Диссертация (786079), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Естественные граничныеусловия можно сопоставить с формулировкой краевых задач в классическойтеории пластин. Так же, как и в классической теории пластин, появляетсятребование непрерывности крутящего момента при переходе через угловуюточку контура (внеинтегральное слагаемое вариационного уравнения).Работа изгибающего момента на угле поворота ( M jk v j vk )δ ( R,i vi ) так же даетклассическую пару граничных условий: или должен быть задан уголповорота, или изгибающий момент должен быть равным нулю.

Здесь следуетотметить то обстоятельство, что в рамках теории изгиба 2D-структуры нетвозможности задать ненулевым изгибающий момент на контуре. Вторая параестественных граничных условий, связана с работой перерезывающей силына прогибах ( P F − Q j v j − [( M jk s j vk ) si ],i + M jk ,k v j )δR . Здесь так же, как и вклассической теории пластин, не удается сформулировать граничное условиена Сен-Венанову перерезывающую силу Q j v jи приходится вводитьопределение Кирхгоффовской перерезывающей силы.

При этом в отличие отклассической теории пластин, она модифицируется не только контурнойпроизводнойоткрутящегомомента221[( M jk s j vk ) si ],i ,ноидвумядополнительными слагаемыми. Первое слагаемое - контурная производная открутящего момента M jm,n v j sm sn , второе слагаемое - нормальная к контурупроизводная от изгибающего момента M jm,n v j vmvn . В сумме они дают«плоскую» дивергенцию M jk ,k v j . Вариационное уравнение в прогибах:δL = ∫∫ [δ F ∇ 2 R − 3 A311∇ 2∇ 2 R + P F ]δRdF +)δR + [ P s − δ F R + 3 A11R + 5 A11R ′′]δR}ds − ∑ 2 A11R ′δR = 0+ ∫ {− A311 ( R′′ + 3R333Так же, как и в теории тонких пленок с идеальной адгезией лицевыхповерхностей, изложенной в разделе 7.3.2, разрешающее уравнение теорииизгиба 2D-структуры содержит не только бигармонический оператор, но игармонический.

Можно говорить о том, что оператор равновесия в теорииизгиба 2D-структуры имеет ту же структуру, что и в теории пластинТимошенко. Жесткости в операторе равновесия теории изгиба 2D-структурыδ F , A311 являются адгезионными модулями, по размерности совпадающие сжесткостями теории пластин Тимошенко Gh и Eh3 / 12(1 − v 2 ) .7.4.К механике хрупкого разрушения.На основе прикладной модели сред с полями сохраняющихся дислокаций, врамках так называемой биплоской 2D-постановки, строится аналитическоерешение для полубесконечной трещины.Предполагается, что области применимости классической и градиентныхтеорий лежат вне области, в которой характерное напряжение равно илипревышает критическое (для хрупких материалов – предел прочности).Сравнительный анализ построенных решений позволяет утверждать, что вокрестности вершины трещины в любой теории имеют место замкнутыетраектории равных напряжений, выделяющих область, где соответствующаятеория не применима.

Её размер определяет неклассический параметр –длина когезионных взаимодействий в рассматриваемой среде [60-64].222На основании проведенного анализа дается обоснование оценки сверхувеличины характерной длины когезионных взаимодействий в неклассических(градиентных) теориях (теории сред Коссера, теории Тупина, моментнойтеории Аэро-Кувшинского, «простейшей» теории когезионного поля) черезтакиестандартныехарактеристикиматериалов,какпределпрочности/текучести и вязкость разрушения.Формулировка прикладной теории сред с сохраняющимися дислокациями(ССД) изложена в разделе 5.2.

Здесь приводятся только необходимые длядальнейшего изложения сведения. Лагранжиан L теории:L = A−∂ 2 Ri ∂ 2 Rn∂Ri ∂Rn11EEE]dV[+ijrk nmrlijnm2 ∫∫∫∂x k ∂x j ∂xl ∂x m∂x j ∂x m C VЗдесь A - работа внешних объемных PiV и поверхностных Pi F нагрузок,Eijnm = λδ ij δ nm + µδ inδ jm + µδ imδ jn-тензорклассическихмодулейтеорииупругости, µ , λ - коэффициенты Ламе, C V - неклассический модуль, Ri векторперемещений,-Vобъемтела.Вариационноеуравнение,соответствующее требованию стационарности лагранжиана [65]:δL = ∫∫∫ [ Eijrk ( Rr − E nmrl Rn ,lm / C V ) , jk + PiV ]δRi dV ++ ∫∫ [ Pi F − Eijrk n j ( Rr − E nmrl Rn ,lm / C V ) ,k ]δRi dF −(7.35.)− ∫∫ ( E rqnm Rn ,qm / C V )δ ( E rpij n p Ri , j )dF = 0Здесь n j - единичный орт нормали к поверхности F тела.

