Диссертация (786079), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Этот случай соответствует большойaM ρ M / 2 < 3 концентрации малых aD ρ D / 2 < 3 включений. Его уже не удаетсяупростить и выражения (7.4) и (7.5) соответствуют наномеханическомуописанию материала при большой концентрации малых включений.7.1.2. Задача идентификации.Рассмотрим задачу определения параметров математической модели наоснове формулы (7.5). С математической точки зрения, задача определенияпараметровтакоймодели,каксоответствиетеоретическихиэкспериментальных данных, является обратной.
Она формулируется какоптимизационнаязадача:нахождениенаборапараметровдляминимизирования значения штрафной функции. Параметры модели α могутбыть определены из требования минимума штрафной функции Ф:min a∈[0, ∞ ] Ф(α ) .Вобщемслучаенаномеханическогоописаниянаборпараметров модели α определяется величинами: aM и a D .
При этомсчитаютсяизвестнымиклассическиехарактеристикиматериалов фазкомпозитного материала lM , EM , lD , ED и число армирующих частиц N . Вчастности, для микромеханического описания не трудно показать, что наборпараметров a сводится к одному параметру x f (7.6), (7.7). Длина x f длямежфазного слоя должна быть неизвестным постоянным параметром184математической модели.Считаем, что имеется набор экспериментальных точек К с координатами(Ee)() (, f e , R e 1 , E e , f e , R e 2 ....
E e , f e , R e), гдеKl D0 = 2 R- характерный диаметрармирующей фазы. Задача нахождения параметров математической моделиможет быть сформулирована так: найти такой набор параметров αматематическоймодели,(Eэкспериментальных(E , fte)(eчтобы, f e , Re)Kрасстояние, K = 1,2...имеждутеоретическихнаборамиточек), R e 1 , E t , f e , R e 2 .... было минимальным. Расстояние между наборамиэкспериментальных и теоретических точек определяется экстремумомKфункции Ф = ∑i =11 t[Ei − Eie ]2 .
Для решения задачи идентификации (задачаKассимиляции данных) использовались экспериментальные данные из работы[43]. Графические данные из работы [43] были обработаны и представлены вчисловой форме. Параметры математической модели были определены длядвух типов композитных материалов: первый - композитный материал наоснове эпоксидной смолы с армированием стеклянной дробью: E M = 3,41GPa ,E D = 87,5GPa ; второй - композитный материал на основе ненасыщенногополиэстера с армированием стеклянной дробью: E M = 4,29GPa , E D = 87,5GPa .График экспериментальных данных для двух типов композитных материаловпредставлен рис.1 (a и b).
Для композита на основе эпоксидной смолыграфики соответствуют следующим диаметрам включений: R e = 138,50µm ,R e = 89,40 µm ,основеR e = 62,30 µm ,ненасыщенногоR e = 31,90 µm ,полиэстераR e = 28,50 µm . Для композита насмолыграфикисоответствуютследующим диаметрам включений: R e = 138,50µm , R e = 89,40µm , R e = 76,40µm ,R e = 62,30 µm ,R e = 31,90 µm ,R e = 28,50 µm . Численно был найден минимумфункции Ф с использованием метода сопряженных градиентов [44]. Для двухтипов композитных материалов были определены параметры a M и aD (принаномеханическом подходе), и x f (при микромеханическом подходе).
Были185получены следующие значения параметров модели для наномеханическогоописания: aD = 3,51× 10−2 µm −1 , aM = 1,0 × 10−3 µm −1 для композитного материала наоснове эпоксидной смолы и (7.2) aD = 2,19 × 10−1 µm −1 , aM = 2,77 × 10−3 µm −1 длякомпозитного материала на основе ненасыщенного полиэстера. Также длямикромеханического описания были найдены точные значения параметра x f :x f = 27,63µm для композитного материала на основе эпоксидной смолы иx f = 37.06 µmдля композитного материала на основе ненасыщенногополиэстера. Определив значения параметров модели для двух типовкомпозитного материала, можно получить теоретические зависимости длямодулей упругости.
Теоретические значения эффективных модулей Юнгакомпозитов как функции объемных долей включений для разных значенийдиаметров включений построены на рис.2 и 3. Линии, соответствующиеточному наномеханическому описанию отображены штриховыми. Длясравнения на рис. 2микромеханическоеи 3 приведеныописание(сплошныезависимости, отображающиелинии).Этизависимостисправедливы только для малых значений объемных долей включений.
Вдополнение, на рис. 2 и 3 приведены экспериментальные данные,отмеченные звездочками.Рассмотрение результатовВ соответствие с полученными результатами, представленными на рис. 2 и 3,можно сделать следующие выводы. Теоретические результаты, полученные врамках общей модели и вычисленные по формулам (7.5) и (7.6) схожи сэкспериментальными данными на всем рассмотренном промежутке значенийобъемных долей и размеров включений. Это утверждение справедливо дляобоих типов рассмотренных композитных материалов.
