Диссертация (786079), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Поэтому второйповерхностный интеграл в (5.2.5) может обращаться в ноль для адгезионноактивной поверхности только за счет «статического» слагаемого. Отсюда сучетом (5.2.6) имеем Eijnm n j Rn,m = C F ui . Это соотношение можно обобщить и наадгезионно пассивную поверхность полагая, что для каждой точки такойповерхности ui = 0 . Действительно, ( Eijnm n j Rn, m ) = C F ui = 0 . Таким образом, сучетомопределений(5.2.6)длявсейповерхностиимеетместо«универсальное соотношение»:Eijnm n jU n ,m = Eijnm n j un ,m + C F ui(5.2.7)В соответствии с (5.2.7), потенциальная энергия адгезии может бытьпредставлена в виде:∂R ∂R111( Erpij n p )( Erqnm nq ) i n dF = ∫∫ C F ui ui dFF∫∫C∂x j ∂xm22Такая форма представления потенциальной энергии адгезии позволяетсделать более наглядной трактовку неклассических естественных граничныхусловий.

Если потенциальная энергия адгезии равна нулю, когезионныеперемещения ui = 0 , имеет место их «защемление». Следовательно, и δui = 0для адгезионно пассивной поверхности. Наоборот: для адгезионно активнойповерхности чтобы выполнялось вариационное уравнение (5.2.5), следуетположить нулю «статический» множитель при произвольной вариации δui .Вариационное уравнение (5.2.5) с учетом определений U i и ui (5.2.6), можнопредставить в следующем виде:δL = ∫∫∫ ( Eijrk∂ 2u n∂ 2U r− C V ur + PiV )δui dV ++ PiV )δU i dV − ∫∫∫ ( Enmrl∂xl ∂xm∂x j ∂xk+ ∫∫ ( Pi F − Eijrk n j−∂U r∂u)δU i dF − ∫∫ ( Pi F − Eijrk n j r − C F ui )δui dF −∂xk∂xk1∂R∂Rδ ∫∫ ( Erqnm nq n − C F ur )( Erpij n p i − C F ur )dF = 0F2C∂xm∂x jС учетом полученного выше «универсального соотношения» (5.2.7),138последнее слагаемое обращается в ноль.

Таким образом, вариационноеуравнение, записанное в терминах U i и ui , для первой основной задачиδRi ≠ 0 распадается на две независимые краевые задачи.∫∫∫( Eijrk∂U r∂ 2U r)δU i dF −+ PiV )δU i dV + ∫∫ ( Pi F − Eijrk n j∂xk∂x j ∂xk− ∫∫∫ ( Enmrl∂ 2u n∂u− C V ur + PiV )δui dV − ∫∫ ( Pi F − Eijrk n j r − C F ui )δui dF = 0∂xl ∂xm∂xk(5.2.8)Обратим внимание на то, что для изолированного тела с адгезионнопассивной поверхностью, при отсутствии внешних объемных сил, перваяосновнаязадачакогезионныхприводитктривиальномуперемещений,иполныерешениюперемещенияотносительнобудутравныклассическим.Если на части или на всей поверхности заданы полные перемещения δRi = 0 ,краевые задачи становятся связанными.

Чтобы сохранить симметрию междуU i и ui , введем условие δRi = δ (U i − ui ) = 0 на множителе Лагранжа Qi :∫∫∫( Eijrk∂ 2U r+ PiV )δU i dV +∂x j ∂xk+ ∫∫ ( Pi F − Eijrk n jP− ∫∫∫ ( Enmrl∂U r∂U r)δU i dF + ∫∫ (Qi − Eijrk n j)δU i dF −∂xk∂xkR∂ 2u n− C V ur + PiV )δui dV −∂xl ∂xm− ∫∫ ( Pi F − Eijrk n jP∂ur∂u− C F ui )δui dF − ∫∫ (Qi − Eijrk n j r − C F ui )δui dF = 0∂xk∂xkRИсключая множитель Лагранжа Qi , получим все то же «универсальноесоотношение» (5.2.7) на поверхности.Контактная задача.

Индексами «1» и «2» определяются переменные ифизические параметры контактирующих тел. В соответствии с (5.2.5) наповерхности контакта должны отсутствовать скачки вектора полныхперемещений1EijnmnjRi1 − Ri2 = 0ивектораполныхнапряжений∂Rn1∂R 22− Eijnmn j n = 0 . В этих связях заключается специфика формулировки∂xm∂xm139контактной задачи для вариационного уравнения (5.2.8). С учетомсоотношения (5.2.7) условие контакта по полным напряжениям можнопереписать в виде C1F ui1 − C2F ui2 = 0 и выделить вариацию этой величины наповерхности контакта.

