1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Если связанные заряды возникают на поверхности диэлектрика, то, как показывает теорема Гаусса, нормальная составляющая вектора Е терпит разрыв на такой поверхности. Нормальная составляющая вектора 1) терпит разрын только на поверхности, заряженной свободными зарядами. Заалча 12.1, Две металлические пластины, заряды на которых 9, = 8.
10 ' Кл и Яз, расположены параллельно друг другу на расстоянии ( - 0,2 ем (рис. 75). Площадь каждой пластины Я = 1600 см'. Считая, чта линейные размеры пластин несоизмеримо велики по сравнению с расстоянием 1 и толщиной пластин, найти поверхностные плотности зарядов и разность потенциалов между пластинами. Задачу решить для случаев: 1) 9, = 0; 2) 9, = 2.10зКл; 3) 9, О, но пластина заземлена. Анализ. По условию, пластины настолько велики, что, по-видимому, можно пренебречь зарядом на торцовых поверхностях и считать, что на каждой из четырех боковых поверхностей 1-4 (рис.
75) заряды распределены равномерно. Тогда напряженность результирующего поля Е-Е,+Е,+Е +Е,. Здесь (2) где и, — результирующая поверхностная плотность сообщенных и индуцированных зарядов на боконой поверхности пластины. Формула (2) может быть получена с помощью теоремы Гаусса и справедлива для точек, расстояние до которых мало по сравнению с линейными размерами пластины. Таким образом, поле между пластинами однородно и искомая равность потевциалов Рис. 75 У Е1. (3) Чтобы найти напряженность поля, нада знать поверхностные плотности зарядов на всех четырех боковых поверхностях.
Если а, и пз — поверхностные плотности зарядов на первой пластине, а а,и а, — на второй, то (и,+п)Я=Юг В случаях 1и 2 (а, + а,)Я = 9. (5а) В случае 3 плотность зарядов на наружной заземленной поверхности (56) Равенство (56) объясняется тем, что при соединении внешней поверхности правой пластины (поверхноеть 4) с Землей, потенциал которой принимается за нуль, потенциал этой пластины и точек пространства справа от нее равен нулю. Это значит, что в этой области напряженность поля также равна нулю. Поскольку в толще пластины напряженность поля всегда ранна нулю, то на поверхности 4 вектор Е не терпит разрыва, следовательно, зарядов на ней нет.
Распределение зарядов на поверхностях пластин должно быть таким, чтобы напряженность поля в толще металла была равна нулю. Применим теорему Гаусса к цилиндрической поверхности, показанной на рисунке. Поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность равен нулю, так как силоные линии поля перпендикулярны пластинам, и поэтому но всех точках боконой поверхности скалярное произведение Е ЙЗ = О. Поток сквозь основания цилиндра обращается в нуль, так как оба основания находятся в толще металла. Следовательно, Е бЗ О. Согласно теореме Гаусса, сумма зарядон, охваченз~ ных этой поверхностью, также равна нулю: а,Яэ + пзЯ„О.
(Здесь Яе — площадь основания вспомогательной цилиндрической поверхности.) Тогда пз - — а,. (6) Из равенства (6) следует,что внутри каждой из пластин поля, создаваемые поверхностями 2 и 3, взаимна скомпеиси- тзт рованы (векторы Е, и Е в этих областях направлены в противоположные стороны и равны по модулю). Так как в толще пластин напряженность результирующего поля, созданного всеми четырьмя поверхностями, равна нулю, то поля, создаваемые поверхностями 1 и 4, также должны взаимно компенсироваться.
Это возможно, если о, - о,. (7) Уравнения (4), (5) и (6), (7) образуют систему, совместное решение которой позволит найти распределение зарядов, а затем и разность потенциалов между пластинами. Решение. Между пластинами векторы Е, и Е, направлены в противоположные стороны и (см. (7) и (2Ц Е, + Е, = О. Векторы Е и Е, направлены в одну сторону и (см. (6) и (2)] Е, Е2. Тогда из равенства (1) следует Е - 2Е2 о2/20.
Таким образом, разность потенциалов между пластинами на основании (3) (8) 1Р2 — 1Р2 (/ О21/22. Направление вектора Е и знак разности потенциалов зависит от о . 1. (22 О, Уравнение (ба) примет вид о, + о, - О. Совместное решение этого уравнения с (6) и (7) дает: О,=О2 ОО О, — О,.
Иэ уравнения (4) получим: о, = о, = 4)1/(28) = 2,5 10 ' кл/и', о, = — 2,5'10,' Кл/м'; о, 2,5 10 ' Кл/м2. Из равенства (8) находим 1/1 57 В. В данном случае Я2 0) напряженности полей, создаваемых зарядами, индуцироваиными на правой пластине, в точках вне самой пластины направлены в противоположные стороны и равны по модулю: Е, + Е, О.
Таким образом, как и следовало ожидать, внесение в поле незаряженного проводника (правая пластина), поверхности которого совпадают 122 с эквипотенциалями поля, созданного левой пластиной, не изменяет напряженности полн во внешнем пространстве. 2. 4)2 2. 10 ' Кл. Совместное решение уравнений (4), (ба), (6) и (7) дает: (4) (;22)/(28) 1,9 ° 10 ' Кл/м', о Я вЂ” 92)/(28) — 1,9 10 ' Кл/м', о, - <0, + 4),)/(28) - 3,1 10-' К /м'.
