Диссертация (786079), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Поэтому тензор C 11pkqlωω ≠ 0 (4.5.1.2)содержит только два существенных модуля. Предположим, что имеет место11, какгипотеза парности касательных напряжений χ 11 = 0 . Тензор модулей Cijmnвыснено выше, содержит только два модуля. Тогда гипотезы (4.5.2.1), сучетом сделанных выше оговорок, приводят модель (4.5.1.1) к модели средАэро-Кувшинского:1 1111ωω 1L = A − [CijmnRi , j Rm ,n + Cijmnωi , jωm1 ,n ]dV =21 1111ωω= A − [Cijmn(− R p ,qj Э pqi / 2)(− Ra ,bn Эabm / 2)]dVRi , j Rm ,n + Cijmn2(4.5.2.2)Характерной особенностью модели сред Аэро-Кувшинского является то, чтопотенциальная энергия, связанная с градиентом стесненной дисторсии,может быть представлена в виде, содержащим исключительно компоненты115градиента антисимметричной части тензора стесненной дисторсии – тензорастесненных поворотов или псевдовектора стесненных поворотов.4.5.3.

Модель сред Джеремилло.Рассмотрим противоположный по отношению к модели сред АэроКувшинского случай. Пусть в модели (4.5.1.1) тензор модулей шестого рангатаков, что модули при слагаемых потенциальной энергии, содержащихградиенты поворотов (компонентов антисимметричной части тензорастесненной дисторсии) равны нулю:θω11ωγωωC 11= 0 Cijkql= 0 C 11pklpkql = 0(4.5.3.1)Так же, как и для модели сред Аэро-Кувшинского, примем гипотезу парностикасательных напряжений χ 11 = 0 , что приведет к тому, что тензор модулей11Cijmnсодержит только два модуля. Тогда гипотезы (4.5.3.1), с учетомсделанной выше оговорки, приводят модель (4.5.1.1) к модели средДжеремилло:L = A−12 11γθ 1 1 1 11θθ 1 11111γγ1γ ij1 ,k γ mn[CijmnRi , j Rm ,n + CijkmnlCkmnl γ mn ,lθ ,k + Ckl θ ,kθ ,l ]dV =,l +∫∫∫23911111= A − ∫∫∫ [Cijmn( Ri , jk + R j ,ik )( Rm ,nl + Rn ,ml ) / 4]dVRi , j Rm ,n + Cijkmnl2(4.5.3.2)Характерной особенностью модели сред Джеремилло является то, чтопотенциальная энергия, связанная с градиентом стесненной дисторсии,может быть представлена в виде, содержащим исключительно компонентыградиента симметричной части тензора стесненной дисторсии – тензорастесненной деформации.1164.5.4.

«Простейшая» модель когезионных взаимодействий.Пусть в модели (4.5.1.1) тензор модулей шестого ранга таков, что:11Cijkmnl= C 11pkij C 11plmn / C(4.5.4.1)Так же, как и для моделей сред Аэро-Кувшинского и Джеремилло, примемгипотезу парности касательных напряжений χ 11 = 0 . Тогда гипотеза (4.5.4.1),с учетом гипотезы парности, приводит модель (4.5.1.1) к «простейшей»модели когезионных взаимодействий [35]:L = A−11111Ri , j Rm ,n + (C 11[Cijmnpkij Ri , jk )(C plmn Rm ,nl ) / C ]dV∫∫∫2(4.5.4.2)Характерной особенностью сформулированной модели является то, что онасохраняет все основные черты модели идеальной среды Тупина, моделейсредАэро-КувшинскогоиДжеремилло,но,приэтом,требуетэкспериментального определения всего одного нового, «неклассического»модуля C .Основной характерной чертой всех рассмотренных в этом разделе моделей,является то, что искомое поле перемещений можно представить в видесуммы «классических» и когезионных перемещений.