В частном случаеобщей модели микромеханическое описание можно получить, пользуясьзависимостями (7.6) и (7.7). Полученная в этом случае зависимость даетточные результаты для малых значений объемных долей включений.Зависимости (7.4) и (7.5) получены на основе точного аналитического186решения в рамках приближенной модели «простейшей» теории когезионныхвзаимодействий.Рис.1. Экспериментальные данные.
Модуль Юнга (ГПа) как функцияобъемной доли включений f: (a) эпоксидная смола (2. R e = 138,50µm ;2. R e = 89,40µm ; 3. R e = 62,30µm ; 4. R e = 31,90µm ; 5. R e = 28,50µm .); (b)ненасыщенный полиэстер (2. R e = 138,50µm ; 2. R e = 89,40µm ; 3. R e = 76,40µm ;4.
R e = 62,30µm ; 5. R e = 31,90µm ; 6. R e = 28,50µm .)Рис.2. Модуль Юнга (ГПа) эпоксидной смолы армированной частицамистекла как функция объемной доли f.187Рис.3. Модуль Юнга (ГПа) ненасыщенного полиэстера армированнойчастицами стекла как функция объемной доли f.Преимущество такого простого решения в том, что оно представлено ваналитическом виде и допускает дальнейший параметрический анализ.Очевидно, что такой подход дает возможность сделать не точную, априблизительную оценку эффективных характеристик в рамках точнойтрехмерной модели. Тем не менее, из графиков на рис.
2 и 3 видно, что этаоценка достаточно точна. С одной стороны зависимости (7.4) и (7.5)получены в рамках биплоской 1D-постановки, но с другой стороны онипредставляют аналитическое решение и, следовательно, эти зависимостиверны на всем промежутке значений объемных долей включений. Учитываяполученныерезультаты,следуетотметить,чторешениезадачиидентификации позволяет получить значения параметров модели a M и aD .Установлено, что a M < a D для обоих типов связующих. Учитывая, чтопараметры a M −1 и aD −1 имеют размерность длины и определяют характерныедлины когезионных взаимодействий в матрице и включении, можно увидеть,что полученные значения этих параметров согласовываются с физическим188смыслом межфазного слоя.
Межфазный слой возникает в каждой фазе награнице контакта, причем глубина межфазного слоя в матрице (фазе сменьшей жесткостью) больше, по сравнению с глубиной межфазного слоявключения (фазе с большей жесткостью).7.1.3. Математическое обоснование гипотез осреднения.Рассмотримкачественныесвойстванеклассическоймоделимелкодисперсных композитов (7.4).
Для малого количества достаточнобольших включений задача определения эффективных параметров композитарешена в работах [45], [46]. Однако, чтобы учесть как конечную величинуконцентрации, так и масштабные эффекты, приходится пользоваться однимиз полуэмпирических методов, разработанных для этой цели [47-50].Публикации, посвященные изучению эффективных характеристиккомпозитов,можноусловноразделитьначетырегруппы:методэффективных включений, метод эффективной матрицы, метод эффективногоконтинуума и метод третьей фазы. Каждый из этих методов строится насоответствующей гипотезе.
Продемонстрируем, что представленная в этойработе модель мелкодисперсного композита включает в себя все эти методыосреднения в качестве строгих следствий.Рассмотрим классическое выражение эффективного модуля E0 длядвухфазного композита, представленное формулой осреднения по Рейссу.(lM + lD ) lMl= M + DDE0EEКак не трудно убедиться, это классическое выражение определяетэффективныймодулькомпозитакакфункциютрехпараметровE0 = E0 ( E M , E D , f ) , где f = lD /(lM + lD ) = ρ D /( ρ M + ρ D ) - относительная объемнаядоля включений. При этом классическая формула осреднения по Рейссу недаетзависимостиэффективного модуля от размера армирующих189частиц, т.е. исключает возможность описания масштабных эффектов, что несоответствует экспериментальным данным.
Именно это обстоятельствотолкало исследователей на неклассические модификации этого соотношенияс помощью соответствующих гипотез для объяснения результатов такихэкспериментов. Алгоритм модификации в первых трех методах заключаетсяв том, что один из трех параметров в формуле Рейсса заменялся насоответствующий эффективный.7.1.3.1. Математическое обоснование гипотезы эффективноговключения.Формулировка гипотезы эффективного включения: «В мелкодисперсномкомпозите включение меняет свои механические свойства, и вместо E Dимеет модуль E*D ».В соответствии с этой гипотезой, эффективный модуль композитаможет быть определен по формуле:(lM + lD ) lMl= M + DDE0EE*(7.8)Естественно, что это соотношение противоречит решению классическойтеории упругости – формуле Рейсса, и является эмпирической формулой.
Вто же время неклассическое решение «простейшей» теории когезионныхвзаимодействий (7.4) может быть представлено в форме (7.8) точно.Эффективный модуль включенийE*Dв соответствии с (7.4) можноопределить по формуле:11 11 2x f= D − M − D DE*EE ρDEОтсюда видно, что в отсутствие когезионных взаимодействий x f → 0 , имеетместо классический предел – формула Рейсса. При наличии когезионныхвзаимодействий x f ≠ 0 имеет место масштабный190эффектусилениякомпозита.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
