Диссертация (786079), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Чтобы дислокации разныхCijnmтипов не взаимодействовали друг с другом, следует положить:22γθCijnm=0Cijk22θω = 022ωγCijkpq=0(4.4.2.2)Таким образом, «гипотеза ортогональности типов дислокаций» (4.4.2.2)эквивалентна предположению о равенстве нулю четырех линейныхкомбинаций исходных модулей Ci22 (i = 1 ÷ 11) . Лагранжиан теории приобретаетвид:111Ri , j Rm ,n +[Cijmn2 ∫∫∫222222γγ212Ri , jγ mnγ ij2γ mnγ ij2,k γ mn+ 2Cijmn+ Cijmn+ Cijkmnl,l +L = A−+ (Cδ ) Ri , jθ 2 / 3 + (C δ δ )θ θ / 9 + C12ijmn mn222ijmn mn ij22(4.4.2.3)22θθ 2 2kl,k ,lθ θ /9−22ωω 22212Эmnq Эijp )ω p2ωq2 + C pkqlЭmnk ) Ri , jωk2 + (Cijmnω p ,k ωq2,l ]dV− 2(CijmnТакой вариант теории сред с сохраняющимися дислокациями удобен тем, чтоуравненияЭйлераотносительнокомпонентсвободнойдисторсиираспадаются на подсистемы по типам дислокаций.
Количество «моментныхмодулей» сокращено с одиннадцати до семи (3+1+3=7).1084.4.3. «Простейшая» модель сред с сохраняющимисядислокациями.Другой,«простейший»варианттеориисредссохраняющимисядислокациями [7], можно получить из модели Миндлина (4.4.1.1), налагая2222еще более жесткие требования на модули тензора Cijkmnl. Пусть тензор Cijkmnlимеет следующую структуру:22BLCijkmnl= CiambЭ jka Эnlb(4.4.3.1)22BL= Cijkmnl4CipmqЭ jkp Эnlq == (2C422 − C1122 )δ ipδ mq ++ (−2C222 − 2C422 + C522 + C622 + 2C822 − 2C922 + C1122 )δ imδ pq ++ (2C222 − C522 − C622 )δ iqδ pmBLсодержит только три модуля (три линейные комбинацииЗдесь тензор Cianbисходных модулей Ci22 (i = 1 ÷ 11) ). Поэтому остальные комбинации можноположить равными нулю.
Подставляя (4.4.3.1) в (4.4.1.1), получим:1 11122222BLL = A − [CijmnRi , j Rm ,n + 2CijmnRi , j Dmn+ CijmnDij2 Dmn+ CijmnΞ ij Ξ mn ]2(4.4.3.2)Эта модель примечательна тем, что градиентная часть потенциальнойэнергии является квадратичной формой компонентов тензора Ξ ij плотностидислокаций Де Вита. Не смотря на минимальное количество «моментных»модулей (три), она все же позволяет изучать взаимодействие типовдислокаций, так как содержит билинейные по типам дислокаций слагаемые.1094.4.4. Модель сред с ω -дислокациями (теория сред Коссера).Модель (4.4.2.3), благодаря «гипотезе ортогональности типов дислокаций»(4.4.2.2), дает возможность сформулировать модели сред с единственнымтипом дислокаций или с парой типов.
Пусть в среде существуют только поляω -дислокаций. Чтобы удержать в (4.4.2.3) слагаемые, включающие в себятолько свободные повороты, делается следующее предположение офизических свойствах среды (4.4.2.3):γγλ12 = λ22 = 0 µ 12 = µ 22 = 0 C θθ = 0 Cijnm=0(4.4.4.1)Гипотеза (4.4.4.1) приводит к формулировке лагранжиана сред с полемсохраняющихся ω -дислокаций:1 ∂Ri1 11 ∂Ri ∂Rn22ωω 2Эijk )ωk2 + 4 χ 22ωk2ωk2 + Cijmnωi , jωm2 , n ]L = A − [Cijnm+ 8 χ 12 (−2 ∂x j2∂x j ∂xm(4.4.4.2)Эта модель характерна тем, что каждой точке среды приписывается шестьстепеней свободы: три компоненты вектора перемещений и три компонентыпсевдовектора свободных поворотов ωk2 , которые не являются вихрями поляперемещений. Таким образом, каждая точка такой среды ведет себя какабсолютно твердое тело.
