1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Тогда Р е(ч, +чр) х В етэхВ, (2) таккакч хВ=О. Составляющая скорости ч, не изменяется ни по модулю, ви по направлению. Составлюощая скорости т под действием силы Лоренца непрерывно измеияет направление, так как сила Р„ (см. (2)), расположеинав в плоскости, перпендикулярной ливиям индукции, сообщает протону нормальное ускорение. Таким образом, протон участвует в двух движениях: равномерном И прямолинейном со скоростью и, параллельно линиям индукции (вдоль оси ОХ) и криволииейиом со скоростью и, (постоянной по модулю) в плоскости УОК (см.
рис. 110). Каордината х изменяется со временем по пикейному закону. Чтобы найти ха~актер зависимости координат у и г от времени и траекторию протона, применим второй закон Ньютона к его криволинейному движевию в плоскости УОЕ: т а„Р . Учитывая, что вектор скорости ч перпендикулярен линиям иидукцииии =иэ)п а,иавырюкения (2) получим Р„еиВ згп а. Нормальное ускорение протона и,' и~з1п а я„ Г г где г — радиус кривизны гхс. Пе траектории.
С учетом полученных выражений второй закон Ньютона примет вид еиВ ып а. (3) г Из выражения (3) видно, что г = сопз(, так как все остальные величины, входящие в (3), постоянны, Это зиачит, что в плоскости УОЯ протон движется по окружности с постоянной скоростью. Координаты у и г могут быть найдены иэ уравнения этой окружности, записанного в выбранных. координатах. Рещение. Протон участвует в двух движениях: равномерном вдоль оси ОХ со скоростью и, = исоа а и равномерном по окружиости в плоскости УОЯ со скоростью и, и э1п а. Радиус окружности (см. (3)) г лг и э)п а/(Ве) 0,9 см.
р Таким образом, траектория протона — винтовая линия ради са г. Шаг винта (смещеиие вдоль оси ОХ за время Т У одного оборота) )1 иТ соз а. Время одного оборота 2яг 2кэ1р Т иэ1па Ве откуда 2яэ1р и сова д ° = 3,3 ° . Ве Расстояние (см, (1)), пройденное протоном по траектории за время Фи э 10 см. Положение протона в любой момент времени определяется его координатами. Коордивата х изменяется со временем по закону х исоаа и (4) При выбранном начале коорди- С нат центр окружности, описываемой протоном в плоскости УОЕ, лежит (рис.
111) в точке О' (у = О, г - — г). Рис. 111 255 Правильность указанного полонсения центра окружности может быть проверена непосредственным интегрированием уравнений движения, записанных в координатной форме: аи„ аи, т — Р= иеВ, т — ' — иеВ. рбр * ' рссс р 4и„а „4и, би, Учитывая, что —" — и, — * = — *и и что в любой оу момент и„+ и и, уравнения движения можно привести г 3 к виду т — и„еВ,~и, '-и„', т — *и, = — еВ ~изг -иг. (5) В этих уравнениях можно легко разделить переменные, тогда, интегрируя уравнения (5) с учетом начальных условий (у г О, и„и„и, 0 при 1 0), получаем: тр — и -и — — и оВ ' " еВ г = — с1(иу — и -и ) = — р(и — и ) откуда у'+ г'+ 2и,т г/(Ве) = О. Это и есть уравнение окруясности, радиус которой г = -г — а Во координаты центра уо = 0 н го = — г. Начальные условия показывают, что движение происходит против часовой стрелки.
Введем осн координат О'Ъ", О'2', направленные так же, как оси Ог и ОЯ, но с началом координат в центре окружности (см. рис. 111). Тогда у=у'=гз)п сор, г+г г' гсов сос, (6) Это значит, что радиус-вектор, определяющий положение протона в системе У'О'2', находится в третьей четверти и повернут относительно отрицательного направления оси О'2' на угол ~р 0,18 рад 10,3'. Подставив время Зс в (4) и полученное значение соус в (6), найдем. что к моменту сс протон, двигаясь по винтовой линии, будет находиться в точке с координатами х, 5 см; у, — 0,16 см; г, = г,' — г — 1,78 см (рис.