Соответственно,краевые задачи всех этих моделей можно представить в виде контактнойзадачи двух сред («классической» и «когезионной»), вложенных друг в другаи контактирующих по общей поверхности, ограничивающей тело.4.6.Модели сред с адгезионными свойствами поверхностей.В этом разделе будут сформулированы модели сред с адгезионнымисвойствами поверхностей. В отличие от ситуации с градиентными моделямимеханики сред, где имеется достаточно большой спектр общепризнанныхмоделей, в механике сред с адгезионными свойствами поверхностей несуществуетниоднойобщепризнанной117модели.Изопубликованных моделей имеется только три [36,37], [28,39,40], [24,27,38].Поэтому при формулировке адгезионных моделей приходится опираться нааналогии с общепризнанными градиентными моделями.4.6.1.

Модель «антисимметрично градиентной» адгезии.Рассмотрим подпространство моделей в (4.1.24), в котором тензоры модулейобладают следующими свойствами:1bCijkmnl 22Cijkmnl1b Aijkmnl 22 Aijkmnl=0BL= CipmqЭ jkp Эnlq=0*= AipmqЭ jkp Эnlqa1 Aijmnl=0 a2a Aijmnl = Aijmq Эnlqaa2Aijmq= AijmnlЭnlq / 2 == [( A2a 2 − A3a 2 )ni nq Э jmn nn + (G5a 2 − G6a 2 )n j nq Эimn nn + (−G8a 2 + G9a 2 )nm nq Эijn nn +*+ G10a 2δ *jm Эiqn nn + G11a 2δ *ji Эmqn nn + G12a 2δ miЭ jqn nn ++ G13a 2 n j nm Эiqn nn + G14a 2 ni nm Э jqn nn + G15a 2 ni n j Эmqn nn ] / 2*22Aipmq= AijkmnlЭ jkp Эnlq / 4 =***= [− A2322δ ip* δ mq+ ( A2122 + A2222 + A2322 )δ im* δ pq− A2122δ iq* δ pm+*+ [−2 A222 − 2 A422 + A522 + A622 + 2 A822 − 2 A922 + A1022 + A1122 ]δ im* n p nq + A2422δ pqni nm +(4.6.1.1)**+ ( A1322 − A1422 )(δ pmni nq + δ iq* n p nm ) + ( A1522 − A1722 )(δ mqni n p + δ ip* nm nq ) ++ 2( A1922 − A2022 )ni n p nm nq ] / 4Лагранжиан такой модели приобретает вид:L = A−1abbBL+ CijmnΞ ij Ξ mn ]dV −[CijmnDija Dmn∫∫∫21*abba− ∫∫ [ Aijmn+ 2 AijmnΞ ij Ξ mn ]dFDija DmnDija Ξ mn + Aijmn2(4.6.1.2)Модель (4.6.1.2) характерна тем, что градиентные части плотностейпотенциальных энергий могут быть представлены в виде квадратичных формот тензора Ξ ij плотности дислокаций Де Вита.

Остальные кривизны второгосорта не входят в выражения плотностей. Эта модель может рассматриватьсякак«адгезионное»обобщение «простейшей»118моделисредссохраняющимися дислокациями, рассмотренной в разделе 3.4.3. С другойстороны: так как тензор Де Вита является антисимметричной частью тензоракривизн второго сорта (по последним двум индексам), можно провестианалогиюмеждуэтоймодельюимодельюАэро-Кувшинского,рассмотренной в разделе 3.5.2, градиентная часть которой являетсяквадратичной формой антисимметричной части тензора кривизн первогосорта (правда, по первым двум индексам).

