Диссертация (786079), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

Действительно, базисные тензоры четвертого рангаможно разделить на три группы. Первая будет содержать произведение двух*«плоских» тензоров Кронекера вида δ ij*δ mn, вторая - произведение «плоского»тензора Кронекера и тензора ( Z i Z j ) вида δ ij* ( Z m Z n ) и, наконец, третья группабудет содержать единственный базисный тензор ( Z i Z j )( Z m Z n ) .

Всего длятрансверсально-изотропной среды можно построить десять базисныхтензоров четвертого ранга:*δ ij*δ mn * *δ imδ jn * *δ inδ mjδ ij*Z m Z n *δ im Z j Z n *δ in Z m Z j *δ jm Z i Z n *δ jn Z i Z mδ * Z Z mn i jZ Z Z Z i j m nТребование существования потенциальной энергии приводит к сокращениюколичества базисных тензоров до восьми:266*δ ij*δ mn * *δ imδ jn * *δ inδ mj*(δ ij* Z m Z n + δ mnZi Z j ) / 2 *δ im Z j Z n **(δ in Z m Z j + δ jm Z i Z n ) / 2δ * Z Z jn i mZ Z Z Z i j m nТребование независимости потенциальной энергии от поворотов или, что тоже,парностикасательныхнапряжений,приводиткпоследующемусокращению базисных тензоров и соответствующих модулей с восьми допяти:*δ ij*δ mn * ** *(δ imδ jn + δ inδ mj ) / 2*(δ ij* Z m Z n + δ mnZi Z j ) / 2 ****(δ im Z j Z n + δ jm Z i Z n + δ in Z j Z m + δ jn Z i Z m ) / 4Z Z Z Z i j m nТаким образом, тензор модулей для трансверсально-изотропной среды ссимметричным тензором напряжений имеет вид:Сijmn =**Z i Z j ) / 2 + C3 Z i Z j Z m Z n += C1δ ij*δ mn+ C2 (δ ij* Z m Z n + δ mn*) / 2 + C5 (δ im* Z j Z n + δ *jm Z i Z n + δ in* Z j Z m + δ *jn Z i Z m ) / 4+ C4 (δ im* δ *jn + δ in* δ mj119.2.3.

Структура тензора Сijmnдля изотропной среды.Специфическое свойство изотропной среды заключается в том, чтомеханическиесвойствасредывлюбомнаправленииодинаковы.Следовательно, тензор модулей должен содержать в качестве множителейбазисных тензоров тензоры Кронекера, как единственные изотропныетензоры второго ранга. Таких базисных тензоров всего три: δ ij δ mn , δ imδ jn , δ inδ mj .Соответственно, тензор модулей в общем случае имеет вид:Сijmn = C1δ ij δ mn + C2δ imδ jn + C3δ inδ mjТребование независимости потенциальной энергии от поворотов или, что тоже, парности касательных напряжений, приводит к сокращению базисныхтензоров и соответствующих модулей с трех до двух:Сijmn = C1δ ij δ mn + C2 (δ imδ jn + δ inδ mj )2679.3.Структура и свойства тензоров модулей шестого ранга.9.3.1.