110 и 111; точка С). Следует отметить, что при сос 2лл, где л О, 1, 2, ..., координаты у и г обращаются в нуль, т. е. траектория соприкасается с осью ОХ, Повторяется зто, очевидно, через каждые Лс = Т секунд, где Т вЂ” период вращения протона по окружности. Заавча 16.4. Узкий параллельный пучок положительных ионов проходит со скоростью и, ),О 10' м/с через однородные одинаково направленные электрическое и магнитное поля (Е 8 10 В/м, В = 1,0 10 ' Тл). Векторы Е и В перпендикулярны скорости летящих ионов. Область пространства, в которой созданы оба поля, имеет протяженность Я 5 см вдоль линии вектора ч, (рис.
112). За атой областью на расстоянии 1 20 см от нее перпендикулярно начальной скорости электронов расположен флуоресцирующий экран. Определить координаты точек, в которые попадут ионы водорода Н~ и ионы гелия Не". Какой след на экране оставят зти ионы, если их скорости лежат в диапазоне от и, до и, = = 1,5 10'и/с? Анализ. Для описания движения ионов и их положения на экране введем две системы осей координат: ОХУЯ и О'ХУ'2'.
В области Я на ион действует сила Лоренца Р-дЕ+дч х В, Гссс. Нг ззз где со — угловая скорость движения протона по окружности в плоскости УОЯ. Уравнения (6) соответствуют начальным условиям, записанным выше. Очевидно, что со = и /г еВ/иср, Для расчета координат у' и г' найдем сначала сот еВс /т = 9,6 род (Зя + 0,18) рад. где д — заряд иона. Электрическая и магнитная составляющие силы Лоренца благодаря сонаправленности векторов Е и В взаимно перпендикулярны.
Электрическая составляющая за все время движения в области Я постоянна, направлена а„- дЕ/т. и„= дЕ1,/т у, дЕ(э/(2т). (2) (, = Я/и, 5 10 е с. (6) тиз/г = ди,В. Период вращения иона Т 2яг/и, 2ят/(Вд). а, дВи,/т. (3) и, дВи,Г,/т. Смещение иона вдоль осн ОЕ: (4) г, -, дВи,2,'/(2т). (6) у' у, + и„ги г' - г, + иА, 25В по осн ОУ и сообщает постоянное ускорение, также направ- ленное по оси ОУ; Ион, пройдя область Я э» время аи приобретет вертикальную составляющую скорости н сместится вдоль вертикальной осн на расстояние Магнитная составляющая силы Лоренца в начальный момент направлена по осн ОЕ. Заряженная частица, попадая в однородное магнитное поле, направленное перпендикулярно ее скорости, движется по окружности, при этом направление силы Р непрерывно изменяется по мере изменения направления скорости.
Однако если цредположить, что время 2и в течение которого ион проходит область Я, много меньше цернода Т вращения иона по окружности, которую он должен был бы описать в заданном магнитном поле, то изменением направления магнитной составляющей снлы Лоренца можно пренебречь. Тогда магнитная составляющая силы, постоянная по модулю вследствие однородности магнитного поля, будет все время направлена по осн ОЕ н сообщит иону ускорение Ион, пройдя область Я за время Ги приобретет составляющую скорости, направленную вдоль оси 02: При сделанном предположении движение иона вдоль осн ОХ равномерное, что позволяет определить время Фи За пределами области Я нон движется прямолинейно и равномерно.
Проекции вектора скорости иона на оси ОУ н ОЕ определяются равенствами (1) и (3), а и„ии т. е. на- чальной скорости. Это даст возможность найти время движения иона до экрана и координаты у' и г' на экране. Как следует нэ выражений (2) н (4), координаты иона после пролета области Я за время аи а следовательно, и координаты у', г"иона на экране аависят от времени $и а значит, н от начальной скорости. Если начальная скорость иона не фиксирована, а значения ее лежат в некотором диапазоне, то оставленный на экране след будет представлять некоторую кривую.
Уравнение этой кривой можно получить, если в окончательных выражениях для координат у' и г' заменить фиксированное значение скорости и, ее текущим значением и. Тогда полученные уравнения у'(и) н г'(и) дадут параметрическое уравнение искомой кривой. Решение. Для проверки сделанного предположения о том, что магнитная составляющая силы Лоренца не изменяет своего направления, оценим прежде всего г, н Т. Если и и„ то Если магннтное поле достаточно протяженно, то ион будет двигаться по окружности, радиус г которой определяется нз уравнения Для иона водорода (д/т = 0,96.10з Кл/кг) Т 6,6 10 ~с, т. е. почти в 100 раз больше, чем Гг Это значит, что изменением направления вектора г можно пренебречь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
