Диссертация (786079), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Общая модель среды с полями сохраняющихся дислокацийПусть кривизны Dijk в среде определены следующим образом:2∂3D0∂ 2 Di1 ∂Dij++Dijk =∂xk ∂x j ∂xi ∂xk ∂x j ∂xk(3.1)Здесь D 0 , Di1 , Dij2 - кинематические переменные нулевого, первого и второгорангов, которые в Главе_2 трактовались соответственно как потенциалинтегрируемой части перемещений, неинтегрируемая часть перемещений инеинтегрируемая(свободная)дисторсия.Можноубедиться,чтовсоответствии с (3.1) псевдотензор плотности дисклинаций Tijk тождественноравен нулю:∂Dijn∂xmЭnmk = Tijk ≡ 0(3.2)То есть (3.2) является необходимым и достаточным условием отсутствияполейдисклинацийврассматриваемойсреде.Сдругойстороныантисимметричная часть (3.1) определяет ненулевые поля сохраняющихсядислокаций. Действительно, сворачивая (3.1) с тензором Леви-Чивиты,получим ненулевой тензор плотности сохраняющихся дислокаций Де Витта:81Dinm Эnmj =∂Din2Эnmj = Ξ ij ≠ 0∂xmТаким образом, проверено, что в среде со связями (3.1) существуют полясохраняющихсядислокацийиотсутствуютполядисклинаций.Соответственно (3.2) является необходимым и достаточным условиеминтегрируемостиуравнений(3.1).Этоозначает,чтообобщенныесоотношения Коши для полного тензора дисторсии Dij могут быть полученыв виде квадратур уравнений (3.1)Dij =∂ 2 D 0 ∂Di1+ Dij2 = Dij1 + Dij2+∂x j ∂xi ∂x jDij1 =∂Ri∂x jRi =∂D 0+ Di1∂xi(3.3)Последующая квадратура Di =Mx∫Dij dx j дает определение вектора дефектныхM0перемещений Di и вектора дислокаций Di2 :Di =∂D 0+ Di1 + Di2∂xi(3.4)В разложении (3.4) Di =2Mx∫MDij2 dx j - дислокации второго сорта (три типа0сохраняющихся дислокаций).

Поле дефектных перемещений Di (3.4) можнопредставить как сумму непрерывной части перемещений Ri =∂D 0+ Di1 и поля∂xiразрывов перемещений Di2 , обусловленных сохраняющимися дислокациями.Di = Ri + Di2(3.5)Непрерывное поле дисторсии (3.3) также может быть представлено каксумма двух полей непрерывных дисторсий Dij1 =∂ 2 D 0 ∂Di1 ∂Ri+=∂x j ∂xi ∂x j ∂x j(соответственно - стесненной и свободной дисторсии):82и Dij2Dij = Dij1 + Dij2(3.6)Соотношение (3.1), которое является общим решением условия отсутствиядефектов третьего сорта (3.2), может быть представлено в таком же виде:1Dijk=∂Dij1∂ 2 Ri∂xk ∂x jDijk2 =образом,в=∂xkТаким∂Dij2∂xk1Dijk = Dijk+ Dijk2качестве(3.7)непрерывныхаргументовлагранжианаформулируемой теории могут быть выбраны: непрерывная часть вектораперемещений Ri в соответствии с (3.5), дисторсии двух сортов Dij1 , Dij2 всоответствии с (3.6) и кривизны двух сортов Dijk1 , Dijk2 в соответствии с (3.7).Здесь, также, следует учесть сформулированные выше связи между этимикинематическими переменными:Dij1 =∂Ri= Ri , j∂x j1=Dijk∂Dij1∂xk= Ri , jkDijk2 =∂Dij2(3.8)∂xkСвязи (3.8) являются кинематической моделью формулируемой среды.Возможная работа внутренних сил в рассматриваемой модели принимаетвид:δU = ∫∫∫+ ∫∫+∑∂Dij1∂Dij2∂Ri1122[σ δ ( D −) + σ ijk δ ( Dijk −) + σ ijk δ ( Dijk −)]dV +∂x j∂xk∂xk1ij1ij∂Dij1 *∂Dij2 *∂Ri *1122[a δ ( D −)δ jk + aijqδ ( Dijk −)δ qk + aijqδ ( Dijk −)δ qk ]dF +∂x j∂xk∂xk1ik∫1ij(3.9)∂D∂D∂R12− ij ) sn + bij2δ ( Dijn− ij ) sn ]ds = 0[b δ ( D − i ) s j + bij1δ ( Dijn∂x j∂xn∂xn11i21ijЗдесь ni - орт нормали к поверхности, si - орт касательной к ребруповерхности (если таковое существует), δ ij* = δ ij − ni n j - «плоский» тензор12Кронекера на поверхности среды, σ ij1 , σ ijn- неопределенные множители, σ ijnЛагранжа, являющиеся силовыми факторами, обеспечивающими выполнениесоответствующих кинематических связей (3.8) внутри объема среды,12- на поверхности среды, и bi1 , bij1 , bij2 - на ребрах поверхности среды.aik1 , aijk, aijkОбратим внимание: так как производные на поверхности определены только83в касательной плоскости, а на ребрах – только в направлении ортакасательной к ребру si , на поверхности используются только те связи,которые содержат «касательные» производные вида δ ij*∂ (...) / ∂x j , а на ребрах –производные вдоль ребра si ∂ (...) / ∂xi .Таким образом, модель (3.9) является наиболее общей моделью сред ссохраняющимися дислокациями.

