Диссертация (786079), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Они могут быть представлены ввиде распадающейся системы относительно потенциальной и вихревойсоставляющих псевдовектора спинов:ωk2,k − h12 ∆ωk2,k = 0 122222 222 222 2 χ Ri , j Эijk − 2 χ (ωk − h1 ωq ,qk ) + 2 χ h2 ∆(ωk − h1 ωq ,qk ) = 0(5.5.6)Введем потенциал перемещений таким образом, чтобы тождественноудовлетворялась система уравнений равновесия моментов относительновихревой части псевдовектора спинов:(ωk2 − h12ωq2, qk ) = ( χ 12 / χ 22 )ψ i , j Эijk(5.5.7)Ri = ψ i − h22 ∆ψ iУравнение равновесия сил относительно введенного потенциала ψ iприобретет вид:( µ 11 + χ 11 − χ 12 χ 12 / χ 22 )(∆ψ i − ψ j ,ij ) − ( µ 11 + χ 11 )h22 ∆(∆ψ i − ψ j ,ij ) ++ (2 µ 11 + λ11 )ψ j ,ij − (2 µ 11 + λ11 )h22 ∆ψ j ,ij + PiV = 0(5.5.8)Приведем эту связанную систему уравнений относительно компонентвекторного потенциала ψ i к распадающейся системе, вводя вспомогательныйпотенциал ϕi :ψ i = (∆ϕi − ϕ j ,ij ) − h22 ∆(∆ϕi − ϕ j ,ij ) +G( µ 11 + χ 11 ) 2ϕ j ,ij −h2 ∆ϕ j ,ijEE(5.5.9)Здесь введены обозначения:G = ( µ 11 + χ 11 − χ 12 χ 12 / χ 22 )(5.5.10)E = (2 µ 11 + λ11 )В соответствии с этим определением, уравнения равновесия сил приобретаютвид:G∆∆ϕi − ( µ 11 + χ 11 + G )h22 ∆∆∆ϕi + ( µ 11 + χ 11 )h22 h22 ∆∆∆∆ϕi + PiV = 0(5.5.11)Представим оператор уравнения равновесия как произведение операторов:146G∆∆[(...) − h22 ∆(...)][(...) −( µ 11 + χ 11 ) 2h2 ∆(...)]ϕi + PiV = 0G(5.5.12)Решение ϕ i уравнений равновесия (5.5.12) можно представить в видеразложения по фундаментальным решениям:ϕi = ϕi0 + ϕi1 + ϕi2 + ϕiVЗдесь ϕ iV(5.5.13)- частное решение неоднородного уравнения, а ϕ i0 , ϕ i1 , ϕ i2 -фундаментальныерешения,являющиесясобственнымифункциямиоператоров-сомножителей общего оператора равновесия:∆∆ϕ i0 = 0 121ϕ i − h2 ∆ϕ i = 01111ϕ i2 − ( µ + χ ) h22 ∆ϕ i2 = 0G( µ 11 + χ 11 ) 2G∆∆[(...) − h22 ∆(...)][(...) −h2 ∆(...)]ϕ iV + PiV = 0G(5.5.14)Возвращаясь к исходному потенциалу ψ i , представим его в видеаналогичного разложения:ψ i = ψ i0 + ψ i1 + ψ i2 + ψ iV(5.5.15)Здесь: 0( µ 11 + χ 11 ) 2 0G 000200()()ψϕϕϕϕϕ=∆−−∆∆−+−hh2 ∆ϕ j , ji2ij , jiij , jij , ji iEE( µ 11 + χ 11 − G ) 1 1ψϕ j , ji=− iE1111ψ 2 = ( µ + χ − G ) (∆ϕ 2 − ϕ 2 )ij , ji i( µ 11 + χ 11 )1111ψ V = (∆ϕ V − ϕ V ) − h 2 ∆(∆ϕ V − ϕ V ) + G ϕ V − ( µ + χ ) h 2 ∆ϕ Vij , jiij , jij , jij , ji22 iEE(5.5.16)Соотношения (5.5.16) получены с учетом (5.5.14) и (5.5.9).

