Диссертация (786079), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

Такимобразом, тензор модулей в общем случае имеет вид:QСijmn = AQ eijmnПри этом проекцией этого тензора на выбранный базисный тензор сномером 1 ≤ P ≤ 81 будет соответствующий модуль AP .P= APСijmn eijmn11= X i X j X m X n , то Сijmn eijmn= A1 , так как прямойК примеру, если eijmnпроверкой можно убедиться, что1 при Q = PQP.eijmneijmn=0 при Q ≠ P260Требованиесуществованияпотенциальнойэнергии.Требованиесуществования объемной плотности потенциальной энергии 2UV = Сijmn Ri , j Rm,nприводит к следующему свойству тензора модулей:Сijmn = СmnijИз этого требования вытекает условие, что и каждый базисный тензордолжен обладать этим свойством.

Выполним это условие следующимформальным образом:QQPСijmn = AQ eijmn= AQ eijmn/ 2 + AP eijmn/2 =QPQPQPQP= AQ [(eijmn+ eijmn) / 2 + (eijmn− eijmn) / 2] / 2 + AP [(eijmn+ eijmn) / 2 − (eijmn− eijmn) / 2] / 2 =QPQP= ( AQ + AP )(eijmn+ eijmn) / 4 + ( AQ − AP )(eijmn− eijmn)/4Здесь индексом P осуществлена другая нумерация базисных тензоров и,QP. Требование= eijmnсоответственно, модулей на основании равенства emnijсуществования потенциальной энергии тогда сводится к требованию:AQ = APЭто приводит к сокращению количества модулей с восьмидесяти одного досорока пяти и соответствующему сокращению базисных тензоров:qСijmn = Aqδ ijmnqqq)/2= (eijmn+ emnijδ ijmnЗдесь уже инедекс q нумерует линейно независимые комбинации исходныхqqq= (eijmn+ emnij) / 2 и модулей при них Aq :базисных тензоров δ ijmn261Xi X j X m X n( X i X j X mYn + X iY j X m X n ) / 2( X i X j X m Z n + X i Z j X m X n ) / 2( X i X jYm X n + Yi X j X m X n ) / 2( X i X jYmYn + YiY j X m X n ) / 2( X i X jYm Z n + Yi Z j X m X n ) / 2( X i X j Z m X n + Z i X j X m X n ) / 2( X i X j Z mYn + Z iY j X m X n ) / 2( X i X j Z m Z n + Z i Z j X m X n ) / 2( X iY jYm X n + Yi X j X mYn ) / 2( X iY jYmYn + YiY j X mYn ) / 2( X iY jYm Z n + Yi Z j X mYn ) / 2( X iY j Z m X n + Z i X j X mYn ) / 2( X iY j Z mYn + Z iY j X mYn ) / 2( X iY j Z m Z n + Z i Z j X mYn ) / 2( X i Z jYm X n + Yi X j X m Z n ) / 2( X i Z jYmYn + YiY j X m Z n ) / 2X Z X Z i j m n( X i Z jYm Z n + Yi Z j X m Z n ) / 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−( X i Z j Z m X n + Z i X j X m Z n ) / 2( X i Z j Z mYn + Z iY j X m Z n ) / 2( X i Z j Z m Z n + Z i Z j X m Z n ) / 2 X iY j X mYn( X iY j X m Z n + X i Z j X mYn ) / 2Yi X jYm X n(Yi X jYmYn + YiY jYm X n ) / 2(Yi X jYm Z n + Yi Z jYm X n ) / 2YiY jYmYn(YiY jYm Z n + Yi Z jYmYn ) / 2(Yi X j Z m X n + Z i X jYm X n ) / 2(Yi X j Z mYn + Z iY jYm X n ) / 2(Yi X j Z m Z n + Z i Z jYm X n ) / 2(YiY j Z m X n + Z i X jYmYn ) / 2(YiY j Z mYn + Z iY jYmYn ) / 2(YiY j Z m Z n + Z i Z jYmYn ) / 2(Yi Z j Z m X n + Z i X jYm Z n ) / 2(Yi Z j Z mYn + Z iY jYm Z n ) / 2(Yi Z j Z m Z n + Z i Z jYm Z n ) / 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Y Z Y Z i j m nZ i X j Z m X n( Z i X j Z mYn + Z iY j Z m X n ) / 2( Z i X j Z m Z n + Z i Z j Z m X n ) / 2Z iY j Z mYn( Z iY j Z m Z n + Z i Z j Z mYn ) / 2Z Z Z Z i j m nТребование парности касательных напряжений.Еслипредположиьсправедливостьгипотезыпарностикасательныхнаряжений, то потенциальная энергия не зависит от поворотов, и следуетвыполнить еще дополнительное требование симметрии тензора модулей ибазисных тензоров при перестановкеиндексов внутри первой и внутри262второйпарыиндексоввотдельности.Формальнуюпроцедурусимметрировния можно проиллюстрировать следующей цепочкой равентсв:Сijmn == [(Сijmn + С jimn ) / 2 + (Сijmn − С jimn ) / 2] == [(Сijmn + С jimn ) / 2 + (Сijmn − С jimn ) / 2] / 2 + [(Сijnm + С jinm ) / 2 + (Сijnm − С jinm ) / 2] / 2 ++ [(Сijmn + С jimn ) / 2 + (Сijmn − С jimn ) / 2] / 2 − [(Сijnm + С jinm ) / 2 + (Сijnm − С jinm ) / 2] / 2 =+++−−+−−= Cijmn+ Cijmn+ Cijmn+ Cijmn++ijmnC+−ijmnC−+ijmnC−−ijmnC= (Сijmn + С jimn + Сijnm + С jinm ) / 4= (Сijmn + С jimn − Сijnm − С jinm ) / 4= (Сijmn − С jimn + Сijnm − С jinm ) / 4= (Сijmn − С jimn − Сijnm + С jinm ) / 4++Cijmn⇒  ++Cijmn+−Cijmn⇒  +−Cijmn−+Cijmn⇒  −+Cijmn−−Cijmn⇒  −−Cijmn+= +C +jimn++= +Cijnm−= +C +jimn+−= −Cijnm+= −C −jimn−+= +Cijnm−= −C −jimn−−= −CijnmТаким образом, произведено формальное разложение тензора модулей насумму тензоров, каждый из которых обладает разной симметрией приперестановке индексов внутри первой и второй пар индексов.

