Диссертация (786079), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Определим его так, что:d ijΞ = t ia Ra , jΞ ij = d inΞ, m Эnmj = t ia , m Эnmj Ra , n + t ia Ra , jm Эnmj = t ia , k Эbkj Ra , b(7.6.1.3)Подставляя (7.6.1.3) в лагранжиан (7.6.1.1), получим:L = A−1Cijnm Ri , j Rn , m dV2 ∫∫∫(7.6.1.4)В результате, модель сред с сохраняющимися дислокациями (7.6.1.1)приведена к виду модели классической неоднородной среды (7.6.1.4). В ней242тензор модулей Cijnm становится тензорным полем, отличным от постоянногополя там, где существенным является вклад составляющих, содержащих tij .Эффективные модули λ = λ (tij , tij ,k ) , µ = µ (tij , tij ,k ) и χ = χ (tij , tij ,k ) эквивалентнойклассической среды в соответствии с (7.6.1.4) выражаются через тензоротносительной поврежденности tij следующим образом:Cijnm == (2µ / 3 + λ )δ ijδ nm + 2µ (δ inδ jm / 2 + δ imδ jn / 2 − δ ijδ nm / 3) + χ (δ inδ jm − δ imδ jn ) = (7.6.1.5)111222BLt qn + C pjqmt pi t qn + (C abcdЭ jtb Эmsd )t ai , t t cn , s= Cijnm+ 2CijqmТаким образом, установлено, что эффективные модули λ = λ (tij , tij ,k ) ,µ = µ (tij , tij ,k )и χ = χ (tij , tij ,k ) эквивалентной классической среды являютсяфункциями тензоров относительной поврежденности и его градиентов, а также двенадцати классических и неклассических параметров материала среды,111222BLвходящих в состав тензоров модулей Cijnm., Cijqm, C pjqm, C abcdУравнения Эйлера лагранжиана (7.6.1.3), записанные в переменных Riи t ij :δL = ∫∫∫ {[Cijnm Rn,mj + Cijnm, j Rn,m + PiV ]δRi +122233+ [− Ri , j (Cijqm+ C pjqmt pi ) + (C abqdЭ jtb Эmsd )( Ri , j t ai ,t ) , s ]Rn ,mδt qn }dV +33+ ∫∫ {[ Pi F − Cijnm n j Rn ,m ]δRi − (C abqdЭ jtb Эmsd ns )t ai ,t Ri , j Rn ,mδt qn }dF = 0Области, в которых тензорное поле эффективных модулей зависит откоординат, можно трактовать как некоторые межфазные слои с переменнымипо координатам упругими свойствами, что и отражено в структуретензорного поля Cijnm .
Переменные по координатам упругие свойства,определяемые концентрацией сохраняющихся дислокаций, в областях такихмежфазных слоев, можно описать с помощью следующего алгоритма.Строится решение связанной задачи механики сред с сохраняющимисядислокациями (7.6.1.1) с искомыми полями Ri и d ijΞ . По полученным вкачестве решения связанной краевой задачи полям Ri и d ijΞ вычисляетсятензор стесненной дисторсии Ri , j , обратный ему тензор d kj−1 из системы243Ri ,k d kj−1 = δ ij , и, наконец, тензор относительной поврежденности tij = d ikΞ d kj−1 .
Повычисленномутензоруtijвсоответствиис(7.6.1.3)путемдифференцирования строится тензор tij ,k . Наконец, в соответствии с (7.6.1.5),по известным tij и tij ,k строится тензорное поле Cijnm .7.6.К теории неоднородного межфазного слоя.В предыдущем разделе предложена модель изменения механических свойствмеханических свойств среды. При этом структура тензора эффективныхмодулей Cijnm такова, что существенные изменения его по координатам имеютместо там, где велики градиенты тензора относительной поврежденности tikили тензора свободной дисторсии d ij2 . Такое положение дел имеет место вгетерогенных структурах и композитах, благодаря наличию развитойсистемы поверхностей контакта разных фаз с неизбежным появлениемвысоких градиентов дисторсий.
