Диссертация (786079), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

В129соответствии с введенным понятием разрыхления, эту часть потенциальнойэнергии можно назвать потенциальной энергией разрыхления, или энергией22обратимого образования нового объема. Соответственно, тензор Cijnmможноназвать тензором модулей разрыхления. В разделе 2.4 дана «узкая» трактовкаразрыхления на примере разрыхления среды только θ -дислокациями. Приналичии физической теории можно дать и универсальную трактовку всехтипов разрыхления.Дадим определения скалярным мерам типов обратимого образования новогообъема – с индексом D, и типов деформации непрерывной среды – синдексом R:Θ D = θ eθ eΩ D = ωieωieΓ D = γ ije γ ijeΘ R = θ Rθ RΩ R = ωiRωiRΓ R = γ ijR γ ijRВыражение для U V , записанное в скалярных мерах, приобретет вид:2UV (Θ R , Γ R , Ω R , Θ D , Γ D , Ω D ) == (2µ / 3 + λ )Θ R Θ R + 2 µΓ R Γ R + 2 χΩ R Ω R ++ (2 µ 22 / 3 + λ22 )Θ D Θ D + 2 µ 22Γ D Γ D + 2 χ 22Ω D Ω DТакая форма записи потенциальной энергии позволяет дать единуюэнергетическую трактовку модулей как удвоенной потенциальной энергии,накопленной дефектной средой при соответствующей единичной скалярноймере и равенстве нулю остальных скалярных мер.Так, к примеру, слагаемое (2µ / 3 + λ )Θ R Θ R есть удвоенная потенциальнаяэнергия деформации изменения объема непрерывной среды с эффективным(поврежденным)потенциальнаямодулемэнергия(2µ / 3 + λ ) .деформацииМодуль(2µ / 3 + λ )изменения-«старого»удвоеннаяобъема,накопленная средой при Θ R = 1 - единичной скалярной мере измененияобъема непрерывной среды:(2 µ / 3 + λ ) = 2UV (1,0,0,0,0,0)Аналогично, слагаемое (2µ 22 / 3 + λ22 )Θ D Θ D есть удвоенная потенциальнаяэнергияразрыхлениясреды эффективными θ -дислокациями, а130модуль(2 µ 22 / 3 + λ22 ) -удвоеннаяпотенциальнаяэнергияобратимогообразования нового объема, накопленная средой при Θ D = 1 - единичнойскалярной мере нового объема, связанного с существованием эффективныхθ -дислокаций:(2µ 22 / 3 + λ22 ) = 2UV (0,0,0,1,0,0) .Аналогичные трактовки можно дать и остальным модулям.Суммируя итоги анализа физического содержания части объемной плотностипотенциальной энергии, связанной с дисторсиями, можно констатировать,что дана универсальная энергетическая трактовка всех девяти модулей111222, Сijnmи Сijnm.упругости, входящих в состав тензоров модулей СijnmМодулитензорасупермодулей11Сijnmтрактуютсякакудвоенныепотенциальные энергии трех типов деформации «старого» объема - объемаидеальной среды.Модулитензора«разрыхления»22Сijnmтрактуютсякакудвоенныепотенциальные энергии обратимого образования трех типов «нового» объемав среде.12Модули тензора «поврежденности разрыхлением» Сijnmтрактуются какудвоенные потенциальные энергии трех типов взаимодействия «нового» и«старого» объема в среде.Представляется, что такая трактовка будет полезна в механике разрушения.Попробуем дать трактовку тех же модулей с точки зрения теориимелкодисперсных композитов, предположив, что дефектная среда являетсятаковым.

Тогда идеальная среда должна трактоваться как матрица такого11композита с тензором модулей Cijmn, а три типа сохраняющихся дислокаций –его наполнителем. Соответственно, тензор поврежденных модулей (5.1.5)следует трактовать как тензор эффективных модулей такого композита. Дляупрощения рассмотрим случай пористых сред, в которых имеют местотолькоθ − дислокации.θ − дислокаций.Соответственно,131наполнителемслужитполеДля соответствующей нагрузки решение в виде:1Ri = θ 1 xi31θ = Const _ 1θ 2 = Const _ 2является точным при PiV = 0 и Pi F = ∆Pni , где ∆P - приращение постояннойвеличины внешней нагрузки, нормальной к поверхности тела, вызывающеесоответствующее изменение объема ∆V . Удовлетворяя граничным условиям,получим следующие соотношения:∆V ∆(1 − fθ )V∆V(2 µ 22 + 3λ22 )θ == (1 − fθ )=22221212VVV [(2 µ + 3λ ) − (2 µ + 3λ )]1∆V ∆fθV∆V(2 µ 12 + 3λ12 )= fθ=θ =−22221212VVV [(2 µ + 3λ ) − (2 µ + 3λ )](5.1.6)2Здесь учтено, что ∆V / V = θ 1 + θ 2 .