Верхниеиндексы (знаки) определяют симметрию/антисимметрию при перстановкеиндексов в первой/второй паре. Требование, чтобы потенциальная энергия независела от поворотов, сводится тогда к требованию равенства нулю+−−+−−тензоров C ijmn= C ijmn= C ijmn= 0 . Это, в свою очередь, приводит к дальнейшемусокращению количествамодулейисоответствующихим линейныхкомбинаций базисных тензоров. Не трудно убедиться, что таких комбинаций,а соответственно, и модулей остается только двадцать одна штука.263Xi X j Xm Xn[ X i X j ( X mYn + X nYm ) + X m X n ( X iY j + X jYi )] / 4[ X i X j ( X m Z n + X n Z m ) + X m X n ( X i Z j + X j Z i )] / 4( X i X jYmYn + X m X nYiY j ) / 2[ X i X j (Ym Z n + Yn Z m ) + X m X n (Yi Z j + Y j Z i )] / 4( X i X j Z m Z n + X m X n Zi Z j ) / 2( X iY j + X jYi )( X mYn + X nYm ) / 4[( X iY j + X jYi )( Z m X n + Z n X m ) + ( X mYn + X nYm )( Z i X j + Z j X i )] / 8[YiY j ( X mYn + X nYm ) + YmYn ( X iY j + X jYi )] / 4[( X iY j + X jYi )(Ym Z n + Yn Z m ) + ( X mYn + X nYm )(Yi Z j + Y j Z i )] / 8[ Z i Z j ( X mYn + X nYm ) + Z m Z n ( X iY j + X jYi )] / 4( Z i X j + Z j X i )( Z m X n + Z n X m ) / 4[YiY j ( Z m X n + Z n X m ) + YmYn ( Z i X j + Z j X i )] / 4[( Z i X j + Z j X i )(Ym Z n + Yn Z m ) + ( Z m X n + Z n X m )(Yi Z j + Y j Z i )] / 8[ Z i Z j ( Z m X n + Z n X m ) + Z m Z n ( Z i X j + Z j X i )] / 4YiY jYmYn[YiY j (Ym Z n + Yn Z m ) + YmYn (Yi Z j + Y j Z i )] / 4(YiY j Z m Z n + Z i Z jYmYn ) / 2(Yi Z j + Y j Z i )(Ym Z n + Yn Z m ) / 4[ Z i Z j (Ym Z n + Yn Z m ) + (Yi Z j + Y j Z i ) Z m Z n ] / 4Zi Z j Z m Z n9.2.1.

