус-вектора, поэтому Ебя Е,бЯ и фЕо)Я = фЕ, 6Я. э»» 8»»О» Бсе точки боковой поверхности находятся в одинаковых условиях относительно заряда, что позволяет считать Е, постоянной величиной.
Тогда ~Е о)Я = Е„~Е„дЯ = Е, 2лг/о, (3) %о э»»» где г и 5 — радиус н высота вспомогательной поверхности. Сумма зарядов, охваченных вспомогательной поверхностью, стоящая в правой части выражения (2), зависит от радиуса вспомогательной поверхности. При г с В );чо рхгзл.
(4) (Следует обратить внимание„что г — это расстояние от оси цилиндра до точки, в которой отыскивается напряженность поля и одновременно радиус вспомогательной поверхности Я,.) Подставляя выражение (4) в (2) и заменяя интеграл по замкнутой поверхности Я, правой частью равенства (3), получаем Е„ 2лгд = рхги/зо, откуда Е, рг/(2оо). (5) При г > В Я = рлВо~Ь. Подставляя это выражение в (2) и заменяя интеграл но замкнутой поверхности Я, правой частью равенства (3), получаем Е„.2лгд = рлВ»~5/зо откуда Для определения разности потенциалов между точками 1 и 2 по равенству (1) интеграл следует разбить на два: в пределах от точки 1 до поверхности, ограничивающей объемный заряд, и от этой поверхности до точки 2: г г г ~Е, йг - ) Е, йг + ~Е, йг.
1 г хр В первый интеграл следует подставлять выражение (5), во второй — выражение (6): и, — иг - — ~( гйг+ Во )— Р Г г Гйг Зго ~„ г — ~ — — — ойо)п — ~ =35 В. р(В, гг гг 2го~ 2 2 Во~ Для построения графика Е,(г) на основании выражений (5) и (6) целесообразно сначала рассчитать Е, при г В;. Е(Во) - рВо/(2ео) = 2,3. 10г В/м. Расчет по формулам (5) и (6) дает один и тот же результат, так как напряженность на этой поверхности не терпит разрыва. Графическая зависимость Е,(г) показана на рис.
71. График зависимости Гр(г) можно построить из анализа графика Е(г), учитывая, что Е„= — йд/йг. Начало отсчета потенциала можно выбрать в любой точке области, где справедливы выражения (4) и (5). Выберем начало отсчета на оси объемного заряда: ~р(О) О. Так как во всей области Е„> О, т. е. (йф/йг) < О, то потенциал непрерывно убывает. В обла- Рис. 71 стн г < В Е„возрастает 1(йЕ,/йг) > О), соответственно (йг<р/йгг) < 0 и график фг) обращен вогнутостью вниз. При г > В, Е„убывает ((йЕ,/йг) < 0], соответственно (й'<р/йгх) > 0 и график ~р (г) обращен вогнутостью вверх. При г В кривая ф(г) имеет точку перегиба (вторая производная изменяет знак).
График гр(г) изображен на рис. 72. Если изменить начало отсчета потенциала, то характер графика ве изменяется, например при выборе начала отсчета на поверхности объемного заряда (т(Во) = 0) график цримет вид, изображенный на рис. 72 пунктиром. Зааача 11.6. В одной плоскости с очень длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью т = 2 '10 о Кл/м, под углом а = 30' к нити расположен тонкий стержень длины 1 = 12 см, по которому равномерно распределен ааряд о 3.10 о Кл (рис. 73). Расстояние от нити до середины стержня хо 8 см.
Найти силу, действующую на стержень, и ее предельные значения при а - 0 и а к/2. Анализ. Рассматривается равномерно заряженный стержень, находящийся в поле длинной нити. Поле нити плоско- радиально, вектор Е направлен по радиусу, и его проекция на радиальное направление Е, = т/(27иог). (Формула может быть получена с помощью теоремы Гаусса.) Поскольку напряжениость поля зависит от расстояния г, а стержень расположен под углом к нити, то следует сначала записать выражение силы, действующей на элементарный участок стержня с зарядом йог йР Ейд.
Стержень находится в одной плоскости с нитью, совпадающей с плос- Ф костью чертежа. В атой плоскости гп силовые линии поля параллельны друг другу, значит, все элементарные Га силы йР направлены так же, поэта- гг му и результирующая сила дх Х Р ~йР (Ц х с> направлена так же, как силовые линии поля. Рос.
73 17б Решение. Для расчета введем ось ОХ так, как показано на рис. 73. Элемент длины стержня 41 бх/в)п а. Заряд ад=~ Ь вЂ”,' мпа Расстояние от нити до рассматриваемого элемента г х, тогда сила, действующая на такой элемент, 2? 22авх 1ыпа При интегрировании по всей длине стержня координата х изменяется от х — (1/2) в1п а до х, + (1/2) з1п а. Подставляя выражение (2) в (1) с учетом укаэанных пределов изменения переменной х, получаем (2) 2в4(яв)ваа 77 (' бх 2лвв?в!па 4 х .2 - (2?2)222 а .п? хв + (1/2) в4п а. 1п 2лвв1в)па хв — 1/2 в1па (3) При а = 30' Р 1,42*10 в Н.
При а 90' Р, = 1,75 10 ' Н. Прн а. 0 стержень расположен параллельно нити, напряженность поля вдоль стержня одинакова: Е, т/(2лввх,). Сила„действующая на стержень, Р, = Е,2? - — - 1,33 ° 10 ' Н. М 2лввхв Последнее выражение может'быть получено также нэ формулы (3) при разложении натурального логарифма в ряд с последующим предельным переходом к а — О.