Полная система условий контакта для вариационногоуравнения (5.2.8), с учетом того, что n1j = n j и n 2j = −n j , принимает вид: Ri1 = Ri2 1∂U n1∂U n22 Eijnm n j ∂x = Eijnm n j ∂xmm 1∂Rn1∂Rn22EnEn(= σ ij n j )=ijnm j ijnm j ∂x∂xmm 1 σ n − u1 = 1 σ n − u 2rij jr C1F ij jC2FЭту систему можно записать в симметричном относительно U i и ui виде:11 12U i − U i = ( C F − C F )σ ij n j1212 E1 n ∂U n = E 2 n ∂U nijnm j ijnm j ∂xm∂xm11 1 2ui − ui = ( C F − C F )σ ij n j1212 E 1 n ∂un = E 2 n ∂unijnm j ijnm j ∂xm∂xm(5.2.9)Таким образом, классические, полные и, значит, когезионные напряжениянепрерывны при переходе через поверхность контакта. Непрерывны припереходе через поверхность контакта и полные перемещения.

Однако,отдельно классические и когезионные перемещения терпят равный разрыв,пропорциональный вектору полных напряжений на поверхности контакта.В заключение, можно сформулировать лагранжиан «простейшей» теориикогезионного поля в терминах U i и ui . Проводя обратные преобразования отвариационного уравнения к вариации лагранжиана, получим:δL = 0Здесь:L = LU − LuLU = ( ∫∫∫ PiV U i dV + ∫∫ Pi FU i dF ) −1∂U n ∂U idVEijnm∫∫∫2∂xm ∂x jLu = ( ∫∫∫ PiV ui dV + ∫∫ Pi F ui dF ) −−(5.2.10)∂u ∂u11( Eijnm n i + C V ui ui )dV − ∫∫ C F ui ui dF∫∫∫2∂xm ∂x j2Вариационная формулировка (5.2.8), (5.2.10) отличается от традиционных140постановок градиентных моделей.1.

Она позволяет рассматривать дефектную среду как совокупность двухвложенных друг в друга сред: «классической» и «когезионной».2. Она позволяет обойтись без понятий моментных напряжений и кривизн.3. Использовать богатый исследовательский инструментарий классическойтеории упругости везде, где решатель способен включать во внешниенагрузки винклеровские основания в объеме среды и на поверхности.4. Позволяет описать масштабные эффекты, привлекая минимальноеколичество неклассических параметров, в данном случае – два.

Один,«когезионный», C V - в объеме среды, и второй, «адгезионный», C F - наповерхности среды.5.3.Уточненная модель идеальных (бездефектных) сред Тупина.Лагранжиан уточненной теории идеальных (бездефектных) сред Тупина, вотличиеот«классической»теорииТупина,содержитвсегодва11. Вдополнительных модуля, входящих в выражение тензора Тупина Cijkmnlотличие от алгебраической теории, «моментные» модули не могут входить ввыражениепотенциальнойэнергииоднородныхдеформированныхсостояний.

Поэтому для выяснения физического смысла «моментных»модулей приходится исследовать уже неоднородные деформированныесостояния. Лагранжиан уточненной теории Тупина:L = A−11111[CijmnRi , j Rm ,n + CijkmnlRi , jk Rm ,nl ]dV∫∫∫2Вариационное уравнение:141(5.4.1)1111δL = ∫∫∫ (CijmnRm ,nj − CijkmnlRm ,nlkj + PiV )δRi dV +1111n j Rm ,n + Cijkmnl+ ∫∫ [ Pi F − Cijmn(δ rj* ,r nk + δ rj* nk ,r ) Rm ,nl +11+ Cijpmnl(δ kp n j + δ kj* n p ) Rm ,nlk ]δRi dF −(5.4.2)11n j nk Rm ,nlδ ( Ri ,r nr )dF −− ∫∫ Cijkmnl11v j nk Rm ,nlδRi ds = 0− ∑ ∫ CijkmnlЕсли рассматривать тела, являющиеся параллелепипедами, для которыхкаждый участок кусочно-гладкой поверхности, ограничивающей тело,является плоскостью, тензор δ ij* и единичный вектор нормали n j являютсяпостоянными, их производные по координатам равны нулю. В этом случаевариационное уравнение (5.4.2) упрощается и приобретает вид:1111δL = ∫∫∫ (CijmnRm ,nj − CijkmnlRm ,nlkj + PiV )δRi dV +1111+ ∫∫ ( Pi F − Cijmnn j Rm ,n + Cijkmnln j Rm ,nlk )δRi dF −11− ∫∫ Cijkmnln j nk Rm ,nlδ ( Ri ,r nr )dF −11− ∑ ∫ Cijkmnlv j nk Rm ,nlδRi ds = 0Уравнения равновесия:V( µ 11 + λ11 − χ 11 ) R j ,ij + ( µ 11 + χ 11 )∆Ri − c111∆R j ,ij − c112 ∆∆Ri + Pi = 0Ихможнопривестиквидувекторного(5.4.3)уравнениянапотенциалперемещений.