С их помощьюлегко установить, что ψ i1 является потенциальным полем, а ψ i2 - вихревым.Полученные свойства фундаментальных решений позволяют определить исвойства основных кинематических переменных.147ω k2 == h12ω q2,qk + ( χ 12 / 2 χ 22 )ψ i , j Эijk == h12ω q2,qk + ( χ 12 / 2 χ 22 )[ψ i0, j + ψ i2, j + ψ iV, j ]ЭijkRi == ψ i − h22 ∆ψ i == [ψ i0 + ψ i2 + ψ iV ] − h22 ∆[ψ i0 + ψ i2 + ψ iV ]Обратим внимание на то, что фундаментальное решение ψ i1 не входит ввыражение для псевдовектора спинов ωk2 в силу своей потенциальности, а ввыражение для перемещений – в силу того, что оператор перемещений[(...) − h22 ∆(...)] совпадает с оператором уничтожения ψ i1 .

В результате, можнозаписать перемещения в виде разложения:Ri = Ri0 + Ri2 + RiV(5.5.17)Здесь:∆∆Ri0 = 0 2 ( µ 11 + χ 11 ) 2 2h2 ∆Ri = 0 Ri −GАналогично записывается псевдовектор спинов:ωk2 = Ω 0k + Ω1k + Ω 2k + ΩVk(5.5.18)Здесь:Ω 0k 1Ω k 2Ω k VΩ k= ( χ 12 / 2 χ 22 )ψ i0, j Эijk= h12ω q2,qk(5.5.19)= ( χ 12 / 2 χ 22 )ψ i2, j Эijk= ( χ 12 / 2 χ 22 )ψ iV, j ЭijkФундаментальныерешенияΩ 0k , Ω1k , Ω 2kудовлетворяютсоответственноуравнениям:∆∆Ω0k = 0 121Ω k − h1 ∆Ω k = 01111Ω 2k − ( µ + χ ) h22 ∆Ω 2k = 0GФундаментальные решения Ri0 и Ω 0k(5.5.20)выражаются через бигармонический148потенциал ψ i0 .

Условно их можно назвать классическим решением, так какклассическая теория упругости приводит к бигармоничности вектораперемещений. Векторное поле Ri0 имеет и вихревую, и потенциальнуюсоставляющие.Фундаментальное решение Ω1k является потенциальным, выражается черезгельмгольцевпотенциал,которыйопределяетсяхарактернойдлинойкогезионных взаимодействий h12 . Любопытно отметить, что, не смотря надостаточно большое внимание исследователей к теории сред Коссера, влитературеотсутствуютпубликации,посвященныеанализуэтогокинематического состояния.

Обычно, псевдовектор спинов постулируетсявихревым, из чего следует, что полагается h12 = 0 .ФундаментальныерешенияRi2ивыражаютсяΩ 2kчерезвихревойгельмгольцев потенциал ψ i2 . Он определяется второй характерной длинойкогезионных взаимодействийи так же является неклассическим.h22Векторное поле Ri2 имеет только вихревую составляющую.Таким образом, установлено, что в теории сред Коссера существуют два типакогезионных взаимодействий с характерными длинами h1 и h2 .Первый тип когезионных взаимодействий традиционно может бытьпредставлен в виде дополнительной составляющей вектора перемещений когезионных перемещений ui = − Ri2 , которая является когезионной поправкойк классическому полю перемещений U i = Ri0 .Второй тип когезионных взаимодействий ( Ω1k ) не вписывается в рамкитрадиционной интерпретации когезионного поля в виде когезионнойпоправки в поле перемещений, так как является фундаментальнымрешением,входящимввыражениедругойосновнойнезависимойкинематической переменной, нежели перемещения – в псевдовектор спинов.Сформулированысвязи(5.5.3)междухарактерными длинами когезионных«моментными»модулямивзаимодействий h1 и h2 .149и5.5.Теория пористых сред (теория θ − дислокаций).В данном разделе будет исследован частный случай уточненной теории средМиндлина (4.39), когда из трех типов полей дислокаций в среде доминируютθ − дислокации.