Также введено обозначение:(2 µ 12 + 3λ12 )fθ = −[(2 µ 22 + 3λ22 ) − (2 µ 12 + 3λ12 )](5.1.7)Решения (5.1.6) дают возможность следующих трактовок: fθ и (1 − fθ ) относительные объемные доли среды θ − дислокаций и идеальной (неповрежденной θ − дислокациями) среды, совместно заключенных в объеме V .fθ V и (1 − fθ )V - их абсолютные объемные доли. С учетом определения (5.1.7)относительной объемной доли θ − дислокаций в дефектной среде, аналогосреднения по Фойхту с учетом определения тензора поврежденных модулей(5.1.5) имеет вид:(2 µ + 3λ ) = (2 µ 11 + 3λ11 ) − (2 µ 22 + 3λ22 )fθ2(1 − fθ ) 2(5.1.8)Аналогичным образом можно ввести и относительные объемные доли всредах с γ − дислокациями и ω − дислокациями и аналоги осреднения поФойхту:fγ = −µ 12( µ 22 − µ 12 )fω = −χ 12( χ 22 − χ 12 )(5.1.9)132µ = µ 11 − µ 22f γ2(1 − fγ ) 2fω2(1 − fω ) 2χ = χ 11 − χ 22(5.1.10)Любопытно отметить, что в рамках алгебраической теории сред ссохраняющимися дислокациями, дислокации всегда ослабляют матрицу всоответствии с (5.1.8), (5.1.10).

Даже, если это дислокации замещения.11,Суммируя итоги анализа физического содержания тензоров модулей Сijnm1222Сijnmи Сijnm. с точки зрения теории мелкодисперсных композитов, можноконстатировать, что дана трактовка всех девяти модулей упругости,111222, Сijnmи Сijnm.входящих в состав тензоров модулей Сijnm11Модули тензора Сijnmтрактуются как модули матрицы - идеальной среды.22трактуются как модули трех типов включений - трехМодули тензора Сijnmтипов дислокаций в среде.Модулитензоратрактуются12Сijnmкакпараметры,связанныесотносительными объемными долями включений в соответствии с (5.1.7),12(5.1.9).

Другими словами: модули тензора Сijnmсвязаны с концентрациейсоответствующихтиповполейсохраняющихсядислокаций.Следуетотметить тот факт, что трактовка дефектной среды как мелкодисперсного12. Оникомпозита приводит к определению знака модулей тензора Сijnmоказываются отрицательными.«Простейшая» теория когезионного поля.5.2.В этом разделе строится прикладная модель среды с полями сохраняющихсядислокаций,обладающейсвойствами.Исходнойсохраняющихсякаккогезионными,модельюдислокацийявляется[25]стактеорияадгезионнымисред«упрощенными»свойствами.

Лагранжиан исходной модели имеет вид:133исполямиадгезионнымиL = A−111 ∂Rn ∂Ri12Ξ ∂Ri22Ξ33[Cijnm+ 2Cijnmd nm+ Cijnmd nmd ijΞ + CijnmΞ nm Ξ ij ]dV −∫∫∫2∂xm ∂x j∂x j111 ∂Rn ∂Ri12Ξ ∂Ri22Ξ− ∫∫ [ Aijnm+ 2 Aijnmd nm+ Aijnmd nmd ijΞ ]dF2∂xm ∂x j∂x j(5.2.1)Здесь:pqCijmn= λ pqδ ijδ mn + ( µ pq + χ pq )δ imδ jn + ( µ pq − χ pq )δ inδ jm- тензоры модулей дефектной среды,pq= λ pqF (δ ij − ni n j )(δ nm − nn nm ) + δ pqF ni nn (δ jm − n j nm ) +Aijnm+ ( µ pqF + χ pqF )(δ in − ni nn )(δ jm − n j nm ) + ( µ pqF − χ pqF )(δ im − ni nm )(δ jn − n j nn )- тензоры адгезионных модулей,∂Riи d ijΞ - тензоры стесненной и свободной дисторсий,∂x jΞ ij =∂d inΞЭnmj - псевдотензор плотности дислокаций Де Вита.∂xmДля сокращения количества неизвестных, используется обобщение гипотезыАэро-Кувшинского(5.1.2),опропорциональностиспиновивихрейперемещений.