Пользуясь этой аналогией,естественно сформулировать и адгезионный аналог модели Джеремилло,рассмотренной в разделе 3.5.3.4.6.2. Модель «симметрично градиентной» адгезии.Для того чтобы получить из (4.1.24) адгезионный аналог моделиДжеремилло, следует выделить из тензоров модулей пятого и шестого рангасимметричные части по индексам, сворачиваемым с последними двумяиндексами кривизн второго сорта. Модель «симметрично градиентной»адгезии будет являться подпространством моделей в (4.1.24), в которомтензоры модулей обладают следующими свойствами:1bCijkmnl JCijkmnr1b Aijkmnl J Aijkmnr=022222222)/4= (Cijkmnr+ Cikjmnr+ Cijkmrn+ Cikjmrn=022222222= ( Aijkmnr+ Aikjmnr+ Aijkmrn+ Aikjmrn)/4a1Gijmnl=0 aJa2a2Gijmnr = (Gijmnr + Cijmrn ) / 2(4.6.2.1)Лагранжиан такой модели приобретает вид:L = A−122abbJDija Dmn+ Cijkmnr+ Dmrn[Cijmn( Dijk2 + Dikj2 )( Dmnr)]dV −∫∫∫212222abbaJJ− ∫∫ [ AijmnDija Dmn+ 2GijmnrDija ( Dmnr+ Dmrn) + Aijkmnr( Dijk2 + Dikj2 )( Dmnr+ Dmrn)]dF2(4.6.2.2)Как и предполагалось, эта модель характерна тем, что градиентные частиплотностей потенциальных энергий могут быть представлены в видеквадратичных форм от части тензора кривизн второго сорта, симметричной119по последним двум индексам.

Остальные кривизны второго сорта не входят ввыражения плотностей.4.6.3. Модель упрощенной «градиентной» адгезии.В соответствии со второй формой определения вектора Бюргерса, можноопределеть соответствующую 2D-плотность вектора Бюргерса ρi = Ξ ij n j .Тогда модель (4.6.1.2) можно упростить, делая дальнейшие предположенияотносительно структуры тензоров адгезионных модулей:* Aijmn= AimBL n j nn aa Aijmq = Aijm nq* AimBL = Aijmnn j nn⇒  aa Aijm = Aijmq nqAimBL = {[ −2 A222 − 2 A422 + A522 + A622 + 2 A822 − 2 A922 + A1022 + A1122 ]δ im* ++ 2( A1922 − A2022 )ni nm } / 4(4.6.3.1)a= [(G2a 2 − G3a 2 )ni Э jmn nn + (G5a 2 − G6a 2 )n j Эimn nn + (−G8a 2 + G9a 2 )nm Эijn nn ] / 2AijmВ результате, лагранжиан модели принимает вид, при котором вповерхностную плотность потенциальной энергии кривизны войдут толькочерез 2D-плотность вектора Бюргерса:L = A−1abbBL+ CijmnΞ ij Ξ mn ]dV −Dija Dmn[Cijmn∫∫∫2(4.6.3.2)1abba− ∫∫ [ Aijmn+ 2 AijmDija DmnDija ρ m + AijBL ρi ρ j ]dF2aЧастный случай такой модели при Aijm= (−G8a 2 + G9a 2 )nm Эijn nn / 2 рассматривался вработе [].

Эта модель дает возможность выделить явно зависимость адгезииповерхности от её дислокационной поврежденности.4.6.4. Модель «поврежденной» адгезии.Дальнейшее упрощение модели (4.6.3.2) можно получить, полагая в (4.6.3.2):120a Aijm=0 BL Aij = 0(4.6.4.1)В соответствии с гипотезами (4.6.4.1), лагранжиан (4.6.3.2) приобретает вид:L = A−11babBLbabDija DmndFDija DmnΞ ij Ξ mn ]dV − ∫∫ Aijmn+ Cijmn[Cijmn∫∫∫22(4.6.4.2)Гипотезы (4.6.4.1) эквивалентны предположению о том, что поля дислокацийна поверхности тела не влияют на адгезионные свойства поверхности.

Такаямодель изучалась в работах [25,27]. Плотность потенциальной энергииадгезии в (4.6.4.2) трактовалась как сумма плотностей энергий «старой»поверхности111AijmnDij1 Dmn/ 2 , «новой» поверхности222AijmnDij2 Dmn/ 2 , и энергии122взаимодействия AijmnDij1 Dmn/ 2 «старой» и «новой» поверхностей.4.6.5. Модель идеальной адгезии.Модель идеальной адгезии изучалась в работах [24, 35], она может бытьполучена из (4.6.4.2) при следующих гипотезах относительно тензоровмодулей:2bCijmn=0 BLCijmn = 0 2b Aijmn = 0 11 Aijmn n j = 0 A11 n = 0 ijmn n(4.6.5.1)В соответствии с гипотезами (4.6.5.1), лагранжиан (4.6.4.2) приобретает вид:L = A−11111111dFDij1 DmndV − ∫∫ AijmnDij1 DmnCijmn∫∫∫22(4.6.5.2)Гипотезы (4.6.5.1) эквивалентны предположению о том, что поля дислокацийотсутствуют как на поверхности тела, так и в объеме.