Как следствие, в межфазных слоях такжедолжны моделироваться эффекты переменности механических свойств. Внастоящем разделе теория межфазного слоя развивается в этом направлении,и исследуются некоторые прикладные аспекты теории неоднородногомежфазного слоя.7.6.1. Теорема о межфазном слое.Представим лагранжиан (7.6.1.4) модели неоднородной классическойсреды в следующем виде:L = A−12V∫∫∫ C11− ∫∫∫ [Cijnm −V2ijnmdV ∫∫∫ Ri , j Rn ,m dV −∫∫∫ CijnmdV ][ Ri , j Rn ,m1−V244(7.7.1.1)∫∫∫Ri , j Rn ,m dV ]dVВведем обозначения:Eijnm =1V∫∫∫ CijnmdVε ijnm =1V∫∫∫(7.7.1.2)Ri , j Rn ,m dVПотенциальная энергия в лагранжиане (7.7.1.1) представлена в видедвух слагаемых. Первое слагаемое определяет потенциальную энергиюисходной среды с осредненным по объему тела тензором модулей Eijnm .Второе слагаемое определяет потенциальную энергию исходной среды стензором модулей, равным уклонению тензорного поля Cijnm от егоосредненного по объему значения.
Действительно, в соответствии с (7.7.1.2)интеграл по объему тела от разности (Cijnm − Eijnm ) равен нулю. Обратимвнимание на то, что компоненты тензора эффективных модулей Eijnm независят от координат с одной стороны, а с другой стороны являютсяфункционалами тензорного поля tij в соответствии с (7.7.1.2).Трактовка слагаемых потенциальной энергии, данная выше, даетвозможность выдвинуть гипотезу о том, что вторым слагаемым влагранжиане (7.7.1.1) можно пренебречь.
Эта единственная гипотезапозволяетточнуюпостановку(7.7.1.1)заменитьболееудобнойприближенной. В результате, с учетом (7.7.1.2), получим лагранжиан:1L = A − Eijnm ε ijnmV2(7.7.1.3)Лагранжиан (7.7.1.3) в соответствии с (7.7.1.2) по-прежнему являетсяфункционалом независимых переменных: векторного поля Ri и тензорногополя tij . Причем, потенциальная энергия в (7.7.1.3) представлена в видепроизведения двух функционалов, один из которых зависит только от Ri , j , авторой – только от tij и tij ,k . Вариация лагранжиана (7.7.1.3) имеет вид:1212δL = (δA − EijnmVδε ijnm ) − ε ijnmVδEijnmТак как в соответствии с (7.7.1.2) первое слагаемое зависит только отδRi и δRi , j , а второе – только от δt ij и δt ij ,k , соответствующее вариационное245уравнение распадается на последовательность двух краевых задач.Первая краевая задача1(δA − EijnmVδε ijnm ) =2= ∫∫∫ ( Eijnm Rn ,mj + PiV )δRi dV + ∫∫ ( Pi F − Eijnm n j Rn ,m )δRi dF = 0(7.7.1.4)сводится к краевой задаче для однородной эффективной среды, если заданыили вычислены эффективные модули Eijnm .Вторая краевая задача1ε ijnmδ ∫∫∫ Cijnm dV =2122233ε ijnm + (C pjqmε ijnm )t pi − (C abqdЭbjg Эdmf ε ijnm )t ai , fg ]δt qn dV += ∫∫∫ [Cijqm33Эbjg Эdmf ε ijnm )t ai , g n f δt qn dF = 0+ ∫∫ (C abqdВведем обозначения:1212ε ijnm = U qnCijqm2222ε ijnm = U qnpiC pjqm3333ε ijnm Эbjg Эdmf = U qnfaigC abqd(7.7.1.5)Тогда вторая краевая задача принимает следующий окончательный вид:∫∫∫223333t nm − U ijknmlt nm,kl )δt ij dV + ∫∫ U ijknmlt nm,l nk δt ij dF = 0(U ij12 + U ijnm(7.7.1.6)Эта краевая задача дает возможность определить поврежденность tij имеханические и геометрические свойства межфазных слоев, если заданы или2233.вычислены тензоры энергий U ij12 ,U ijnm,U ijknmlОбратим внимание на то, что для «медленно меняющегося» поляотносительной поврежденности, когда производные гораздо меньше самойфункции, краевая задача (7.7.1.6) сводится к алгебраической:−222222= δ pnδ qmU ij12 + U ijnmt nm = 0 ⇒ U pqijU ijnm−22 12⇒ t pq = −U pqijU ijЭто решение определяет единственный глобальный эффект в дефектных11к тензору «поврежденных»средах – переход от тензора супермодулей Cijnmмодулей Eijnm = Cijnm :−22−22−22111212221212Cijnm = Cijnm− 2CijqmU qnabU ab+ C pjqmU picdU cdU qnabU ab(7.7.1.7)Межфазные слои, как области специфических краевых эффектов, могутпоявиться только при формулировке контактных задач.