Из равенства (8) находим 1/2 42 В. 3. м2 О, вторая пластина заземлена. Равенства (5б) и (7) дают о, о, О. Тогда из равенств (4) и (6) найдем: 2= 1 о = Я /Я 5. 10-1 Кл/м2. о 9/В= — 5 ° 10 1 Кл/м2 Такой же результат получится, если пластинам сообщить равные, но разноименные заряды. Из равенства (8) находим Зэзячз 12.2/ Внутри сферической металлической оболоч- и радиусами В = 4 см, В 8 см находится металлический шар радиуса В - 0,2 см с зарядом Я2 4'10 Кл (рис.
Найти потенциалы в точке, являющейся центром оболочки, и иа внешней поверхности оболочки, если: 1) шар расположен коицеитрично оболочке; 2) центр шара смещен на расстояние х 3 см от центра оболочки; 3) шар соприкасается с оболочкой.
Аяаяиэ. В случаях 1 и 2 на внутренней и внешней поверхностях оболочки появляются индуцированные заряды, благодаря которым напряженность результирующего поля в толще оболочки станет равной нулю. Если 92 > О, то на внутренней поверхности 81 оболочки индуцируется отрицательный заряд д ', причем с помощью теоремы Гаусса легко показать, что д' — Я (1) Для этого вспомогательную поверхность В надо провести в толще оболочки.
На внешней поверхности 82 оболочки появится индуцироввнный заряд 1) 7 Ю ° (2) Рис. 76 122 Поле в любой точке пространства создается каждым из трех зарядов, и напряженность результирующего поля Е = Ео + Е'+ Е". В точках, лежащих аа пределамн поверхности Я„т. е. при г > В„векторы Е и Е' направлены в противоположные стороны.
Предположим, что заряд д' так распределяется по поверхности Я„что за ее пределами поле заряда д' полностью компенсирует поле заряда оео, т. е. в любой точке эа пределами поверхности Я, Е + Е' = О. В этан случае, так как в толще металла поле отсутствует, заряд а" распределится по поверхности Я так, что внутри поверхности Я (т. е. в толще металлической оболочки и внутри нее) напряженность поля, создаваемого зарядом д", тождественно равна нулю. За пределами поверхности Я, (т. е. за пределами всей оболочки) поле создается только зарядом й" и не аависит от положения заряженнага шара внутри оболочки и распределения заряда (,)о по шару.
В условии задачи поверхность Я вЂ” сфера, поэтому заряд д" распределяется по ней равномерно. Примерное расположение силовых линий покааано на рисунке.' При сделанном предположении о распределении зарядов, поле в толще металлической оболочки отсутствует, и на основании теоремы о единственности решения такое распределение зарядов д' и д" по поверхностям Я, и Я, является единственно возможным'. При концентричном расположении шара и оболочки вследствие симметрии заряды (ео и «)' распределятся равномерно.
При иеконцентричном расположении шара и оболочки распределение зарядов Дои д" неизвестно. В случаях 1 н 2 потенциал любой точки пространства, согласно принципу суперпозиции, равен сумме потенциалов, создаваемых каждым из аарядов: «р = «ро + «р' + «р". (3) 1 Утверждение, что ноле заряда «) ' полностью хомвовсвруот псле заряде «е оо всех точках пространства оа пределами поверхности Я„ т.
е. в в толще мотолхвческой оболочка, в вво оо, представляет со. бой одно во утверждений теоремы Фарадея. В случае 3 при контакте шара и оболочки происходит перераспределение зарядов до тех пар, пока потенциалы обоих тел не будут равны. Прн соприкосновении шар и оболочку можно рассматривать как единое металлическое тело, потенциал во всех его точках одинаков и сообщенный ему заряд Яо распределяется целиком па внешней поверхности. Следовательно, заряд ого перейдет на поверхность Я, а индуцировзнные заряды взаимно скомпенснруют друг друга, т.
е. исчезнут. Рев«еяие. 1. При концентричном расположении шара и оболочки все заряды распределяются по соответствующим поверхностям разномерно. Используя теорему Гаусса, можно показать, что сферическая поверхность радиуса В, равномерно заряженная зарядам, а„создает поле, в котором В, = р,/(4язого), «р, - ~ К, «(г д,/(4яеог,) при г > В~ В и О, р, сопэФ = «)«/(4яеоВ) при г < В. Соответственно в центре системы (точка С) «рос Яо/(4хеоВо)~ «р,' - «)'/(4язоВ,), «р," - д "/(4яооВ,), Подставив «ро„., «р' и «р" в (3) и учитывая (2), получим «3о 1 1 1 «Рс — ' — - — о — 1750 В. с 4хоо'(Во В В / В точке Э, лежащей на внешней поверхности оболочки, «ро Мо + я' + Ч")/(4яэоВо) = «3о/(4яеоВг) Эта выражение дяя потенциала оказывается таким же, кэк и прн отсутствии металлической оболочки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