Обобщение гипотезы имеет вид:d ijΞ = aijnm∂Rn=∂xm= (3a + 2b)1 ∂Rk1 ∂Ri 1 ∂R j 1 ∂Rk1 ∂Rnδ ij + 2b(δ ij ) − 2c(−+−Эnmk )Эijk3 ∂xk2 ∂x j 2 ∂xi 3 ∂xk2 ∂xmaijnm = aδ ijδ nm + (b + c)δ inδ jm + (b − c)δ imδ jn(5.2.2)Здесь a, b, c - параметры прикладной модели, являющиеся рациональными1222функциями компонентов тензоров Cijnmв соответствии с (5.1.2). Гипотеза, CijnmАэро-Кувшинского [3] вытекает из (5.2.2) как частный случай при a = b = 0 .Подставляя (5.2.2) в (5.1.10), получим «адгезионное» обобщение градиентноймодели Тупина [25], которая определяется следующим лагранжианом:L = A−−∂Ri ∂Rn∂ 2 Ri ∂ 2 Rn∂R ∂R11EE+[]dV − ∫∫ Aijnm i n dFijnmijknml∫∫∫∂x j ∂xm2∂x j ∂xm∂xk ∂x j ∂xl ∂xm2Здесь:134(5.2.3)Eijnm = λδ ijδ nm + ( µ + χ )δ inδ jm + ( µ − χ )δ imδ jnλ = λ11 + 2[(2 µ 12 + 3λ12 )a + λ12 2b] +22222222+ [(2 µ + 3λ )a + λ 2b](3a + 2b) + µ 4ab111222µ = µ + µ 4b + µ 4bb χ = χ 11 + χ 12 4c + χ 22 4ccEijknml == E1 (δ ijδ knδ ml + δ jk δ ilδ nm + δ ik δ jnδ ml + δ jk δ imδ nl ) ++ E2 (δ ijδ klδ nm + δ ijδ kmδ nl + δ ik δ jlδ nm + δ ik δ jmδ nl ) ++ E3δ jk δ inδ ml ++ E4 (δ inδ jmδ kl + δ inδ jlδ km ) ++ E5 (δ imδ jnδ kl + δ imδ jlδ kn + δ ilδ jnδ km + δ ilδ jmδ kn )1 33( µ − χ 33 )(b − c)(b − c) − χ 33a (b − c)21E2 = χ 33aa + χ 33a (b − c) − ( µ 33 − χ 33 )(b − c)(b − c)43333E3 = −( µ − χ )(b − c)(b − c)E1 =E4 = µ 33 (b − c)(b − c)1E5 = − µ 33 (b − c)(b − c)2Обозначим (δ ij − ni n j ) = δ ij* , тогда тензор адгезионных модулей принимает вид:*Aijnm = λF δ ij*δ nm+ ( µ F + χ F )δ in* δ *jm + ( µ F − χ F )δ im* δ *jn +*+ δ F ni nnδ *jm + α (ni nmδ *jn + nn n jδ im* ) + β (ni n jδ nm+ nn nmδ ij* ) + Bδ in* n j nm ++ Ani n j nn nmλF = λ11F + 4bλ12 F + 4bbλ22 F + 4a( µ 12 F + λ12 F ) ++ 8ab( µ 22 F + λ22 F ) + 4aa ( µ 22 F + λ22 F )δ F = δ 11F + 2(b + c)δ 12 F + (b + c)(b + c)δ 22 Fµ F = µ 11F + 4bµ 12 F + 4bbµ 22 Fχ F = χ 11F + 4cχ 12 F + 4ccχ 22 Fα = (b − c)δ 12 F + (b + c)(b − c)δ 22 F / 2β = 2a( µ 12 F + λ12 F ) + 4a(a + b)( µ 22 F + λ22 F )A = 4aa ( µ 22 F + λ22 F )B = (b − c)2bδ 22 FПри a = b = 0, c ≠ 0 , из (5.2.3) вытекает «адгезионное» обобщение теориисред Аэро-Кувшинского [3], которая является [4] прикладной теорией средКоссера (теорией сред с полем сохраняющихся ω -дислокаций).135Соответственно, при a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0 из (5.2.3) вытекает «адгезионное»обобщение теории сред Джеремилло [2], которая является [4] прикладнойтеорией сред c сохраняющимися полями θ - и γ - дислокаций.Таким образом, параметры (3a + 2b), b, c можно трактовать как «выключатели»для трех типов полей дислокаций, соответственно: θ -, γ - и ω -дислокаций.Обратим внимание на то, что в прикладной теории теряется часть «тонких»механическихсвойствсредсполямисохраняющихсядислокаций.Действительно, исходная модель (5.1.10) содержит двенадцать модулей вобъеме, и двенадцать модулей на поверхности тела (адгезионных модулей).Модель (5.2.3) содержит уже только шестнадцать модулей: восемь в объеме ивосемь на поверхности.