Требование существования потенциальной энергии.Прирассмотренииобратимыхпроцессовдеформирования,следуетвыполнить условие существования потенциальной энергии кривизн, чтоприводит к требованию:abbaCijkmnl= CmnlijkОтсюда следует:abCijkmnl== C1abδ ijδ kmδ nl + C2abδ ijδ knδ ml + C3abδ ijδ klδ mn ++ C4abδ ik δ jmδ nl + C5abδ ik δ jnδ ml + C6abδ ik δ jlδ mn ++ C7abδ imδ kjδ nl + C8abδ imδ knδ jl + C9abδ imδ klδ jn ++ C10abδ inδ kmδ jl + C11abδ inδ kjδ ml + C12abδ inδ klδ mj ++ C13abδ ilδ kmδ nj + C14abδ ilδ knδ mj + C15abδ ilδ kjδ mn =ba= C mnlijk== C1baδ mnδ liδ jk + C2baδ mnδ ljδ ik + C3baδ mnδ klδ ij ++ C4baδ mlδ niδ jk + C5baδ mlδ jnδ ik + C6baδ mlδ nk δ ij ++ C7baδ imδ nlδ jk + C8baδ imδ ljδ nk + C9baδ imδ klδ jn ++ C10baδ mjδ liδ nk + C11baδ mjδ nlδ ik + C12baδ mjδ klδ in ++ C13baδ mk δ liδ nj + C14baδ mk δ ljδ in + C15baδ mk δ nlδ ijТаким образом, требование существования потенциальной энергии сводитсяpq:к связям между модулями тензоров СijkmnlC1ba = C15abC 2ba = C6abC3ba = C3abC 4ba = C11abC5ba = C5abC6ba = C 2abC7ba = C7abC8ba = C8abC9ba = C9abC10ba = C14abC11ba = C 4abC12ba = C12abC13ba = C13abC14ba = C10abC15ba = C1abДлятензоровсуществованиякривизнодинаковойпотенциальнойсортностиp=q=kтребованиеэнергии приводит к сокращению268количества модулей с пятнадцати до одиннадцати:C1kk = C15kkC2kk = C6kkC4kk = C11kkC10kk = C14kkЗдесь суммирование по верхним индексам (индексам сортности) непроизводится.Для тензоров кривизн разной сортности p ≠ q требование существованияпотенциальной энергии приводит к тому, что тензоры модулей имеютодинаковый набор пятнадцати модулей, в общем случае являющихсямножителями при разных базисных тензорах:C121 = C1512C221 = C612C321 = C312C421 = C1112C521 = C512C621 = C212C721 = C712C821 = C812C921 = C912C1021 = C1412C1121 = C412C1221 = C1212C1321 = C1312C1421 = C1012C1521 = C112pqразная:Таким образом, структура всех четырех тензоров модулей Сijkmnl22=Cijkmnl= C122 (δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk ) + C222 (δ ijδ knδ ml + δ mnδ ljδ ik ) ++ C322 (δ ikδ jmδ nl + δ mlδ niδ jk ) + C422 (δ inδ jlδ km + δ mjδ nkδ li ) ++ C522δ ijδ klδ mn + C622δ ikδ jnδ ml + C722δ imδ jkδ nl + C822δ imδ jnδ kl ++ C922δ imδ jlδ nk + C1022δ inδ mjδ kl + C1122δ ilδ jnδ mk12=Cijkmnl= C112δ ij δ kmδ nl + C 212δ ij δ knδ ml + C312δ ij δ kl δ mn ++ C 412δ ik δ jmδ nl + C512δ ik δ jnδ ml + C612δ ik δ jl δ mn ++ C712δ imδ kjδ nl + C812δ imδ knδ jl + C912δ imδ kl δ jn ++ C1012δ inδ kmδ jl + C1112δ inδ kjδ ml + C1212δ inδ kl δ mj ++ C1312δ il δ kmδ nj + C1412δ il δ knδ mj + C1512δ il δ kjδ mn26921Cijkmnl== C1512δ ijδ kmδ nl + C612δ ijδ knδ ml + C312δ ijδ klδ mn ++ C1112δ ikδ jmδ nl + C512δ ikδ jnδ ml + C212δ ikδ jlδ mn ++ C712δ imδ kjδ nl + C812δ imδ knδ jl + C912δ imδ klδ jn ++ C1412δ inδ kmδ jl + C412δ inδ kjδ ml + C1212δ inδ klδ mj ++ C1312δ ilδ kmδ nj + C1012δ ilδ knδ mj + C112δ ilδ kjδ mn11Cijkmnl== C111 (δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk ) + C211 (δ ijδ knδ ml + δ mnδ ljδ ik ) ++ C311 (δ ik δ jmδ nl + δ mlδ niδ jk ) + C411 (δ inδ jl δ km + δ mjδ nk δ li ) ++ C511δ ijδ klδ mn + C611δ ik δ jnδ ml + C711δ imδ jk δ nl + C811δ imδ jnδ kl ++ C911δ imδ jl δ nk + C1011δ inδ mjδ kl + C1111δ il δ jnδ mkКаждый тензор модулей шестого ранга участвует в свертке кривизн разныхсортов.