Такая кинематическая модель определяет средыКоссера [1], поэтому можно утверждать, что теория сред Коссера являетсятеорией сред с полем сохраняющихся ω -дислокаций [26].1104.4.5. Модель сред с θ -дислокациями (теория пористых сред).Пусть в среде существуют только поля θ -дислокаций [26], [34]. Для этогоследует удержать в (4.4.2.3) только те слагаемые, которые содержатсвободноеизменениеобъема.Делаяследующеепредположениеофизических свойствах среды (4.4.2.3):γγωωµ 12 = µ 22 = 0 χ 11 = χ 12 = χ 22 = 0 Cijnm= 0 Cijnm=0(4.4.5.1)можно получить лагранжиан теории сред с полем сохраняющихся θ дислокаций:1 11 ∂Ri ∂Rn2 µ 122 µ 12∂RL = A − [Cijnm+ 2(+ λ12 ) k θ 2 + (+ λ12 )θ 2θ 2 +233∂x j ∂xm∂xk1∂θ 2 ∂θ 2]+ Ckl22θθ9∂xk ∂xl(4.4.5.2)Эта модель характерна тем, что каждой точке среды приписывается четырестепени свободы: три компоненты вектора перемещений и одна компонента(амплитуда шарового тензора) свободной дисторсии θ 2 , которая не являетсядивергенцией поля перемещений.4.4.6.
Модель сред с γ -дислокациями.Аналогичное предположение о том, что потенциальная энергия в (4.4.2.3)содержит слагаемые, в которых есть только компоненты тензора свободнойдисторсии,определяющиесвободноеформоизменение,эквивалентногипотезе:ωωλ12 = λ22 = 0 χ 11 = χ 12 = χ 22 = 0 C θθ = 0 Cijnm=0(4.4.6.1)Оно приводит к формулировке модели среды с сохраняющимися γ дислокациями [26], [34]:111ΞΞ1 11 ∂Ri ∂Rn∂R22γγ ∂γ ki ∂γ kn]L = A − [Cijnm+ 2 µ 12 i γ ijΞ + 2 µ 22γ ijΞγ ijΞ + Cijnm2∂x j ∂xm∂x j∂x j ∂xm(4.4.6.2)Эта модель характерна тем, что каждой точке среды приписывается восемьстепенейсвободы:трикомпонентывектораперемещенийипятьнезависимых компонент девиатора тензора свободной дисторсии γ ij2 , которыене являются девиатором поля градиентов перемещений.4.4.7.
Алгебраическая модель сред с сохраняющимисядислокациями.Пусть в лагранжиане общей теории (4.1.24), при отсутствии адгезионных111222равны нулю. Тогдасвойств, тензоры «объемных» модулей Cijkmnl, Cijkmnl, Cijkmnlлагранжиан сформулированной теории дает постановку алгебраическойотносительно свободной дисторсии теории сред с сохраняющимисядислокациями:L = A−122221211Dij2 DmnRi , j DmnRi , j Rm , n + 2Cijmn]dV[Cijmn+ Cijmn∫∫∫2(4.4.7.1)Эта модель характерна тем, что она сводится к модели простейшейнесимметричной теории упругости, а при дополнительном предположенииχ 11 = χ 12 = 0 - к классической теории упругости с поврежденными модулями.При этом алгебраическая связь между тензорами свободной и стесненнойдисторсии, являющаяся уравнением Эйлера лагранжиана (4.4.7.1), совпадаетс формулировкой обобщения гипотезы Аэро-Кувшинского.4.5.Строгие частные случаи идеальных (бездефектных) градиентных сред.Из общей модели (4.1.24) можно получить спектр моделей, не зависящих оттензора свободной дисторсии, т.е.
моделей сред без сохраняющихсядислокаций (моделей идеальных или бездефектных в смысле отсутствия112дислокаций сред). Для этого следует рассмотреть подпространство моделей,в которых тензоры модулей, содержащие верхний индекс сортности, равныйдвум, равны нулю. При этом, по-прежнему, рассмотрены только модели безадгезионныхсвойствповерхностей.Такимобразом,проводитсяисследование подпространства моделей с лагранжианомL = A−11111Ri , jk Rm , nl ]dVRi , j Rm , n + Cijkmnl[Cijmn∫∫∫2В отличие от модели (4.3.12), рассматриваемый спектр моделей содержит1111, а не поврежденные дислокациями и разрыхлениемидеальные Cijmn, Cijkmnlтензоры модулей Cijmn , Cijkmnl .4.5.1.
Модель идеальных (бездефектных) сред Тупина.Пусть все тензоры модулей в общей модели (4.1.24), содержащие индекссортности 2, равны нулю. Тогда лагранжиан теории принимает вид,совпадающий с лагранжианом идеальной (бездефектной) среды Тупина с1111адгезионными свойствами поверхности, а при Aijmn= 0 и Aijkmnl=0 - склассической моделью Тупина [6]:L = A−11111Ri , jk Rm, nl ]dVRi , j Rm, n + Cijkmnl[Cijmn∫∫∫2(4.5.1.1)Модель сред Тупина (4.5.1.1) радикально меняет точку зрения на местомодели Тупина в иерархии градиентных моделей.