В следующей Главе_4 будет показано, чтоэта модель приводит к теории, являющейся обобщением моделей Миндлинаи Тупина. Из неё, как частные случаи, могут быть получены как всеизвестные градиентные теории, так и ряд новых.3.3.2. «Простейшая» модель сред с сохраняющимисядислокациями.Для сред Папковича-Коссера зависимыми кинематическими переменнымиявляются вектор перемещений среды Ri , непрерывная и интегрируемая частьтензора дисторсии Dij1 , непрерывная (но неинтегрируемая) часть тензорадисторсии Dij2 и тензор плотности дислокаций («материнских» дефектов дляэтой среды): Ξ ij .Между ними существуют связи, которые определяют их различныекинематические свойства.Стесненная дисторсия Dij1 удовлетворяет однородным уравнениямПапковича:∂Din1Эnmj = 0∂xmСвободная дисторсия Dij2 удовлетворяет неоднородным уравнениямПапковича:∂Din2Эnmj = Ξ ij∂xm84Однородные уравнения Папковича интегрируются в общем виде с помощьювекторного потенциала Ri :Dij1 =∂Ri∂x jТаким образом, между 30 зависимыми степенями свободы:Ri- 3компоненты, Dij1 - 9 компонент, Dij2 - 9 компонент, Ξ ij - 9 компонентустановлены 18 кинематических связей: 9 несимметричных соотношенийКоши и 9 неоднородных уравнений Папковича.

В результате, в такойкинематическоймоделиимеетсядвенадцать((3+9+9+9)-(9+9)=12)независимых степеней свободы. Из несимметричных соотношений Коши всекомпоненты стесненной дисторсии Dij1 выражаются через производные откомпонентов вектора перемещений Ri . Точно так же, все компонентытензора дислокаций Ξ ij выражаются через производные от компонентовтензора свободной дисторсии Dij2 . Естественно считать поэтому, что Ri и Dij2- независимые степени свободы.

Выражение возможной работы внутреннихсил, обеспечивающих выполнение установленных связей, будет иметь вид:∫∫∫[σ ijδ ( Dij1 −∂D 2∂Ri) + mijδ (Ξ ij − in Эnmj )]dV = 0∂xm∂x j(3.10)Можно отметить, что модель такой среды может быть получена какнепосредственно (что и осуществлено в этом параграфе), так и как частныйслучай (3.9) при следующих упрощениях:σ ij1 = σ ij 1σ ijk = 0 2σ ijk = miq Э jkqaik1 = 0 1aijq = 0 2aijq = 0bi1 = 0 1bij = 0 2bij = 0Такая модель игнорирует существование независимых внутренних силовыхфакторов на поверхности тела и на ребрах поверхности.