В этом случае тензор свободной дисторсии являетсяшаровым:Dij2 = θ 2δ ij / 3(5.6.1)Лагранжиан уточненной теории Миндлина для пористых сред:1111222[CijmnRm ,n Ri , j + 2(Cijmnδ mn / 3)θ 2 Ri , j + (Cijmnδ mnδ ij / 9)θ 2θ 2 +∫∫∫222+ (Cijkmnlδ mnδ ij / 9)θ ,2l θ ,2k ]dVL = A−(5.6.2)Тензор Миндлина:22=Cijkmnl= c122 (δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk + δ ijδ lmδ nk + δ mnδ kiδ jl ) ++ c222 (δ ik δ jmδ nl + δ mlδ niδ jk + δ ilδ jmδ nk + δ mkδ niδ jl ) ++ c322 (δ ik δ jnδ ml + δ ilδ jnδ mk ) ++ c422 (δ imδ jk δ nl + δ imδ jlδ nk ) ++ (c522δ ijδ mn + c622δ imδ jn + c722δ inδ mj )δ klТензоры четвертого ранга:pqCijmn= λ pqδ ijδ mn + ( µ pq + χ pq )δ imδ jn + ( µ pq − χ pq )δ inδ jmСвертки тензоров модулей, входящие в формулировку лагранжиана (5.6.2):12δ mn / 3 = (2µ 12 / 3 + λ12 )δ ij = K 12δ ijC ijmn22δ mnδ ij / 9 = (2µ 22 / 3 + λ22 ) = K 22C ijmn22δ mnδ ij / 9 = (12c122 + 4c 222 + 2c322 + 2c 422 + 9c522 + 3c622 + 3c722 )δ kl / 9C ijkmnlВыразим линейную комбинацию модулей тензора Миндлина через параметрh3 , который, как будет показано ниже, связан с характерной длинойкогезионных взаимодействий, свойственных пористой среде.(12c122 + 4c 222 + 2c322 + 2c 422 + 9c522 + 3c622 + 3c722 ) = K 22 h32Вариационное уравнение модели Миндлина для пористых сред:150(5.6.3)δL =11Rm ,nj + K 12δ ijθ ,2j + PiV )δRi + (− K 12δ ij Ri , j − K 22θ 2 + K 22 h32θ ,2kk )δθ 2 }dV + (5.6.4)= ∫∫∫ {(Cijmn11Rm ,n + K 12δ ijθ 2 )n j ]δRi − K 22 h32θ ,2k nk δθ 2 }dF = 0+ ∫∫ {[ Pi F − (CijmnУравнения равновесия:( µ 11 + χ 11 )(∆Ri − Rk ,ki ) + (2 µ 11 + λ11 ) Rk ,ki + K 12θ ,2i + PiV = 0 1222 222 22 K Rk ,k + K θ − K h3 ∆θ = 0(5.6.5)Систему уравнений равновесия можно свести к алгебраическому уравнениюотносительно пористости и уравнениям равновесия сил, записанных вперемещениях: 21(2 µ 11 + λ11 ) 2=−h3 ∆Rk ,k − ( K 12 / K 22 ) Rk ,k − 12 h32 PiV,iθ12KK( µ 11 + χ 11 )(∆Ri − Rk ,ki ) + (2 µ 11 + λ11 − K 12 K 12 / K 22 ) Rk ,ki −− (2 µ 11 + λ11 )h32 ∆Rk ,ki + ( PiV − h32 PkV,ki ) = 0(5.6.6)Представим оператор равновесия в виде произведения операторов.

Для этоговведем вектор-потенциал перемещений ψ i в виде:Ri = (∆ψ i − ψ r ,ri ) +( µ 11 + χ 11 )ψ r ,ri(2 µ 11 + λ11 − K 12 K 12 / K 22 )Уравнения равновесия относительно вектор-потенциала ψ i приобретут вид:( µ 11 + χ 11 )∆∆[(...)δ ri −Здесь(4 µ 11 / 3 + K 11 ) 2h3 (...) ,ri ]ψ r + ( PiV − h32 PkV,ki ) = 011(4µ / 3 + K )K = K 11 − K 12 K 12 / K 22-поврежденный(5.6.7)θ − дислокациямимодульобъемного сжатия.Решение этих уравнений можно представить в виде разложения пофундаментальным решениям:ψ i = ψ i0 + ψ i1 + ψ iVЗдесьψ iV-(5.6.8)частноерешениенеоднороднойфундаментальные решения:151системы,аψ i0 ,ψ i1-∆∆ψ 0 = 0i 1 (4 µ 11 / 3 + K 11 ) 2 1h3 ψ i ,ir = 0ψ r −11(4µ/3+K)(4 µ 11 / 3 + K 11 ) 2h3 (...) ,ri ]ψ iV + ( PiV − h32 PkV,ki ) = 0( µ 11 + χ 11 )∆∆[(...)δ ri −11(4µ / 3 + K )(5.6.9)Отсюда видно, что ψ i0 - определяет классическое решение, а ψ i1 когезионнуюпоправку,обусловленнуюпористостью.Такжеследуетотметить, что решение ψ i1 является потенциальным векторным полем и имеетсвою специфическую характерную длину когезионных взаимодействий,связанную с h3 .Соответственно, основные кинематические переменные также выражаютсячерез полученные фундаментальные решения.Решение для вектора перемещений имеет вид:Ri = Ri0 + Ri1 + RiV 0( µ 11 + χ 11 ) 000+−=∆()Rψ r ,riψψir , ri i(4 µ 11 / 3 + K )( µ 11 + χ 11 )R1 =ψ1 i (4 µ 11 / 3 + K 11 )h32 i(5.6.10)Решение для пористости имеет вид:θ 2 = (θ 2 ) 0 + (θ 2 )1 + (θ 2 )V 2 0( µ 11 + χ 11 ) K 12∆ψ r0,r(θ ) = −1122(4µ / 3 + K ) K 2 1( µ 11 + χ 11 ) 1ψ k ,k(θ ) = −K 12 h32K 12 V(2 µ 11 + λ11 ) 2 V1(θ 2 )V = −∆−hRRk ,k − 12 h32 PiV,ik ,k31222KKK(5.6.11)Таким образом, получено общее решение теории пористых сред в видеобобщенного решения Папковича-Нейбера (5.6.10) и (5.6.11).