ту надо совершить, чтобы перенести этот заряд в симметрично расположенную точку по другую сторону диполяу Плечо диполя 1 4ь г (рис. 74). Анализ. Работа А*, совершаемая внешними силами при церемещенин заряда в кулоновском поле, равна работе снл поля, взятой с обратным знаком: А" = — А — Щ4Р2 — 4(22)2 (Ц ,Р('ч 2 где й, и 4р, — потенциалы соответственно начальной и конечной точек. Для того чтобы определить знак работы внешних сил, надо выяснить направление силовых линий ноля. Как ! видно из рис. 74, при движении заря- ° 3 да по любой траектории из точки 1 по направлению к положительному варяду диполя и от его отрицательного заряда к точке 2 заряд (1 перемещается против силовых линий поля, т.
е. под действием кулоновских сил (силы, действующие на отрицательный заряд, направлены против вектора К). Следовательно, на указанных участках работа внешних сил отрицательна. На участке между зарядами днполя при любой траектории заряд 9 перемещается по силовой линии, т. е. против сил кулаковского поля, и работа внешних снл положительна. Таким образом, определить знак работы из качественного рассмотрения трудно. Поле создается двумя точечными зарядами + д н — 4? диполя,и потенциалы точек 1 н 2 следует искать методом суперпозиция. Как виднб из рисунка, точка ? находится на расстоянии г — 1/2 от положительного заряда и на расстоянии г + 1/2 от отрицательного заряда.
В соответствии с этим Ч 4,( -442~ (2) 4лвв г+ 1/2 Аналогично, Ч 4 .Г.4424 (3) 4лво г — 1/2 177 17З Зазвчв)1,7. Точечный заряд Я вЂ” 2 10 " Кл расположен на продолжении оси диполя, электрический момент которого р„= 1,5 10 " Кл '- и, на расстояник г = 10 см от его центра (ближе к положительному заряду диполя). Какую рабо- (4) 4лае гз 1-1з/ 4гз (5) 1 — 1 — х + х' — ха+ 1+х 178 Решение. Приведем к общему знаменателю каждое из выражений (2) и (3): Если учесть, что о1 = р, и при г Л> 1 членами 1'/(4гз) можно пренебречь по сравнению с единицей, то выражения (4), (5) примут вид % Р,/(4лзз| ), (уз — Р,/(4лзе ). Подставляя эти выражения в уравнение (1), получаем А* — 29 р /(4лззгз) 5 4, 10-в Дж.
Необходимо отметить, что пренебрежение членами 1/(2г) по сравнению с единицей в выражениях (2) и (3), если предварительно вынести в знаменателе г аа скобки, дает у, <р, О. Чтобы выяснить, какой величиной можно пренебрегать, проведем все рассуждения совершенно строго, не прибегая, как правило, к ним в дальнейшем. Введя обозначение 1/(2г) х, разложим функцию /(х) 1/(1 + х) в ряд Маклорена: /(х) - /(О) + — / '(О) + — / "(О) + .... х, хз 1! 2! Для рассматриваемой функции ряд примет вид Отбрасывание всех членов начиная е х = 1/(2г) есть нулевое приближение, при котором диполь поля не создает. Отбрасывание всех членов начиная с х' 1'/(4гз) есть первое приближение, которое обычно используется при расчете напряженности поля диполя.
$12. Проводники и диэлектрики в электрическом поле В задачах настоящего параграфа рассматривается электростатическое поле, создаваемое заряженными проводниками в вакууме и при наличии диэлектриков. Сложность расчета напряженностей и потенциалов полей, создаваемых в присутствии щюводников либо самими заряженными проводниками, обусловлена тем, что распределение зарядов на проводниках, как сообщенных им, так и индуцированных, заранее не известно. Известно только, что заряды эти распределяются по поверхности так, что в толЩЕ металла (в условиях электростатического равнонесия) напряжен- вость поля тождественно равна нулю.
(Заметим, что утверждение о распределении зарядов н проводниках по поверхности, т. е. пренебрежение толщиной того поверхностного слоя, в котором распределяются заряды, принодит к тому, что на понерхности проводника, как следует из теоремы Гаусса, вектор напряженности терпит разрыв.) Это условие с вытекающими из него следствиями позволяет в некоторых случаях найти распределение индуцированных и сообщенных проводникам зарядов простыми в математическом отношении методами. Напряженность и потенциал результирующего поля могут быть определены, если известно распределение зарядов на проводниках.
При заданной конфигурации проводников и известном результирующем потенциале либо суммарном заряде каждого из них задача зта имеет единственное решение. Благодаря этому можно использовать решения, найденные недостаточно строго, например по аналогии, а иногда и просто по эдогадкет. При наличии диэлектриков поле еоздаетея как свобод.
ными, так и связанными зарядами. Обобщенная теорема Гаусса при симметричной конфигурации зарядов и диэлектриков позволяет находить электрическое смещение В, а затем и напряженность поля Е, не зная значения и распределения снязанных зарядов. Здесь рассматриваются только изотропные диэлектрики, диэлектрическая прЬницаемость з которых является скалярной неличиной; значение з диэлектрика аадается в условии задачи. При качественном анализе задач следует обращать внимание на то, что ослабление поля в диэлектрике обусловлинается действием связанных зарядов„возникающих при его поляризации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