В объеме тела такаямодель предполагает, что полный тензор моментных напряжений первогосорта σ ijk1 отсутствует, а второго сорта σ ijk2 сводится только к своейантисимметричнойпопоследним двум85индексамчасти.3.3.3. Когезионно-адгезионная модель среды.Так же, как и в классе моделей сред Коши, в средах Папковича-Коссераможно установить связи не только в 3D, но и в 2D. Учет в 2D соотношенийКоши приводит к появлению адгезионных свойств поверхности среды [24].Поэтому естественно ожидать, что учет в 2D неоднородных уравненийПапковичаприведеткпоявлениюдополнительныхповерхностныхвзаимодействий и свойств [25].

Здесь, конечно же, следует учесть только тенеоднородные уравнения Папковича, которые не содержат производных понормали к поверхности. Выражение возможной работы реактивных сил,обеспечивающих выполнение установленных связей как в 3D, так и в 2Dбудет иметь вид:∫∫∫+ ∫∫∂Din2∂Ri[σ ijδ ( D −) + mijδ (Ξ ij −Эnmj )]dV +∂xm∂x j1ij∂D 2∂R[aik δ (d ij − i )(δ jk − n j nk ) + miδ (Ξ ij − in Эnmj )n j ]dF = 0∂xm∂x j(3.11)Помимо непосредственного вывода этой модели, осуществленного в этомпараграфе, её также можно сформулировать как частный случай модели (3.9).Для этого следует упростить кинематическую модель, обнуляя «лишние»реактивные силовые факторы:σ ij1 = σ ij 1σ ijk = 0 2σ ijk = miq Э jkqaik1 = aik 1aijq = 0 2 *aijqδ qk = mi Э jkp n pbi1 = 0 1bij = 0 2bij = 0Такая модель игнорирует существование независимых внутренних силовыхфакторов на ребрах поверхности.

На поверхности тензор адгезионных1отсутствуют, а второго сорта aijq2моментных напряжений первого сорта aijqсводится к псевдовектору адгезионных моментов mi . В объеме тела такаямодель предполагает, что полный тензор моментных напряжений первого86сорта σ ijk1 отсутствует, а второго сорта σ ijk2 сводится только к своейантисимметричной по последним двум индексам части.3.3.4. «Полная» модель среды с сохраняющимися дислокациями.Попытка наделить ребра поверхности индивидуальными свойствами в средахс сохраняющимися дислокациями по аналогии с реберной физикой средКоши приводит к тому, что следует выделить в системе уравненийПапковича только те уравнения, которые не содержат производных в двухортогональных к ребру направлениях.

Таких уравнений в системе уравненийПапковича нет. Следовательно, «полная» кинематическая модель сред ссохраняющимисядислокациямибудетсодержатьв качествесвязейсоотношения Коши в 3D+2D+1D и соотношения Папковича в 3D+2D.∫∫∫[σ ijδ ( Dij1 −+ ∫∫ [aik δ (d ij −+∑∫∂Ri∂D 2) + mijδ (Ξ ij − in Эnmj )]dV +∂x j∂xm∂Ri∂D 2)(δ jk − n j nk ) + miδ (Ξ ij − in Эnmj )n j ]dF +∂x j∂xmbiδ ( Dij1 −(3.12)∂Ri) s j ds = 0∂x jПомимо непосредственного вывода этой модели, осуществленного в этомпараграфе, её так же, как и модели (3.10), (3.11), можно сформулировать какчастный случай модели (3.9). Для этого следует упростить кинематическуюмодель, сокращая спектр реактивных силовых факторов:σ ij1 = σ ij 1σ ijk = 0 2σ ijk = miq Э jkqaik1 = aik 1aijq = 0 2 *aijqδ qk = mi Э jkp n pbi1 = bi 1bij = 0 2bij = 0Такая модель игнорирует существование менисковых напряжений первого bij1и второго сорта bij2 на ребрах поверхности.

Характеристики

Список файлов диссертации