К сожалению, и она не пригодна для инженерныхприложений, так как предполагает большой объем экспериментальных работпо определению неклассических модулей. Поэтому приходится идти по путидальнейшего упрощения модели, оставляя лишь самые существенныенеклассическиехарактеристики.Представляется,чтотакимихарактеристиками должны быть характерные длины когезионных иадгезионных взаимодействий.Введем гипотезу о пропорциональности когезионных модулей в форме:Eijknml =1Eijrk EnmrlCVЭта гипотеза приводит к следующей зависимости когезионных модулей отединственного нового модуля C V = µ / lV2 :E1 = ( µ + χ )( µ + λ − χ ) /(2C V )E2 = ( µ + λ − χ )( µ + λ − χ ) /(4C V )E3 = ( µ + χ )( µ + χ ) / C VE4 = 0E5 = 0Введем гипотезу о пропорциональности адгезионных модулей в форме:Aijnm =1( Erpij n p )( Erqnm nq )CFЭта гипотеза приводит к следующейзависимости адгезионных модулей136от единственного нового модуля C F = µ / lF :λF = λλ / C Fα = ( µ − χ )( µ + χ ) / C Fδ F = ( µ − χ )( µ − χ ) / C Fβ = ( 2 µ + λ )λ / C FµF = 0A = (2µ + λ )(2µ + λ ) / C FχF = 0B = ( µ + χ )( µ + χ ) / C FТакимобразом,поставленнаяцельдостигнута:всемногообразиекогезионных и адгезионных свойств тел в формулируемой модели сводится кдвум характерным длинам lV и lF .

В целом модель определяет механическиесвойства сред с сохраняющимися полями дислокаций через пять параметровсреды µ , λ , χ , lV , lF для несимметричной теории, и через четыре параметрасреды: µ , λ , lV , lF для симметричной теории ( χ = 0 ).Лагранжиан формулируемой теории приобретает вид:L = A−11∂ 2 Ri ∂ 2 Rn∂Ri ∂Rn[]dV −EEE+ijnmijrk nmrl2 ∫∫∫∂xk ∂x j ∂xl ∂xm∂x j ∂xm C V11∂R ∂R− ∫∫ F ( Erpij n p )( Erqnm nq ) i n dF2∂x j ∂xmC(5.2.4)Вариационное уравнение:δL = ∫∫∫ [ Eijrk+ ∫∫∂ 2 (...)∂ 2 Rn1( Rr − V Enmrl) + PiV ]δRi dV +C∂x j ∂xk∂xl ∂xm∂∂ 2 Rn1[ Pi − Eijrk n j( Rr − V Enmrl)]δRi dF −C∂xk∂xl ∂xm− ∫∫ [F(5.2.5)∂Rn∂ 2 Rn∂R11EnE+()]δ ( Erpij n p i )dF = 0rqnmqrqnmFVC∂xm C∂xq ∂xm∂x jОпределения классического U i и когезионного ui перемещений через полноеперемещение Ri :1∂ 2 RnU i = Ri − C V Eijnm ∂x ∂xjm2∂ Rnu = − 1 EiijnmVC∂x j ∂xm⇒Ri = U i − ui(5.2.6)Обратим внимание на то, что в любой точке поверхности, где ( Erpij n p Ri , j ) = 0 ,потенциальная энергия адгезии в соответствии с (5.2.4) равна нулю, и в этой137точке поверхности адгезионные свойства не проявляются, не смотря на то,что адгезионные модули, связанные с lF , не равны нулю.

Характеристики

Список файлов диссертации