Дана трактовкаеще одной линейной комбинации моментных модулей (5.6.3), как параметра,отражающегохарактернуюдляпористыхвзаимодействия.152среддлинукогезионного5.6.Теория сред с γ − дислокациями.Для сред с γ − дислокациями тензор свободной дисторсии имеет вид:Dij2 = γ ij2 γ kk2 = 0 γ ij2 = γ 2ji(5.7.1)Лагранжиан теории сред с полем γ − дислокаций получается как частныйслучай из лагранжиана уточненной теории Миндлина:L = A−1111222222222[(CijmnRm,n Ri , j + 2CijmnRi , j + Cijmnγ mnγ mnγ ij2 + Cijkmnlγ mn,l γ ij , k ]dV2 ∫∫∫(5.7.2)Тензор Миндлина:22=Cijkmnl= c122 (δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk + δ ijδ lmδ nk + δ mnδ kiδ jl ) ++ c222 (δ ik δ jmδ nl + δ mlδ niδ jk + δ ilδ jmδ nk + δ mkδ niδ jl ) ++ c322 (δ ik δ jnδ ml + δ ilδ jnδ mk ) ++ c422 (δ imδ jk δ nl + δ imδ jlδ nk ) ++ (c522δ ijδ mn + c622δ imδ jn + c722δ inδ mj )δ klТензоры четвертого ранга:pqCijmn= λ pqδ ijδ mn + ( µ pq + χ pq )δ imδ jn + ( µ pq − χ pq )δ inδ jmС учетом свойств девиатора свободной дисторсии (5.7.1) и свойств тензоровмодулей, потенциальная энергия в (5.7.2) приобретает вид:111Rm ,n Ri , j + 4 µ 12 Ri , j γ ij2 + 2 µ 22γ ij2γ ij2 +[(Cijmn∫∫∫222+ (2c2 + c322 + c422 )(γ in2 ,n γ im2 ,m + γ im2 ,n γ in2 ,m ) + (c622 + c722 )γ ij2,k γ ij2,k ]dVL = A−Введем обозначения:(2c222 + c322 + c422 ) = 2µ 22 h42(5.7.3)(c622 + c722 ) = 2µ 22 h52Вариационное уравнение модели Миндлина для сред с γ − дислокациями:15311δL = ∫∫∫ {(CijmnRm ,nj + 2 µ 12γ ij2, j + PiV )δRi ++ [−2 µ 12 ( Ri , j / 2 + R j ,i / 2 − Rk ,k δ ij / 3) − 2 µ 22γ ij2 + 2 µ 22 h52 ∆γ ij2 +22+ 4 µ 22 h42 (γ in2 , jn / 2 + γ 2jn ,in / 2 − γ mn, mnδ ij / 3)]δγ ij }dV −(5.7.4)− ∫∫ {2 µ 22 [h42 (γ in2 ,nδ jk / 2 + γ 2jn ,nδ ik / 2 − γ kn2 ,nδ ij / 3) ++ h42 (γ ik2 , j / 2 + γ 2jk ,i / 2 − γ rk2 ,rδ ij / 3) + h52γ ij2,k ]nkδγ ij2 +11Rm ,n + 2 µ 12γ ij2 )n j ]δRi }dF = 0+ [ Pi F − (CijmnУравнения равновесия сил:( µ 11 + χ 11 )(∆Ri − R j ,ij ) + (2 µ 11 + λ11 ) R j ,ij + 2 µ 12γ ij2, j + PiV = 0(5.7.5)Уравнения равновесия моментов:h52 ∆γ ij2 − γ ij2 +2+ 2h42 (γ in2 , jn / 2 + γ 2jn ,in / 2 − γ mn, mnδ ij / 3) =(5.7.6)= ( µ 12 / µ 22 )( Ri , j / 2 + R j ,i / 2 − Rk ,k δ ij / 3)Уравнения равновесия моментов могут быть тождественно удовлетвореныблагодаря введению вектор-потенциала ψ i :γ ij2 = ( µ 12 / µ 22 )(ψ i , j / 2 + ψ j ,i / 2 −ψ k ,k δ ij / 3)2222 Ri = (h4 + h5 )(∆ψ i −ψ j ,ij ) + (4h4 / 3 + h5 )ψ j ,ij −ψ i(5.7.7)Уравнения равновесия сил, записанные относительно вектор-потенциалаприобретают вид:( µ + χ 11 )[ H12 ∆(...) - (...)](∆ψ i −ψ j ,ij ) + (4 µ / 3 + K 11 )[ H 22 ∆(...) - (...)]