Диссертация (786079), страница 14
Текст из файла (страница 14)
На поверхности тензор1адгезионных моментных напряжений первого сорта aijqотсутствует, а87второго сорта aijq2 сводится к псевдовектору адгезионных моментов mi . Вобъеме тела такая модель предполагает, что полный тензор моментныхнапряжений первого сорта σ ijk1 отсутствует, а второго сорта σ ijk2 сводитсятолько к своей антисимметричной по последним двум индексам части.3.4.Заключение.Здесь следует обратить внимание на то, что учет адгезионных и менисковыхсвойстввкогезионныхмоделяхможноосуществлятьвразнойпоследовательности.Первая последовательность заключается в том, что кинематическая модельопределяет сразу дефектную среду и последовательно уточняется в 3D, в3D+2D, в 3D+2D+1D.Вторая последовательность заключается в том, чтобы выбрать в качествефундамента модель идеальной среды («классической» или градиентной) в3D+2D+1D.
Далее дополнять её связями, определяющими существованиедислокаций соответственно в 3D, в 3D+2D, в 3D+2D+1D.88ГЛАВА 4ПОСТРОЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ.В главе сформулирован спектр моделей сред c полями сохраняющихсядислокаций. В качестве максимально полной и сложной модели сред ссохраняющимися дислокациями рассмотрена общая модель среды с полямисохраняющихся дислокаций [23]. Все остальные модели получены как еёчастныеслучаи.Частныеслучаиопределяютсясоответствующимупрощением структуры тензоров модулей, что приводит к отсутствию влагранжианах частных моделей того или иного слагаемого в потенциальнойэнергии.
В свою очередь, такой подход позволяет создать «конструктор»моделей дефектных и идеальных (бездефектных) сред с определеннымнабором физических свойств.1. Рассмотрены строгие частные модели сред с полями сохраняющихсядислокаций без адгезионных свойств:- модель поврежденных дислокациями сред Тупина,- «классическая» модель Миндлина,- модель сред с невзаимодействующими между собой типами полейдислокаций,- «простейшая» модель сред с сохраняющимися дислокациями,- модель сред с ω -дислокациями (теория сред Коссера),- модель сред с θ -дислокациями (теория пористых сред),- модель сред с γ -дислокациями,- алгебраическая модель сред с сохраняющимися дислокациями.2. Как строгие частные модели сред с сохраняющимися дислокациямирассмотрен спектр градиентных моделей идеальных (бездефектных) сред:- модель идеальных (бездефектных) сред Тупина,- модель сред Аэро-Кувшинского,- модель сред Джеремилло,89- «простейшая» модель когезионных взаимодействий.3.
Рассмотрен спектр моделей сред с различными адгезионными свойствамиповерхностейсубывающейстепеньюсложности.Последовательнорассмотрены:- модель «антисимметрично-градиентной» адгезии,- модель «симметрично-градиентной» адгезии,-«упрощенная»модельсградиентнымиадгезионнымисвойствамиповерхности, включающую и идеальную, и «поврежденную» адгезии, ивзаимодействие между ними,- модель с «поврежденной» и идеальной адгезией, с учетом взаимодействиямежду ними,- модель с идеальными адгезионными свойствами поверхности.4. Дано объяснение нестабильности экспериментальных значений модулейсреды в градиентных моделях.4.1.Общая модель среды с полями сохраняющихся дислокаций.В Главе_2 было дано определение кинематических переменных второго итретьего ранга с различными свойствами интегрируемости.
Этим свойствамбыло дано название - «сорт». Дисторсии первого сорта Dij1 интегрируемы, иформулыЧезаро,записанныеотносительноних,даютвыражениенепрерывной части перемещений (перемещения первого сорта Di1 ). В своюочередь, дисторсии второго сорта Dij2 не интегрируемы, поэтому формальнозаписанные относительно них формулы Чезаро дают выражение разрывноговекторного поля перемещений второго сорта Di2 (дислокаций). Выделениесвойства «сорт» имеет большое значение, так как вариационные постановкине допускают использования разрывных полей в качестве аргументовфункционалов.
