Диссертация (786079), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Эффективныминструментом для этой цели является приведение объемной плотностипотенциальной энергии к каноническому виду. Действительно, каноничностьприводит к тому, что относительно аргументов канонической квадратичнойформы соответствующие уравнения Эйлера всегда дают распадающуюсясистему.Соответственно,еслиудастсяодновременнособъемнойплотностью потенциальной энергии привести к каноническому виду иповерхностную плотность потенциальной энергии (с теми же аргументами),разделятся и краевые задачи. Представим плотности потенциальных энергийв (4.1.24) в виде канонических квадратичных форм.1011{Cijmn Ri , j Rm ,n + Cijkmnl Ri , jk Rm ,nl +2 ∫∫∫22*22*+ CijmnDij* Dmn+ Cijkmnl( Dij*,k + aijkdfg Rd , fg )( Dmn,l + a mnlstu Rs ,tu )}dV −L = A−−(4.3.1)11111*1*222*222*{ Aijmn DmnDij1 + AijkmnlDijkDmnl+ AijmnDij2* Dmn+ AijkmnlDijk2* Dmnl}dF∫∫2В качестве новой кинематической переменной здесь введен тензорэффективной дисторсии второго сорта Dij* .

Тензор эффективных кривизнвторого сорта Dijk* в объеме среды и тензоры Dij2* , Dijk1* и Dijk2* на поверхностисреды определены через тензор эффективной дисторсии второго сорта Dij*следующими соотношениями:Dij* = aijcd Rc , d + Dij2*Dijk= aijkdfg Rd , fg + Dij*, kFFDij2* = aijcdRc , d + aijcduRc , du + Dij*(4.3.2)F1*= g pqijkDijkR p , q + Ri , jkFFFDijk2* = bijkhrRh , r + aijkpqrR p , qr + cijkpqD*pq + Dij*, kТензоры модулей, фигурирующие в определениях (4.3.2), являютсярациональными функциями исходных тензоров модулей. Соотношения,приведенные далее, раскрывают связь между ними.−22−22−22−22Введены тензоры податливостей Cabcd, как решения линейных, Cabcmnl, Aabcd, Aabcmnlалгебраических систем:22−22CijabCabcd= δ icδ jd 22−22CijkabcCabcmnl = δ imδ jnδ kl22−22 AijabAabcd= δ icδ jd 22−22 Aijkabc Aabcmnl = δ imδ jnδ klАналогичным образом будут определяться и другие обратные тензоры.Так же как и в [27], даны определения тензоров поврежденных модулей вобъеме:−22 21aijcd = CijabCabcd1 − 22 212121− 22a ijkdfg = CijkabcCabcdfg − Cijab (Cabdf δ kg + Cabdgδ kf )2112121− 22Cijmn = CijmnCabcdCcdmn− Cijab1121− 2221Cijkmnl = CijkmnlC pqrabcCabcmnl− CijkpqrНаповерхностисредыданы определения102(4.3.3)тензоровмодулей,поврежденныхдислокациями.Поврежденностьдислокациямибудемобозначать чертой над соответствующим тензором модулей:111112−2212 AijmnAabcdfgAmndfg)= ( Aijmn− Aijabc 121212− 2222 Aijmn = ( Aijmn − Amnabc Aabcdfg Aijdfg ) 222222− 2222 Aijmn = ( Aijmn − Aijabc Aabcdfg Amndfg ) 111112− 2221 Aijmnl = ( Aijmnl − Aijabc Aabcdfg Adfgmnl ) 212122− 2221 Aijmnl = ( Aijmnl − Aijdfg Aabcdfg Aabcmnl ) A 11 = ( A11 − A21 A−22 A21 )ijkmnlijkabc abcdfg dfgmnl ijkmnl(4.3.4)На поверхности среды даны определения тензоров модулей, поврежденныхразрыхлением.