Если раньше модельТупина трактовалась как приближенная (прикладная) модель, вытекающая измодели Миндлина, благодаря использованию обобщения гипотезы АэроКувшинского, то теперь она занимает, наравне с моделью Миндлина,положение строгого частного случая более общей теории (4.1.24). Из неё, всвою очередь, вытекают как строгие частные случаи: модель Джеремилло [2],модель Аэро-Кувшинского [3], и «простейшая» модель когезионныхвзаимодействий [35].
Выразим последнее слагаемое в (4.5.1.1)113черезградиентыγ ij1 = ( Ri , j / 2 + R j ,i / 2 − Rk ,k δ ij / 3) ,θ 1 = Rk ,kиωk1 = − Ri , j Эijk / 2 ,используя разложение тензора стесненной дисторсии по типам (2.1). Врезультате получим:1 111111111γ ij1 ,k γ mnCijkmnlRi , jk Rm ,nl = CijkmnlCijkmnlδ ijδ mnθ ,1kθ ,1l + CijkmnlЭijp Эmnqω 1p ,k ωq1,l −,l +92 112 111111+ Cijkmnlδ ijγ mnCijkmnl Эijpδ mnθ ,1lω 1p ,k − 2CijkmnlЭmnqωq1,l γ ij1 ,k,lθ ,k −33Непосредственно вычисляя свертки, с учетом структуры тензора Тупина(4.1.15), можно убедиться, что первые три слагаемых являются11Cijkmnlканоническими положительно определенными квадратичными формами,соответственно градиентов γ ij1 , θ 1 и ωk1 , а последние три слагаемых – ихбилинейными формами:1 11θθ 1 1111γγ111ωω 1CijkmnlDi1, jk Dm1 ,nl = CijkmnlCkl θ ,kθ ,l + C 11γ ij1 ,k γ mn,l +pkql ω p ,k ω q ,l −92 11γθ 1 1 2 11θω 1 111ωγ 1ωq ,l γ ij1 ,kγ mn,lθ ,k − C pkl θ ,lω p ,k − 2Cijkql+ Ckmnl33Здесь введены обозначения:11111111γγ= (2C311 + C611 + C711 )( δ ik δ jp + δ ipδ jk − δ ij δ kp )( δ mpδ nl + δ ml δ np − δ mnδ pl ) +Cijkmnl223223111111+ (2C 411 + C911 + C1111 )( δ ipδ jl + δ il δ jp − δ ij δ pl )( δ mk δ np + δ mpδ nk − δ mnδ pk ) +223223111111+ (C811 + C1011 )( δ ipδ jq + δ iqδ jp − δ ij δ pq )( δ mqδ np + δ mpδ nq − δ mnδ pq )δ kl223223C kl11θθ = (6C111 + 6C 211 + 2C311 + 2C 411 + 9C511 + C611 + C711 + 3C811 + C911 + 3C1011 + C1111 )δ kl111111ωωC 11pkql = ( 2C 4 − C 9 − C11 )δ pk δ ql ++ (−2C311 + C611 + C711 − 2C 411 + C911 + C1111 + 2C811 − 2C1011 )δ pqδ kl ++ (2C311 − C611 − C711 )δ pl δ kq11111γθ= (3C111 + 3C 211 + 2C311 + 2C 411 + C611 + C711 + C911 + C1111 )( δ kmδ nl + δ knδ ml − δ mnδ kl )C kmnl223θω111111111111C 11pkl = ( −3C1 + 3C 2 + C 6 − C 7 + C 9 − C11 ) Э pkl11ωγCijkql=111111= (C611 − C711 )( δ jk Эiql + δ ik Э jql − δ ij Эkql ) + (−C922 + C1122 )( δ jl Эkiq + δ il Эkjq − δ ij Эklq )223223114(4.5.1.2)Модели (4.3.12) и (4.5.1.1) в объемной части отличаются только значениямимодулей, входящих в тензоры модулей, соответственно в Cijmn , Cijkmnl и1111Cijmn, Cijkmnl.
Поэтому можно провести аналогию между ними, вынося ихразличие в название моделей: «модель поврежденных дислокациями средТупина» и «модель идеальных (бездефектных) сред Тупина».4.5.2. Модель сред Аэро-Кувшинского.Пусть в модели (4.5.1.1) тензор Тупина таков, что модули при слагаемыхпотенциальнойдеформацийэнергии,содержащих(компонентовкомпонентысимметричнойчастиградиентатензоратензорастесненнойдисторсии) равны нулю:11ωγ11γγ11γθθω=0= 0 C 11= 0 Ckl11θθ = 0 CkmnlCijkqlCijkmnlpkl = 0(4.5.2.1)Причем следует заметить следующее: не смотря на то, что (2C411 − C911 − C1111 ) ≠ 0 ,множителем при этой комбинации модулей служит дивергенция ротораперемещений, тождественно равная нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