ψ k ,ki + PiV = 0 (5.7.8)Здесь µ = µ 11 − µ 12 µ 12 / µ 22 - поврежденный γ − дислокациями модуль сдвига, аK 11 = 2µ 11 / 3 + λ11- неповрежденный γ − дислокациями модуль объемногосжатия (супермодуль),( µ 11 + χ 11 ) 2H =(h4 + h52 )11(µ + χ )21(5.7.9)(4µ 11 / 3 + K 11 )H =(4h42 / 3 + h52 )11(4µ / 3 + K )22Как будет доказано в дальнейшем, эти параметры имеют физический смыслквадратов характерных длин когезионных взаимодействий в теории сред сполями сохраняющихся γ − дислокаций.Приведемсистемууравнений равновесия154сил(5.7.8)краспадающейся системе, вводя вспомогательный векторный потенциал ϕi :( µ + χ 11 )ψ i = [ H ∆(...) − (...)](∆ϕi − ϕ k ,ki ) +[ H12 ∆(...) − (...)]ϕ k ,ki11(4µ / 3 + K )22(5.7.10)Относительно введенного вспомогательного вектор-потенциала ϕi системаразрешающих уравнений приводится к векторному уравнению, а скалярныйоператор равновесия может быть представлен в виде произведенияоператоров:( µ + χ 11 )∆∆[(...) − H 12 ∆(...)][(...) − H 22 ∆(...)]ϕ i + PiV = 0(5.7.11)Общее решение тогда можно представить в виде разложения:ϕ i = ϕ i0 + ϕ i1 + ϕ i2 + ϕ iV(5.7.12)Здесь ϕ iV - частное решение неоднородного уравнения (5.7.11), а ϕ i0 ,ϕ i1 ,ϕ i2фундаментальные решения, удовлетворяющие следующим однороднымуравнениям:∆∆ϕ i0 = 0 121ϕ i − H 1 ∆ϕ i = 0 222ϕ i − H 2 ∆ϕ i = 0(5.7.13)( µ + χ 11 )∆∆[(...) − H 12 ∆(...)][(...) − H 22 ∆(...)]ϕ iV + PiV = 0Аналогичным образом можно представить и решение относительноисходного потенциала ψ i (5.7.9):ψi == [ H ∆ (...) − (...)](∆ϕ − ϕ22+0i0k , ki( µ + χ 11 ))+[ H 12 ∆ (...) − (...)]ϕ k0,ki +11(4µ / 3 + K )( µ + χ 11 ) H 22( 2 − 1)(∆ϕ i1 − ϕ k1 ,ki ) +11(4µ / 3 + K ) H 1(5.7.14)H2+ ( 12 − 1)ϕ k2,ki +H2+ [ H 22 ∆ (...) − (...)](∆ϕ iV − ϕ kV,ki ) +( µ + χ 11 )[ H 12 ∆(...) − (...)]ϕ kV,ki =11(4µ / 3 + K )= ψ i0 + ψ i1 + ψ i2 + ψ iVИз(5.7.14)следует,бигармоническимчтовекторнымфундаментальноеполем155ирешениесоответствуетψ i0являетсяклассическомурешению, содержащему как потенциальную, так и вихревую составляющие.Фундаментальное решение ψ i1 является вихревым векторным полем, афундаментальное решение ψ i2 - потенциальным.

Характеристики

Список файлов диссертации