Поврежденность разрыхлением будем обозначать двойнойчертой над соответствующим тензором модулей:− 22 12121111 Aijmn− Aijab= AijmnAcdmnAabcd− 22 12112111 Aijmnl= Aijmnl− AabmnlAcdijAabcd 11− 22212111 Aijkmnl = Aijkmnl − Aabijk Aabcd Acdmnl−11111111 Aijmn = Aijmn − Aijabc Aabcdfg Amndfg(4.3.5)Наконец, тензоры модулей, входящие в выражения (4.3.2) для эффективныхкинематических переменных, определены следующим образом:−22 12−22 21Faijcd= AijabAabcd − CijabCabcd F− 22 21aijcdu = Aijab Aabcdu F− 22− 22 2121aijkpqr = Aijkabc Aabcpqr − Cijab Cabpqδ kr F− 22− 22− 22122221bijkhr = Aijkabc Ahrabc − Aijkabc ApqabcC pqfg C fghrc F = A−22 A22ijkabc pqabc ijkpq F−1111 g pqijk = Aijkabc Apqabc(4.3.6)21таковы, чтоСделаем предположение о том, что модули тензора Cabcdfgвыполняется условие:−2221−22 21− Cijabaijkmnl = (CijkabcCabcmnlCabmnδ lk ) = 0(4.3.7)Тогда разрешающая система уравнений распадается на две подсистемы:относительно перемещений и относительно эффективной дисторсии.103Cijmn Rm ,nj − Cijkmnl Rm ,nlkj + PiV = 0(4.3.8)22*22*CijmnDmnDmn− Cijkmnl,lk = 02122211212, Ahrabc, Aijmnl, Apqabcи Aabcdfgтаковы,В случае, когда при этом еще и тензоры Aabcdчто выполняются условия:F−22 12aijcd= AijabAabcd − aijcd = 0F− 22 21aijcdu= AijabAabcdu = 0F− 2221aijkpqr= AijkabcAabcpqr− aijpqδ kr = 0(4.3.9)F− 2212− 2222bijkhr= AijkabcAhrabc− AijkabcApqabca pqhr = 0F− 2222cijkpq= AijkabcApqabc=0разделяются и краевые задачи.

Условия (4.3.9) можно выполнить всегда иединственным образом. Действительно, первое из условий (4.3.9) являетсясистемой восьми линейных алгебраических уравнений относительно восьми12компонент тензора Aabcdс определителем, отличным от нуля. Третье изусловий(4.3.9)являетсясистемойдвадцатичетырехлинейныхалгебраических уравнений относительно двадцати четырех компонент21с определителем, отличным от нуля. Второе, четвертое и пятоетензора Aabcdfgусловие требуют, чтобы21Aijmnl= 0,12Aijmnl=0и22Aijmnl= 0.Как следствиевыполнения условий (4.3.9), плотность поверхностной потенциальнойэнергии становится канонической квадратичной формой эффективнойдисторсии, а краевая задача на эффективную дисторсию становитсяоднородной и приводит к тривиальному решению.

Таким образом, полученоматематическое обоснование обобщения гипотезы Аэро-Кувшинского:Dij* = Dij2 + aijmn Rm ,n = 0 ⇒ Dij2 = −aijmn Rm ,nОбобщениегипотезыАэро-Кувшинского(4.3.10)эквивалентноутверждению:212122211212, Aabcd, Aabcdfg, Ahrabc, Aijmnl, Apqabcвыражаются черезтензоры модулей Cabcmnl222222исходные тензоры модулей Cabcmnl, Aabcdи Aabcdfgформулируемой теории сучетом (4.3.4)-(4.3.7) и (4.3.9) следующими соотношениями:1042122C pqrmnlaijmn= C pqrijl22A12pqcd = Apqij aijcd2122Amnlpqraijpq= Amnlijr(4.3.11)12Ahrabc=021Aijmnl=022Apqabc=0При гипотезах (4.3.11), формулируемая теория сводится в соответствии с(4.3.8) к распадающейся системе: к «адгезионному» обобщению моделиТупина с тензорами поврежденных дислокациями модулей (4.3.2):L = A−1{Cijmn Ri , j Rm , n + Cijkmnl Ri , jk Rm , nl }dV −2 ∫∫∫1− ∫∫ { Aijmn Ri , j Rm, n + Aijkmnl Ri , jk Rm, nl }dF2(4.3.12)и к однородной краевой задаче относительно эффективной дисторсии:L=−−1**2222Dij*,k DmnDij* Dmn{Cijmn+ Cijkmnl,l }dV −∫∫∫21**2222Dij*,k DmnDij* Dmn{ Aijmn+ Aijkmnl,l }dF∫∫2При этом в соответствии с (4.3.10) три типа полей сохраняющихсядислокаций можно построить после решения краевой задачи относительнонепрерывной части перемещений с учетом (4.3.12).Не смотря на достаточно большую общность этой модели, она практическине сложнее модели Тупина.