Структура тензора С11ijmnдля ортотропной среды.Специфическое свойство ортотропной среды заключается в том, чтопотенциальная энергия не содержит билинейных слагаемых относительнодиагональных и недиагональных компонент тензора дисторсии. Это свойствоприводит к тому, что соответствующие нормальные наряжения не зависят отугловых деформаций, а касательные напряжения от линейных деформаций.Чтобы формализовать это условие, представим базисные тензоры четвертогоранга как произведения двух базисных тензоров второго ранга. Тогдатребованиеортотропнойортотропностисредынеэквивалентнотому,должен содержать264чтотензорбазисныхмодулейтензороввторого ранга, содержащих одновременно пару одинаковых и пару разныхортов. Используя систему базисных тензоров для анизотропной среды иудерживая только те из них, которые удовлетворяют сформулированномувыше условию, получим:Xi X j Xm Xn( X i X jYmYn + X m X nYiY j ) / 2( X i X j Z m Z n + X m X n Zi Z j ) / 2( X iY j + X jYi )( X mYn + X nYm ) / 4[( X iY j + X jYi )( Z m X n + Z n X m ) + ( X mYn + X nYm )( Z i X j + Z j X i )] / 8[( X iY j + X jYi )(Ym Z n + Yn Z m ) + ( X mYn + X nYm )(Yi Z j + Y j Z i )] / 8( Z i X j + Z j X i )( Z m X n + Z n X m ) / 4[( Z i X j + Z j X i )(Ym Z n + Yn Z m ) + ( Z m X n + Z n X m )(Yi Z j + Y j Z i )] / 8YiY jYmYn(YiY j Z m Z n + Z i Z jYmYn ) / 2(Yi Z j + Y j Z i )(Ym Z n + Yn Z m ) / 4Zi Z j Z m Z nКак видно, тензор модулей ортотропной среды содержит двенадцатьбазисных тензоров и, соответственно, двенадцать модулей.

Такая модельдопускает взаимодействие сдвигов с одним одинаковым индексом вкасательных напряжениях. Это взаимодействие определяют базисныетензоры:[( X iY j + X jYi )( Z m X n + Z n X m ) + ( X mYn + X nYm )( Z i X j + Z j X i )] / 8[( X iY j + X jYi )(Ym Z n + Yn Z m ) + ( X mYn + X nYm )(Yi Z j + Y j Z i )] / 8[( Z i X j + Z j X i )(Ym Z n + Yn Z m ) + ( Z m X n + Z n X m )(Yi Z j + Y j Z i )] / 8и соответсвующие модули при них. Классическая ортотропная модель можетбытьполученадополнительноевзаимодействийизрассмотренной,условие.сдвиговЭтимвеслиудовлетворитьусловиемкасательныхещеодноявляетсяотсутствиенапряжениях.Требованиеклассической ортотропности эквиваленто тому, чтобы базисные тензорычетвертого ранга состояли из произведений двух одинаковых базисныхтензоров второго ранга. Тогда такая «упрощенная» ортотропная модельбудет содержать девять базисных тензоров:265Xi X j X m X nYiY jYmYnZ i Z j Z m Z n( X i X jYmYn + X m X nYiY j ) / 2(YiY j Z m Z n + Z i Z jYmYn ) / 2( Z i Z j X m X n + Z m Z n X i X j ) / 2( X iY j + X jYi )( X mYn + X nYm ) / 4(Yi Z j + Y j Z i )(Ym Z n + Yn Z m ) / 4( Z i X j + Z j X i )( Z m X n + Z n X m ) / 4Соответсвенно, и количество модулей сокращается до классических девяти.119.2.2.

Структура тензора Сijmnдля трансверсально-изотропнойсреды.Специфическое свойство трансверсально-изотропной среды заключается втом, что механические свойства среды в некотором выделенном направленииотличаются от механических свойств в плоскости, перпендикулярной этомувыбранномунаправлению.Следовательно,тензормодулейдолженсодержать в качестве множителей базисных тензоров тензоры второго рангавида Z i Z j и δ ij* = X i X j + Yi Y j = δ ij − Z i Z j , если выделенное направление – орт осиOZ.В этом случае можно сразу построить систему базисных тензоров дляортотропной среды.

Характеристики

Список файлов диссертации