Определенияклассического U i и когезионного ui перемещений через полное перемещениеRi :VU i = Ri − Eijnm Rn , jm / CVu i = − Eijnm Rn , jm / C⇒Ri = U i − u iОператор и классические уравнения равновесия:Lij (...) = ( µ + λ )(...) ,ij + µδ ij ∆(...)LijU j + PiV = 0Оператор и уравнения равновесия когезионных взаимодействий:H ij (...) = ( µ + λ )(...) ,ij + µδ ij ∆(...) − C V δ ij (...)223H ij u j + PiV = 0Биплоская 2D-постановка для трещины нормального отрыва.По аналогии с плоской постановкой задач теории упругости, в биплоскойпостановкеотсутствуютдвекомпонентыперемещений.Приэтомединственная искомая компонента перемещений может зависеть от всехтрех, двух, или одной из координат. Биплоская 2D-постановка определяетискомую компоненту перемещений как функцию двух координат {x, y} .Трещина определена как разрез в координатной плоскости, совпадающий сположительнойчастьюосиOX.Объемныенагрузкиотсутствуют.Поверхностные нагрузки на берегах трещины отсутствуют.Обоснованиебиплоскойпостановкиврамкахклассическойтеорииупругости.Рассмотрим плоскую постановку для ортотропной среды в перемещениях.Уравнения равновесия:σ xx , x + σ xy , y = 0σ yx , x + σ yy , y = 0Здесь σ , σ = σ , σ - компоненты тензора напряжений в плоской постановкеxxxyyxyy(2D-постановке).Уравнения закона Гука:σ xx = E x Rx , xσ xy = σ yx = G ( Ry , x + Rx , y )σ = E Ryy, y yyЗдесь R , R - компоненты вектора перемещений в плоской постановке (2Dxyпостановке).

E , G, Exy- компоненты ортотропного тензора модулей дляплоской постановки, причем предположено, что коэффициентами Пуассонаможно пренебречь.Граничные условия. R x ( ± a, y ) = 0При x = ± a : σ (± a, y ) = 0yx224 Rx ( x, ± b ) = 0При y = ±b : σ ( x,±b) = σyy00 < x ≤ a:y = 0На берегах трещины при x → 0В вершине трещины при :y = 0Rx ( x,0 ± ε ) = 0limε →0σ yy ( x,0 ± ε ) = 0limε →0Rx ( x,0 ± ε ) = 0lim εx→→00R y ( x,0 ± ε ) = 0limε →0 x→0Исключим из системы уравнений равновесия напряжения. E x Rx , xx + G ( Ry , xy + Rx , yy ) = 0G ( Ry , xx + Rx , xy ) + E y Ry , yy = 0Предполагая, что модуль E → ∞ , т.е.

тело несжимаемо в направлении ортаxX i , из первого уравнения равновесия получим:Rx ,xx = 0limE →∞xС учетом того, что на всей границе области R = 0 , следует, что R ( x, y ) = 0 .xСоответственно,второеуравнениеравновесияxзаписываетсятолькоотносительно оставшейся неизвестной y − компоненты перемещений:GR y , xx + E y R y , yy = 0Это и есть биплоская (отсутствуют две компоненты перемещений) 2Dпостановка (искомая функция – функция двух переменных).Оставшиесяграничныеусловияможносформулироватьследующимобразом:При x = ± a : R (± a, y ) = 0y ,xПри y = ±b : R ( x,±b) = σ / Ey,y0y0 < x ≤ a: limRy , y ( x,0 ± ε ) = 0ε →0y = 0На берегах трещины при x → 0: limR y ( x,0 ± ε ) = 0ε →0x→0y = 0В вершине трещины при Фундаментальное решение, соответствующее классическому перемещению:∇ 2U = 0225ЗдесьU = U i Yi = U ( x , y )-искомаякомпонентавектораклассическихперемещений, Y j - орт оси OY, x = x (2µ + λ ) / µ - «растянутая» координата x ,∇ 2 (...) = ∂ 2 (...) / ∂x 2 + ∂ 2 (...) / ∂y 2- плоский оператор Лапласа в «растянутых»координатах.Фундаментальное решение, соответствующее когезионному перемещению:l E2 ∇ 2 u − u = 0Здесь u = uiYi = u ( x , y ) - искомая компонента вектора когезионныхl E = (2µ + λ ) / C V .перемещений,Фундаментальныерешенияв рамкахприкладной теории сред с сохраняющимися дислокациями, соответствующиеклассическим и когезионным перемещениям строятся в полярной системекоординат {r ,ϕ} .7.4.1.