Для этого введем вектор-потенциал следующего вида:c111( µ 11 + λ11 − χ 11 )(c111 + c112 )ϕ−∆∆ϕ+∆ϕ k ,ikk ,iki(2 µ 11 + λ11 )(2 µ 11 + λ11 )(2 µ 11 + λ11 )Ri = ∆ϕi −(5.4.4)Подставляя его в уравнения равновесия, получим искомую векторную формузаписи уравнений равновесия:(c111 + c11c112 )∆∆ϕi − [+ 11 2 11 ]∆∆∆ϕi +1111(2µ + λ ) ( µ + χ )(5.4.5)11(c111 + c11PiV2 )c2+∆∆∆∆ϕi + 11=0(2 µ 11 + λ11 )( µ 11 + χ 11 )( µ + χ 11 )Решениеэтогоуравненияможнопредставитьввидеследующегоразложения:ϕi = ϕi0 + ϕi1 + ϕi2 + ϕiVЗдесьϕiV-(5.4.6)частноерешениенеоднородного142уравнения(5.4.5),ϕi0 , ϕi1 , ϕi2 - его фундаментальные решения:∆∆ϕi0 = 0(c111 + c112 )ϕ −∆ϕi1 = 01111(2µ + λ )1iϕi2 −(5.4.7)c112∆ϕi2 = 01111(µ + χ )Подставляя (5.4.6), с учетом (5.4.7), в (5.4.4), получим:Ri = U i − ui + RiV(5.4.8)Здесь введены обозначения:U i = (∆ϕ − ϕ0i0k ,ikc111( µ 11 + χ 11 ) 0ϕ k ,ik +)+∆ϕ k0,ik11111111(2µ + λ )(2µ + λ )1111c11c11(c111 + c11( µ 11 + χ 11 )122 ) (µ + χ )ui = −[[− 11 2 11 ](∆ϕi2 − ϕ k2,ik )− 11 11 ]ϕ k ,ik +1111111111c2(2µ + λ ) (c1 + c2 )(2µ + λ ) (c1 + c2 )RiV= (∆ϕiV − ϕ kV,ik ) +c11( µ 11 + χ 11 ) V(c111 + c11VV2 )2()ϕ∆∆ϕ−ϕ−∆ϕ kV,ik−,,kikikik111111111111(2µ + λ )(2µ + λ )(2µ + λ )(5.4.9)Перемещение U i является классическим полем перемещений, удовлетворяетоднородным уравнениям равновесия классической теории упругости иявляется бигармоническим векторным полем.Перемещение ui является полем когезионных перемещений, удовлетворяетоднородному уравнению:ui − [11c11(c111 + c11(c111 + c112 )22 )c2+∆u+∆∆ui = 0]i(2 µ 11 + λ11 ) ( µ 11 + χ 11 )(2 µ 11 + λ11 )( µ 11 + χ 11 )(5.4.10)и является обобщенным бигармоническим векторным полем.

Более того, егоопределение(5.4.9)даетвозможностьвыяснитьегоструктуру.Действительно, ui представлено двумя слагаемыми, первое из них, зависящееот ϕk1,ik является потенциальным полем, а второе слагаемое, зависящее от(∆ϕi2 − ϕ k2,ik ) является вихревым полем. В соответствии с (5.4.7), потенциальнаяи вихревая составляющие когезионных перемещений имеют различныесвойства, определяемые «моментными» модулями.14322c111 = (2 µ 11 + λ11 )l grad− ( µ 11 + χ 11 )lrot(5.4.11)1111 2c112 = ( µ + χ )lrotЗдесь «моментные» модули c111 ,c112 выражены через квадраты характерныхдлин когезионных взаимодействий вихревой lrot и потенциальной части lgrad ,которые можно трактовать как другую независимую пару механическихпараметров среды Тупина. Действительно, поставляя (5.4.11) в (5.4.7),получим:2ϕi1 − l grad∆ϕi1 = 02ϕi2 − lrot∆ϕi2 = 0Таким образом, дана трактовка модулей, входящих в состав тензора Тупина11.