Свойства кривизн также будут определять соответствующие свертки.Поэтому тензоры модулей с необходимостью будут отражать специфическиесвойства каждой свертки. С учетом этого замечания, изучение свойствтензоров модулей для каждого сочетания индексов сортности будетпроведено отдельно:22=Cijkmnl= C122 (δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk ) + C 222 (δ ijδ knδ ml + δ mnδ ljδ ik ) ++ C322 (δ ik δ jmδ nl + δ ml δ niδ jk ) + C 422 (δ inδ jl δ km + δ mjδ nk δ li ) ++ C522δ ij δ kl δ mn + C622δ ik δ jnδ ml + C722δ imδ jk δ nl + C822δ imδ jnδ kl ++ C922δ imδ jl δ nk + C1022δ inδ mjδ kl + C1122δ il δ jnδ mk21=Cijkmnl= C112 (δ inδ kjδ ml + δ ilδ kjδ mn ) + C212 (δ ik δ jnδ ml + δ ik δ jlδ mn ) ++ C312 (δ ijδ knδ ml + δ ijδ klδ mn ) + C412 (δ imδ knδ jl + δ imδ klδ jn ) ++ C512 (δ ilδ knδ mj + δ inδ klδ mj ) + C612 (δ inδ kmδ jl + δ ilδ kmδ nj ) ++ C712δ imδ kjδ nl + C812δ ik δ jmδ nl + C912δ ijδ kmδ nl12=Cijkmnl= C112 (δ ijδ kmδ nl + δ ik δ jmδ nl ) + C212 (δ ijδ knδ ml + δ ik δ jnδ ml ) ++ C312 (δ ijδ klδ mn + δ ik δ jlδ mn ) + C412 (δ imδ knδ jl + δ imδ klδ jn ) ++ C512 (δ inδ kmδ jl + δ inδ klδ mj ) + C612 (δ ilδ kmδ nj + δ ilδ knδ mj ) ++ C712δ imδ kjδ nl + C812δ inδ kjδ ml + C912δ ilδ kjδ mn27011=Cijkmnl= C111 (δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk + δ ik δ jmδ nl + δ mlδ niδ jk ) ++ C211 (δ ijδ knδ ml + δ mnδ ljδ ik + δ ijδ klδ mn + δ ik δ jnδ ml ) ++ C311 (δ inδ jlδ km + δ mjδ nk δ li + δ inδ mjδ kl + δ ilδ jnδ mk ) ++ C411 (δ imδ jnδ kl + δ imδ jlδ nk ) ++ C511δ imδ jk δ nlЗдесь нумерация модулей изменена в соответствии с оставшимисябазисными тензорами.Обратим внимание на то, что тензор C22ijkmnlсовпадает с тензором модулейшестого ранга в общепринятой теории Миндлина.

Этот тензор содержитодиннадцать модулей. Будем, поэтому, называть его в дальнейшем тензоромМиндлина.Соответственно, тензор Cсовпадает с тензором когезионных модулей11ijkmnlобщепринятой теории Тупина. Этот тензор содержит пять модулей. Будем,поэтому, называть его в дальнейшем тензором Тупина.Кроме того, в предложенной здесь теории тензоры C12ijkmnlиC21ijkmnlсодержат одини тот же набор из пятнадцати модулей. Следует обратить внимание на то, чтоэти модули являются, в общем случае, множителями при различныхбазисных тензорах, что приводит к различной структуре тензоров CТакимобразом,изучаемаяздесьтеориясодержит12ijkmnlтридцатьиC21ijkmnl.одинкогезионный модуль.Естественно предположить и попытаться установить дополнительныеусловия, которые бы позволили теоретически обосновать дальнейшеесокращение количества когезионных модулей.Поэтому будем называть в дальнейшем теории Миндлина и Тупина соструктурой тензоров C22ijkmnlи C11ijkmnl, полученными в данном разделе, -«классическими», а те же теории с более простыми структурами тензоров –«уточненными».2719.3.2.

Определение «существенных» и «несущественных» модулей.В этом разделе предпринята попытка обоснования сокращения количествакогезионных модулей формальным, математическим путем. Центральнуюроль здесь играет теорема «о дивергентном слагаемом в плотностифункционала». Для этого представим потенциальную энергию кривизн ввиде суммы некоторой квадратичной формы и дивергенции некотороговектора. Разлагая тензоры модулей на симметричную и антисимметричную,при перестановке третьего-шестого индексов, части, получим:∫∫∫ C D=∫∫∫ [(C=∫∫∫ [(Cabaijkmnlij ,kabijkmnlabijkmnlDmnb ,l dV =ababab+ Cijlmnk− Cijlmnk) / 2 + (Cijkmnl) / 2]Dija,k Dmnb ,l dV =ababab+ Cijlmnk) Dija,k Dmnb ,l / 2 + (CijpmnqЭ pqr Эklr Dija,k Dmnb / 2) ,l − CijpmnqЭ pqr (Эklr Dija,kl ) Dmnb / 2]dVТретье слагаемое правой части этого равенства тождественно равно нулю,так как сомножитель, выделенный круглыми скобками, является сверткойсимметричного по индексам k, l тензора D с антисимметричным по этим жеaij ,klиндексам псевдотензора Э .

Характеристики

Список файлов диссертации