Классическое решение для трещины.Классические перемещения:U (r , ϕ ) = 2 K I r 1 / 2 Cos (ϕ / 2) /( 2 µ + λ )(7.35)Классические напряжения:σ yy = K I r −1 / 2 Sin(ϕ / 2)(7.36)Предположим, что в некоторой точке среды одновременно: действующиенапряжения становятся равными пределу прочности или текучести σ yy = σ с , акоэффициент интенсивности напряжений становится равным вязкостиразрушения K I = K Iс . В дальнейшем будем просто говорить о критическомнапряжении σ с . Рассмотрим кривую, на которой в соответствии спостроенным решением напряжения равны критическим:r (ϕ ) = (K Iсσс) 2 Sin 2 (ϕ / 2)(7.37)Не трудно убедиться, что кривая (7.37) замкнутая.Осредняя r = r (ϕ ) по углу, можно получить характерный размер d ,226области, ограниченной траекторией равных критических напряжений (7.37):d1=2 2π2π∫01 Kr (ϕ )dϕ = ( Iс ) 22 σс(7.38)Обращая полученное соотношение, приходим к соотношению:σ с = K Iс d −1 / 2(7.39)Выдвинутая гипотеза с необходимостью приводит к следующей трактовкемеханизма разрушения среды с трещиной: перед вершиной трещины изсреды «выкрашивается» область, имеющая форму (7.37).

При этом, если онаимеетдостаточныеразмеры,чтобыеговнутренностьявлялась«представительным объемом», сценарий разрушения должен не отличатьсяот сценария разрушения среды в целом. Если же среда имеет внутреннююструктуру (например, поликристаллическую), и размер области достаточноблизок к размерам кристаллита, чтобы было возможно отождествить её скристаллитом, тогда сценарий разрушения должен существенно измениться.Обобщая, аналогичную трактовку можно дать и для мелкодисперсныхкомпозитов в целом, если под областью в этом случае пониматьединственную армирующую частицу, окруженную матрицей.Рассмотрим семейство траекторий равных напряжений, имеющих общуюточку в вершине трещины, центры тяжести которых лежат на продолжениилинии разреза, моделирующего трещину:σ yy = σ сK I r −1 / 2( ) Sin(ϕ / 2)K Ic d(7.40)Можно убедиться в том, что напряжения вне рассмотренной области меньшекритических, а внутри – больше.

Поэтому приходится закрывать глаза на то,что внутри напряжения выше критических, а в окрестности вершинытрещины они вообще не ограничены. Оправданием такой позиции можетслужить то, что в области, ограниченной траекторией равных напряжений, всоответствии с видом лагранжиана выбранной модели уже нельзя бытьуверенными в справедливости уравнений классической теории упругости, ичто решение, полученное для этой области227врамкахклассическойтеории упругости, соответствует физической реальности. Действительно, приформулировке потенциальной энергии классической теории упругости какпредельного случая (5.2.4) предполагается, что энергия, связанная сградиентами напряжений пренебрежимо мала по сравнению с энергиейсамих напряжений.

Совершенно очевидно, что внутри области, ограниченнойтраекторией равных напряжений это предположение уже не применимо. В тоже время, вне её, на некотором удалении от его контура, по этим жепричинам уравнения теории упругости следует считать справедливыми.Соответственно, среди траекторий (7.40) должна существовать такая, сd = d classic ,что если d ≥ d classic - решение в рамках классической теорииупругости соответствует экспериментальным данным. При d < d classic будутнаблюдаться неклассические эффекты (не совпадающие с решением,полученным в рамках классической теории упругости), т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации