Диссертация (786079), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Они строятся в видеразложения по базисным тензорам четвертого ранга, которые делятся на тригруппы. В первую входят базисные тензоры, построенные как произведениядвух «плоских» тензоров Кронекера со всеми возможными перестановкамииндексов.Вовторуювходятбазисныетензоры,построенныекакпроизведения «плоских» тензоров Кронекера и произведения двух векторовединичнойнормалисовсемивозможными95перестановкамииндексов. В третью группу базисных тензоров, состоящую из единственноготензора,образованногопроизведениемчетырехвекторовединичнойнормали.
Условие (4.1.18) при a ≠ b приводит к тому, что тензоры A12ijmnи A21ijmnвыражаются через один и тот же набор десяти модулей. Условие (4.1.18) приa = b сокращает количество модулей в каждом тензоре с десяти до восьми.ab*Aijmn= λabF δ ij*δ mn+ ( µ abF + χ abF )δ im* δ *jn + ( µ abF − χ abF )δ in* δ *jm +*+ α qb (ni nnδ *jm + nm n jδ in* ) + β ab (ni n jδ mn+ nm nnδ ij* ) + δ abF ni nmδ *jn + B abδ im* n j nn + (4.1.20)+ Aab ni n j nm nnabПодробный вывод структуры и исследование свойств тензоров Aijmnприведенв Приложении_5.abстроятся в виде разложения по базиснымТензоры модулей пятого ранга Aijmnlтензорам пятого ранга, которые делятся на две группы. В первую входятбазисные тензоры, построенные как произведения «плоских» тензоровКронекера и троек векторов единичной нормали со всеми возможнымиперестановками индексов.
Во вторую входят базисные тензоры, построенныекак произведения двух «плоских» тензоров Кронекера и одного вектораединичной нормали со всеми возможными перестановками индексов. Вобщем случае произвольного трансверсально изотропного тензора пятогоранга существует еще третья группа базисных тензоров, состоящая изединственноготензора,образованногопроизведениемпятивекторовединичной нормали. Однако, этот базисный тензор не войдет в структуруab, так как вводит зависимость плотности потенциальной энергии отAijmnlкривизн,связанныхпротиворечитс(4.1.4).нормальнойДействительно,производнойпустьэтотот дисторсий,базисныйчтотензорприсутствует в структуре поверхностной плотности потенциальной энергии.Тогдаегосверткасдисторсиямиикривизнамидаст:bbni n j nm nn nl Dija Dmnl= ni n j nm nn Dija ( Dmnlnl ) .
Наличие выражения в круглых скобках вповерхностной плотности потенциальной энергии противоречит (4.1.4).Таким образом, все тензоры пятого ранга имеют структуру:96abAijmnl=*= G1ab niδ *jmδ nl* + G2ab niδ *jnδ lm* + G3ab niδ *jlδ mn+*+ G4ab n jδ im* δ nl* + G5ab n jδ in* δ lm* + G6ab n jδ il*δ mn+(4.1.21)+ G7ab nmδ *jiδ nl* + G8ab nmδ *jnδ li* + G9ab nmδ *jlδ in* +*+ G10ab nnδ *jmδ il* + G11ab nnδ *jiδ lm* + G12ab nnδ *jlδ mi+*+ G13abδ il*n j nm nn + G14abδ *jl ni nm nn + G15abδ mlni n j nn + G16abδ nl* ni n j nmabПодробный вывод структуры и исследование свойств тензоров Aijmnlприведенв Приложении_6.Тензоры модулей шестого ранга строятся в виде разложения по базиснымтензорам шестого ранга, которые являются произведениями «плоских»тензоровКронекераи/иливекторовединичнойнормалисовсемивозможными перестановками индексов. Эти базисные тензоры можноразделить на три группы.
В первую входят базисные тензоры, построенныекак произведения трех «плоских» тензоров Кронекера со всеми возможнымиперестановками индексов. Во вторую входят базисные тензоры, построенныекак произведения двух «плоских» тензоров Кронекера и двух векторовединичной нормали со всеми возможными перестановками индексов. Втретью входят базисные тензоры, построенные как произведения одного«плоского» тензора Кронекера и четырех векторов единичной нормали совсемивозможнымипроизвольногоперестановкамитрансверсальноиндексов.изотропногоВтензораобщемслучаешестогорангасуществует еще четвертая группа базисных тензоров, состоящая изединственного тензора, образованного произведением шести векторовединичной нормали. Однако этот базисный тензор не войдет в структуруab, так как вводит зависимость плотности потенциальной энергии отAijkmnlкривизн,связанныхснормальнойпроизводнойот дисторсий,чтопротиворечит (4.1.4).
Здесь можно привести те же аргументы, что и приabвыводе структуры тензоров Aijmnl. Соответственно, и второе из условий(4.1.19) обосновывается аналогичным образом. Первое из условий (4.1.19)97при a ≠ b приводит к тому, что тензоры A12ijkmnlи A21ijkmnlвыражаются через один итот же набор десяти модулей. При a = b оно сокращает количество модулей вкаждом из тензоров с семидесяти шести до сорока восьми, второе из условий(4.1.19) – с сорока восьми до двадцати четырех.***abAijkmnl= A1ab (δ ij*δ kmδ nl* + δ mnδ li*δ *jk ) + A2ab (δ ij*δ kn* δ ml* + δ mnδ lj*δ ik* ) +* * **+ A3ab (δ ik* δ *jmδ nl* + δ mlδ niδ jk ) + A4ab (δ in* δ kmδ *jl + δ mj* δ li*δ nk* ) +**+ A5abδ ij*δ kl* δ mn+ A6abδ ik* δ *jnδ ml+ A7abδ im* δ kj* δ nl* + A8abδ im* δ nj* δ kl* +*+ A9abδ im* δ lj*δ nk* + A10abδ in* δ lk* δ *jm + A11abδ il*δ kmδ nj* +**+ A12ab (ni n jδ kmδ nl* + nm nnδ li*δ *jk ) + A13ab (ni n jδ kn* δ ml* + nm nnδ lj*δ ik* ) + A14ab (ni n jδ kl* δ mn+ nm nnδ lk* δ ij* ) +*+ A15ab (ni nnδ kmδ *jl + nm n jδ li*δ nk* ) + A16ab (ni nnδ ml* δ *jk + nm n jδ ik* δ nl* ) + A17ab (ni nnδ lk* δ *jm + nm n jδ kl* δ ni* ) ++ A18ab ni nmδ kj* δ nl* + A19ab ni nmδ nj* δ kl* + A20ab ni nmδ lj*δ nk* +**+ A21ab n j nnδ ik* δ ml+ A22ab n j nnδ im* δ kl* + A23ab n j nnδ il*δ km++ A24abδ kl* ni n j nm nn(4.1.22)Подробный вывод структуры и исследование свойств тензоровabAijkmnlприведен в Приложении_7.С учетом (4.1.17), (4.1.20) и (4.1.22), уравнения закона Гука для силовыхфакторов на поверхности среды можно получить из обобщенных формулГрина (4.1.8):2∂U F∂ 2 Rm∂Dmn11 ∂Rm1112212= Aijmn+ Aijmnl+ Aijmn Dmn + Aijmnla =∂Dij1∂xn∂xl ∂xn∂xl1ijaij2 =2∂U F∂ 2 Rm21 ∂Rm2122222 ∂Dmn=+++AAADAijmnijmnlijmn mnijmnl∂Dij2∂xn∂xl ∂xn∂xl2∂U F∂Rm∂ 2 Rm∂Dmn111121212= Amnijk+ Aijkmnl+ Amnijk Dmn + Aijkmnla =1∂Dijk∂xn∂xl ∂xn∂xl(4.1.23)1ijk2=aijk2∂U F∂Rm∂ 2 Rm∂Dmn122122222=+++AAADAmnijkijkmnlmnijk mnijkmnl∂Dijk2∂xn∂xl ∂xn∂xlСоответственно, лагранжиан L формулируемой теории имеет вид:L = A−1abbabbDija DmnDijka Dmnl[Cijmn]dV −+ Cijkmnl∫∫∫21abbabbabb]dFDija DmnDija DmnlDijka Dmnl− ∫∫ [ Aijmn+ 2 Aijmnl+ Aijkmnl298(4.1.24)Вариационное уравнение в силовых факторах с учетом свойства (4.1.4):11222VδL = ∫∫∫ [(σ ij1 , j − σ ijk,kj + Pi )δDi + ( −σ ij + σ ijk ,k )δDij ]dV +11111+ ∫∫ {[ Pi F − (σ ij1 − σ ijk,k ) n j + [σ ijk nk + aij − aijk ,q (δ qk − nq nk )], p (δ pj − n p n j )]δDi +2211122+ (−σ ijknk − aij1 + aijk,k ) n jδ ( Di , p n p ) − [σ ijk nk + aij − aijk ,q (δ qk − nq nk )]δDij }dF −−∑∫(4.1.25)1111{[σ ijkv j nk + aij1 v j − aijk,q v j (δ qk − nq nk ) − aijk ,q sq s j vk ]δDi +1121+ aijkv j vk δ ( Di1,q vq ) + aijk(v j nk + n j vk )δ ( Di1,q nq ) + aijkvk δDij2 }ds − ∑ aijks j vk δDi1 = 0Вариационное уравнение в кинематических переменных:δL =11111221221V= δ ∫∫∫ {(CijmnDm1 , nj − CijkmnlDm1 , nlkj + CijmnDmn, j − Cijkmnl Dmn , lkj + Pi )δDi +21212222222+ (−CijmnDm1 , n + CijkmnlDm1 , nlk − CijmnDmn+ CijkmnlDmn, lk )δDij }dV +1111122122+ ∫∫ {[ Pi F − (CijmnDm1 , n − CijkmnlDm1 , nlk + CijmnDmn− CijkmnlDmn, lk ) n j +1111111221221221+ ( AijmnDm1 , n + Cijkmnlnk Dm1 , nl − AijkmnlDm1 , nlk + AijmnDmn+ Cijkmnlnk Dmn, l − Aijkmnl Dmn , lk ) , q (δ qj − nq n j )]δDi −1111111221221221− [ AijmnDm1 , n + Cijkmnlnk Dm1 , nl − AijkmnlDm1 , nlk + AijmnDmn+ Cijkmnlnk Dmn, l − Aijkmnl Dmn , lk ]n jδ ( Di , q nq ) +212222112222112222+ [−(CijkmnlDm1 , nl + CijkmnlDmn, l ) nk − Aijmn Dmn − Aijmn Dmn + Aijkmnl Dm , nlk + Aijkmnl Dmn , lk ]δDij }dF + ...
= 0(4.1.26)Максимально полной и сложной моделью сред с сохраняющимисядислокациями является общая модель среды с полями сохраняющихсядислокаций (4.1.24). Ниже будут рассмотрены её частные случаи. Частныеслучаи определяются соответствующим упрощением структуры тензоровмодулей с помощью постулирования связей между модулями. Это приводитк сокращению количества независимых модулей и упрощению структурыпотенциальной энергии в лагранжианах частных моделей.
Такой подходпозволяетсоздать«конструктор»моделейдефектныхиидеальных(бездефектных) сред с определенным набором физических свойств.4.2.«Конструктор» моделей сред.Будем трактовать модель (4.1.24) как пространство моделей сред [33],размерность f которого определена количеством модулей, входящих в99abababababсостав тензоров Cijmn. Координатным линиям в таком, Cijkmnl, Aijmn, AijmnlAijkmnlпространстве соответствуют среды с единственным ненулевым модулем.Прямые линии, не совпадающие с координатными линиями, определяютсреду, для которой существует ( f − 1) линейная связь между модулями.Соответственно, кривые линии в таком пространстве определяют среду, длякоторой существует ( f − 1) нелинейная связь между модулями. В любом изперечисленныхтрехслучаевможноговоритьотом,чтосреды,соответствующие точкам произвольной кривой в пространстве моделей,обладают единственным механическим свойством.
Примером может служитьподмножество сред, в рамках модели классической теории упругости, сфиксированным коэффициентом Пуассона. Различие элементов этогоподмножества определяет единственный механический параметр таких сред– модуль Юнга. Он полностью определяет все механические свойствавыделенного подмножества сред. В свою очередь, модель классическойтеории упругости определяется плоскостью в веденном пространствемоделей сред с независимыми координатами/модулями – коэффициентамиЛаме µ , λ . Переход от коэффициентов Ламе к техническим модулям, кпримеру: к модулю Юнга и коэффициенту Пуассонанелинейным преобразованием координат воE, v ,являетсявведенном пространствемоделей.
При этом исходная плоскость отображается на некоторуюповерхность. Тем не менее, модели сред, соответствующие точкамполученной поверхности, являются по-прежнему моделями сред с двумянезависимыми механическими характеристиками. Исследуя характерныеподмножествапространствамоделей,можноизучитьотдельныемеханические свойства или набор свойств и связать их с соответствующимимодулями. И наоборот, зная, какие модули определяют те или иныемеханические свойства, можно конструировать модель среды, удерживая в(4.1.24) только те модули, которые определяют интересующий исследователянабор механических свойств. Примеры анализа отдельных механических100свойств в частных моделях будут приведены в следующих главах, послеформулировки в этой главе соответствующих частных моделей.Модель поврежденных дислокациями сред Тупина.4.3.Общая модель среды с полями сохраняющихся дислокаций (4.1.24) приводитк связанной системе из трех уравнений равновесия сил, третьего порядкаотносительно дисторсий, и девяти уравнений равновесия моментов, второгопорядка относительно дисторсий (4.1.26).
Поэтому является актуальнымвопрос об условиях, при которых связанная задача может быть представленакак распадающаяся на более простые подсистемы. Представляется логичнымпопытатьсязаписатьтриуравненияравновесиясилотносительноперемещений с правой частью, зависящей от некоторой линейнойкомбинации свободной и стесненной дисторсии, а девять уравненийравновесия моментов – относительно только этой (пока неизвестной)линейной комбинации свободной и стесненной дисторсий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