Плотностьпотенциальной энергии адгезии в (4.6.5.2) трактовалась как суммаплотностейэнергийвзаимодействий.четырехтипов121«идеальных»адгезионных4.7.Объяснение нестабильности экспериментальных значений «моментных»модулей.Преобразуем лагранжиан общей теории (4.1.24) к лагранжиану неоднороднойсреды Тупина, содержащей модели (4.3.12), (4.5.1.1) как частные случаи.

Дляэтого введем в качестве основных неизвестных вместо компонентов тензорасвободнойдисторсииDij2компонентытензораотносительнойповрежденности tij соотношениями [41]:Dij2 = tip R p , j(4.7.1)Dijk2 = tip R p , jk + tip ,k R p , jПодставляя (4.7.1) в (4.1.24), получим:122221211tai ,k tbm ,l ) Ri , j Rm ,n +tai tbm + Cajkbnltam + Cajbn{(Cijmn+ 2Cijan2 ∫∫∫222212tam ,l + (Cbjkanl)tbi tam ,l / 2]Rm ,n Ri , jk ++ Canlbjk+ 2[CijkanlL = A−221112tai tbm ) Ri , jk Rm ,nl }dV −tam + Cajkbnl+ 2Cijkanl+ (Cijkmnl122221211tai ,k tbm ,l ) Ri , j Rm ,n +tai tbm + Aajkbnltam + Aajbn{( Aijmn+ 2 Aijan∫∫2222212tam ,l + ( Abjkanl)tbi tam ,l / 2]Rm ,n Ri , jk ++ Aanlbjk+ 2[ Aijkanl−221112tai tbm ) Ri , jk Rm ,nl }dFtam + Aajkbnl+ 2 Aijkanl+ ( AijkmnlВводя переменные по координатам тензорные поля упругих свойств~~~~~~Cijmn , Cijkmn , Cijkmnl и Aijmn , Aijkmn , Aijkmnl :~~1112222211122222Cijmn = Cijmntam + Cajbntai tbm + Cajkbnltai ,k tbm ,l  Aijmn = Aijmntam + Aajbntai tbm + Aajkbnltai ,k tbm ,l+ 2Cijan+ 2 Aijan ~ ~122222122222Cijkmn = Cijkanl tam ,l + (Cbjkanl + Canlbjk )tbi tam ,l / 2 Aijkmn = Aijkanl tam ,l + ( Abjkanl + Aanlbjk )tbi tam ,l / 2~~111222111222Cijkmnl = Cijkmnl + 2Cijkanl tam + Cajkbnl tai tbm Aijkmnl = Aijkmnl + 2 Aijkanl tam + Aajkbnl tai tbm(4.7.2)можно привести лагранжиан общей теории (4.1.24) к лагранжианунеоднородной среды Тупина:122~~~1{Cijmn Ri , j Rm ,n + 2Cijkmn Rm ,n Ri , jk + Cijkmnl Ri , jk Rm ,nl }dV −∫∫∫2~~~{ Aijmn Ri , j Rm ,n + 2 Aijkmn Rm ,n Ri , jk + Aijkmnl Ri , jk Rm ,nl }dFL = A−1− ∫∫2(4.7.3)Даже если игнорировать билинейные слагаемые в (4.7.3), множители прикоторых пропорциональны градиенту относительной поврежденности tam,l ,модели (4.3.12), (4.5.1.1) и (4.7.3) приводят к объяснению нестабильностиэкспериментальных значений «моментных» модулей [42].

Характеристики

Список файлов диссертации