Выяснено, что когезионное поле имеет структуру, определяемуюCijkmnlвихревой и потенциальной составляющей, для которых существуют своииндивидуальные механические свойства, определяемые через характерныедлины когезионных взаимодействий (5.4.11).5.4.Теория сред Коссера (теория ω − дислокаций).Как известно, «классическая» теория сред Миндлина содержит одиннадцать«моментных» модулей.

Их физический смысл практически не изучался.УточненнаятеориясредМиндлина(4.39)содержиттолькосемьдополнительных модулей, которые входят в выражение тензора Миндлина22. Для выяснения их физического смысла исследуем сначала частныеCijkmnlтеории, в которых предполагается существование в среде единственного типадислокаций. В этом разделе будет изучена среда с полем ω − дислокаций.Особоевниманиеуделимтемрешениям,которыесоответствуюткогезионным взаимодействиям, характерным для неё.При гипотезе существования только полей ω − дислокаций, тензор свободнойдисторсии (второго сорта) является антисимметричным и может быть144выражен через псевдовектор спинов (поворотов, не являющихся вихрямиперемещений):Dij2 = −ωk2 Эijk(5.5.1)Лагранжиан уточненной теории Миндлина в этом случае приобретает вид:1111222[CijmnRi , j Rm , n − 2(CijmnЭmnk ) Ri , jωk2 + (CijmnЭmnq Эijp )ω p2ωq2 +∫∫∫222+ (Cijkmnl Эijp Эmnq )ω p2 , kωq2,l ]dVL = A−(5.5.2)Введем обозначения:(−2c222 + c322 + c422 ) = 4 χ 22 (h22 − h12 )(5.5.3)(c622 − c722 ) = 4 χ 22 h12С учетом введенных обозначений, свертки тензоров модулей в лагранжианетеории сред Коссера имеют следующую структуру:12CijmnЭmnk = 2 χ 12 Эijk22CijmnЭmnq Эijp = 2 χ 22 Эijq Эijp = 4 χ 22δ pq22CijkmnlЭijp Эmnq == (−2c222 + c322 + c422 )(Э jpk Э jql + Э jpl Э jqk ) + (2c622 − 2c722 )δ pqδ kl == (−2c222 + c322 + c422 )(2δ pqδ kl − δ pk δ ql − δ plδ qk ) + (2c622 − 2c722 )δ pqδ kl == 4 χ 22 (h22 − h12 )(2δ pqδ kl − δ pk δ ql − δ plδ qk ) + 8χ 22 h12δ pqδ klЛагранжиан уточненной теории Миндлина с учетом (5.5.3) приобретает вид:111[CijmnRi , j Rm , n − 4 χ 12 ( Ri , j Эijk )ωk2 + 4 χ 22ωk2ωk2 +∫∫∫222 2 2+ 8 χ h2 ωi , jωi2, j − 4 χ 22 (h22 − h12 )ω p2 , pωq2, q ]dVL = A−Вариационное уравнение уточненной модели Миндлина для сред с полемω − дислокаций:11δL = ∫∫∫ {(CijmnRm , nj − 2 χ 12ωk2, j Эijk + PiV )δRi ++ [2 χ 12 Ri , j Эijk − 4 χ 22ωk2 + 4 χ 22 h22 (∆ωk2 − ωq2, qk ) + 8χ 22 h12ωq2, qk ]δωk2 }dV +11+ ∫∫ [ Pi F − (CijmnRm , n − 2 χ 12ωk2 Эijk )n j ]δRi dF −− ∫∫ [4 χ 22 h22ωk2, j n j − χ 22 (h22 − h12 )(ωq2, q nk + ωq2, k nq )]δωk2 dF = 0Уравнения равновесия:145(5.5.4)( µ 11 + χ 11 )(∆Ri − R j ,ij ) + (2 µ 11 + λ11 ) R j ,ij − 2 χ 12ωk2, j Эijk + PiV = 0 1222 222 22222 2 22 χ Ri , j Эijk − 2 χ ωk + 2 χ h2 (∆ωk − ωq , qk ) + 2 χ h1 ωq , qk = 0(5.5.5)Исследуем уравнения равновесия моментов.

Характеристики

Список файлов диссертации