В соответствии с246(7.7.1.6), контактная задача для межфазного слоя принимает вид:∫∫∫2233(U ij12 + U ijnmt nm − U ijknmlt nm ,kl )δt ij dV +I3333+ ∫∫ U ijknmlt nm ,l nk δt ij dF + ∫∫ U ijknmlt nm ,l (+ nk )δt ij dF +IFC2233+ ∫∫∫ (U ij12 + U ijnmt nm − U ijknmlt nm ,kl )δt ij dV +II3333+ ∫∫ U ijknmlt nm ,l nk δt ij dF + ∫∫ U ijknmlt nm ,l (−nk )δt ij dF = 0IIFCИндекс I относится к первому телу, II - ко второму, IF - к свободнойповерхности первого тела, IIF - к свободной поверхности второго, C - кповерхностивыражения,контакта.неПеременные,снабженывходящиесоответствующимивподынтегральныеиндексами,чтобынезагромождать эти выражения.
Здесь также учтено, что энергии контакта дляпервого и второго тела должны быть записаны для разных сторонповерхности контакта. Единичные векторы нормали к ним коллинеарны, ноимеют разные знаки. Стороной с положительным направлением выбранасторона поверхности контакта первого тела с нормалью (+ nk ) , тогда сторонаповерхности контакта второго тела будет иметь нормаль, противоположнуюпо знаку, и обозначена как (−nk ) . Пусть поврежденность tij для каждого телаудовлетворяет гельмгольцевой системе неоднородных уравнений в объеме.Кроме того, пусть tij для каждого тела удовлетворяет и «статическим»граничным условиям на свободных от контакта поверхностях. Выбор этихусловийобусловлентем,чтонетвозможностизадавать/управлятьповрежденностью поверхности, если поверхности контакта адгезионнопассивны.
Поэтому δtij ≠ 0 . С учетом этого, вариационное уравнение длямежфазного слоя принимает вид:∫∫3333) II (t nm,l ) II δ (t ij ) II }nk dF ={(U ijknml) I (t nm,l ) I δ (t ij ) I − (U ijknmlC113333= ∫∫ {[(U ijknml) I (t nm,l ) I − (U ijknml) II (t nm,l ) II ]δ [ (t ij ) I + (t ij ) II ] +22C113333) I (t nm,l ) I + (U ijknml) II (t nm,l ) II ]δ [ (t ij ) I − (t ij ) II ]}nk dF = 0+ [(U ijknml22247Если, как обычно при решении контактных задач считать, что варьируемыевеличины при переходе через поверхность контакта не имеют скачка,условия контакта формулируются системой:3333(U ijknml) I (t nm ,l ) I − (U ijknml) II (t nm ,l ) II = 0(t ij ) I − (t ij ) II = 0(7.7.1.8)Таким образом, сформулированная теорема о межфазном слое позволяет полагранжианутеориидефектныхсредвформе(7.7.1.1)построитьупрощенный лагранжиан (7.7.1.3).
Вариационное уравнение для (7.7.1.3)распадается на два: вариационное уравнение классической однородной средыс эффективным тензором модулей (7.7.1.4) и вариационное уравнениемежфазного слоя (7.7.1.6). Искомыми функциями в первой из перечисленныхмоделей являются компоненты вектора перемещений Ri , а параметрами –компонентытензораэффективныхмодулейEijnm ,являющиесяфункционалами компонентов тензора дислокационной поврежденности tij .И наоборот: искомыми функциями во второй из перечисленных моделейявляются компоненты тензора дислокационной поврежденности tij , а2233, являющиесяпараметрами – компоненты тензоров энергий U ij12 ,U ijnm,U ijknmlфункционалами компонентов вектора перемещений Ri .7.6.2. Теорема Клапейрона в теории межфазного слоя.Пусть перемещения являются экстремалями вариационного уравнения(7.7.1.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