В Главе_3 сформулирован и применен «кинематический»90вариационный принцип, который дает возможность последовательно идостаточно формально учитывать все необходимые кинематические связи,свойственные изучаемой среде, в том числе и связи, обусловленныетребованием непрерывности. В соответствии с (3.9) возможная работавнутренних сил, согласно «кинематическому» вариационному принципу,преобразуется к линейной вариационной форме, и определяются структура иаргументы плотностей потенциальных энергий:δU = ∫∫∫ [+ ∫∫ [(∂σ ij1∂x jδRi + (1∂σ ijk∂xk+ σ ij1 )δDij1 +∂σ ijk2∂xk11δDij2 + σ ijkδDijk+ σ ijk2 δDijk2 ]dV +∂a1∂a 2∂aik1 *1δ jk − σ ij1 n j )δRi + ( ijq δ qk* + aik1 δ *jk − σ ijknk )δDij1 + ( ijq δ qk* − σ ijk2 nk )δDij2 +∂x j∂xk∂xk112δ ( Dijkδ qk* ) + aijqδ ( Dijk2 δ qk* )]dF ++ aijq+∑∫[((4.1.1)∂b1∂b 2∂bi112s j − aik1 vk )δRi + ( ij sn + bi1s j − aijqvq )δDij1 + ( ij sn − aijqvq )δDij2 +∂x j∂xn∂xn12sn ) + bij2δ ( Dijnsn )]ds ++ bij1δ ( Dijn+ ∑ [−bi1δRi − bij1δDij1 − bij2δDij2 ] = 0Еслиполученнаялинейнаявариационнаяформаинтегрируема,тосуществует такой потенциал (потенциальная энергия), что его вариацияравна возможной работе внутренних сил в форме (4.1.1).
Следовательно, по(4.1.1) можно выяснить структуру потенциальной энергии U :U = ∫∫∫U V dV + ∫∫ U F dF + ∑ ∫ U S ds + ∑ U P(4.1.2)Здесь: U V - объёмная плотность потенциальной энергии,U F - поверхностная плотность потенциальной энергии,U S - погонная плотность потенциальной энергии ребер (если они есть),U P - потенциальная энергия угловых точек (если они есть).Как уже было неоднократно показано [7], [21], [24-32] вектор перемещенийдолжен быть исключен из списков аргументов плотностей, чтобы впредельном случае неградиентной бездефектной среды потенциальнаяэнергия совпадала с выражением потенциальной энергии классическойтеории упругости.
В соответствии с (4.1.1) и этой оговоркой, аргументами91плотностей в общем случае являются:1UV = UV ( Dij1 , Dij2 , Dijk, Dijk2 )(4.1.3)1U F = U F ( Dij1 , Dij2 , Dijqδ qk* , Dijq2 δ qk* )(4.1.4)1U S = U S ( Dij1 , Dij2 , Dijksk , Dijk2 sk )(4.1.5)U P = U P ( Dij1 , Dij2 )(4.1.6)Дляфизическилинейныхсредплотностипотенциальныхэнергийзаписываются: как квадратичная форма независимых кинематическихпеременных и их градиентов внутри тела с изотропными механическимисвойствами, а на поверхности, ребрах и угловых точках – как квадратичныеформы с соответствующей анизотропией.Для каждой плотности потенциальной энергии можно записать своиформулы Грина, определяющие силовые факторы соответственно: в объёметела, на поверхности, ребрах и угловых точках. Для объемных силовыхфакторов формулы Грина имеют вид:σ ij1 =σ1ijn∂UV∂Dij1∂UV=1∂Dijnσ ij2 =σ2ijn∂UV∂Dij2(4.1.7)∂UV=2∂DijnФормулы Грина (4.1.7) естественным образом дают возможность определить«сорт» и ранг силовых факторов по «сорту» и рангу кинематическойпеременной.
Здесь для обозначения двух сортов напряжений σ ij1 , σ ij2 и12, σ ijnмоментных напряжений σ ijnиспользованы те же символы, что и длясоответствующих множителей Лагранжа, так как множители Лагранжа болеенигде не будут использованы. То же самое касается обозначений12адгезионнных напряжений aij1 , aij2 и моментов aijn:, aijnaij1 =∂U F∂Dij1∂U Fa =1∂Dijn1ijnaij2 =∂U F∂Dij2(4.1.8)∂U Fa =2∂Dijn2ijn92По тем же причинам для «реберных» силовых факторов использованыобозначения bij1 , bij2 , bij1* , bij2* :bij1 =∂U S∂Dij1bij2 =∂U Sb =1∂Dijnsn∂U S∂Dij2(4.1.9)∂U Sb =2∂Dijnsn1*ij2*ijСпектр силовых факторов в угловых точках:f ij1 =∂U P∂Dij1Такимf ij2 =∂U P∂Dij2образом,«кинематического»(4.1.10)следуяалгоритмувариационногопостроенияпринципа,моделивдостаточнорамкахформальнополучена структура потенциальной энергии (4.1.2)-(4.1.6), формулы Грина исиловая модель формулируемой теории (4.1.7)-(4.1.10), соответствующиевыбранной кинематической модели (3.4).Далее,вцеляхупрощения,будутрассматриватьсямоделибезиндивидуальных физических свойств ребер и угловых точек.Уравнения закона Гука в объеме.
В предположении физическойлинейности уравнений закона Гука, объёмная плотность потенциальнойэнергииUVдолжнабытьположительноопределеннойизотропнойквадратичной формой своих аргументов.abbabb2UV = CijmnDija Dmn+ CijkmnlDijka Dmnl(4.1.11)Здесь индексы сортности a, b пробегают значения 1, 2 (по количеству сортовдефектов: интегрируемая и неинтегрируемая дисторсииDij1 , Dij2и ихградиенты Dijk1 = Dij1 ,k , Dijk2 = Dij2,k ).Тензорымодулейдолжныудовлетворятьусловиямсуществованияпотенциальной энергии:abbaCijmn= Cmnij(4.1.12)abbaCijkmnl= Cmnlijk(4.1.13)Тензоры модулей четвертого ранга строятся в виде разложения по базисным93тензорам четвертого ранга, которые являются произведениями пары тензоровКронекера со всеми возможными перестановками индексов. Условие (4.1.12)при a ≠ b сокращает количество тензоров с четырех до трех.abCijmn= λabδ ijδ mn + ( µ ab + χ ab )δ imδ jn + ( µ ab − χ ab )δ inδ jm(4.1.14)Тензоры модулей шестого ранга строятся в виде разложения по базиснымтензорам шестого ранга, которые являются произведениями троек тензоровКронекера со всеми возможными перестановками индексов.
Условие (4.1.13)1221и Cijkmnlвыражаются через один и тотa ≠ b приводит к тому, что тензоры Cijkmnlже набор пятнадцати модулей. При этом структура тензоров остается разной.При a = b условия (4.1.13) сокращают количество модулей в каждом изтензоров с пятнадцати до одиннадцати.abCijkmnl== C1ab (δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk ) + C2ab (δ ijδ knδ ml + δ mnδ ljδ ik ) ++ C3ab (δ ikδ jmδ nl + δ mlδ niδ jk ) + C4ab (δ inδ jlδ km + δ mjδ nkδ li ) +(4.1.15)+ C5abδ ijδ klδ mn + C6abδ ikδ jnδ ml + C7abδ imδ jkδ nl + C8abδ imδ jnδ kl ++ C9abδ imδ jlδ nk + C10abδ inδ mjδ kl + C11abδ ilδ jnδ mkabПодробный вывод структуры и исследование свойств тензоров Cijkmnlприведен в Приложении_3.С учетом (4.1.11), (4.1.14) и (4.1.15), уравнения закона Гука для силовыхфакторов в объеме среды можно получить из обобщенных формул Грина(4.1.7):σ ij1 =σ1ijk∂U V11 ∂Rm122= Cijmn+ CijmnDmn1∂Dij∂xn2∂U V∂ 2 Rm∂Dmn1112==C+Cijkmnlijkmnl1∂Dijk∂xl ∂xn∂xlσ ij2 =σ2ijk∂U V21 ∂Rm222= Cijmn+ CijmnDmn2∂Dij∂xn2∂U V∂ 2 Rm∂Dmn2221==C+Cijkmnlijkmnl∂Dijk2∂xl ∂xn∂xl(4.1.16)Алгоритм построения поверхностной плотности потенциальной энергии U Fаналогичен алгоритму построения объёмной плотности потенциальнойэнергии U V .Уравнения закона Гука на поверхности.
В предположении физическойлинейности уравнений закона Гука,поверхностная94плотностьпотенциальной энергии U Fдолжна быть положительно определеннойтрансверсально-изотропной квадратичной формой своих аргументов. Причемв соответствии с (4.1.4), в отличие от (4.1.3), плотность потенциальнойэнергии U F может зависеть не только от самих аргументов Dija , Dijka , но и отих сверток с единичным вектором нормали к поверхности. В соответствии ссвертки(4.1.4)Dijka nkневходятвсписокаргументовплотностипотенциальной энергии U F . Действительно, представляя тензоры кривизн ввидеразложенияaDijka = ( Dijqnq )nk + d ijka , d ijka nk = 0 ,можноубедиться,чтосоответствии с (4.1.4) Dijka δ kp* = d ijka δ kp* , так как nk δ kp* ≡ 0 . Таким образом, в общемслучае структура U F имеет вид:abbabbabb2U F = AijmnDija Dmn+ 2 AijmnlDija Dmnl+ AijkmnlDijka DmnlТензорымодулейдолжныудовлетворять(4.1.17)условиямсуществованияпотенциальной энергии:abba= AmnijAijmn(4.1.18)abbaAijkmnl= AmnlijkababAijkmnlnl = Aijkmnlnk = 0(4.1.19)Второе из условий (4.1.19) вытекает из требования (4.1.4), так как впротивном случае, в выражении поверхностной плотности потенциальнойэнергии (4.1.17) появились бы слагаемые, содержащие Dijqa nq .abстроятся в виде разложения поТензоры модулей четвертого ранга Aijmnбазисным тензорам четвертого ранга, которые являются произведениями«плоских» тензоров Кронекера δ ij* = (δ ij − ni n j ) и/или тензоров вида (ni n j ) совсеми возможными перестановками индексов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