Её достоинством является то, что в соответствиис (4.3.10) – (4.3.11) относительно определения тензора свободной дисторсиизадача в данной постановке является алгебраической. Соответственно, полядислокаций определяются квадратурами (2.33) от уже известного полясвободной дисторсии.4.4.Строгие частные случаи сред с полями сохраняющихся дислокаций.В отличие от модели (4.3.12) в данном разделе рассмотрены частные модели105сред с сохраняющимися дислокациями, которые приводят к связаннымсистемам уравнений равновесия относительно перемещений и тензорасвободной дисторсии. Рассмотрены модели без адгезионных свойствповерхностей:L = A−1babbabDijka DmnlDija Dmn[Cijmn]dV+ Cijkmnl∫∫∫2Потенциальная энергия в рассматриваемом случае определена толькообъемной плотностью.4.4.1. «Классическая» модель сред Миндлина.Пусть в лагранжиане общей теории (4.1.24) при отсутствии адгезионных1112равны нулю.

Тогдасвойств тензоры «объемных» модулей Cijkmnl, Cijkmnlлагранжиан сформулированной теории совпадет с лагранжианом моделиМиндлина [5]:L = A−122222221211Dijk2 DmnlDij2 DmnRi , j DmnRi , j Rm ,n + 2Cijmn]dV[Cijmn+ Cijmn+ Cijkmnl∫∫∫2(4.4.1.1)Как было доказано в [25], из модели Миндлина, в свою очередь, следуютстрогие частные случаи:- модель сред с невзаимодействующими между собой типами дислокаций,- «простейшая» теория сред с сохраняющимися дислокациями [7],- теория сред Коссера (теория сред с ω - дислокациями) [26],- теория пористых сред (теория сред с θ - дислокациями) [26],- теория сред с γ - дислокациями [26],- алгебраическая модель сред с сохраняющимися дислокациями.Ниже даны формулировки этих моделей.1064.4.2.

Модель сред с невзаимодействующими типами дислокаций.Выразим последнее слагаемое в (4.4.1.1) через градиенты γ ij2 , θ 2 и ωk2 ,используя разложение тензора свободной дисторсии по типам. В результатеполучим:1 22222222222CijkmnlDij2, k DmnCijkmnlδ ijδ mnθ ,2kθ ,2l + CijkmnlЭijp Эmnqω p2 , k ωq2, l −, l = Cijkmnl γ ij , k γ mn , l +92 222 222222+ Cijkmnlδ ijγ mnCijkmnl Эijpδ mnθ ,2l ω p2 , k − 2CijkmnlЭmnqωq2, l γ ij2, k, lθ , k −33Непосредственно вычисляя свертки, с учетом структуры тензора Миндлина22Cijkmnl(4.1.15), можно убедиться, что первые три слагаемых являютсяканоническими положительно определенными квадратичными формамисоответственно градиентов γ ij2 , θ 2 и ωk2 , а последние три слагаемых – ихбилинейными формами:1 22θθ 2 2222γγ2222ωω 222CijkmnlDij2, k DmnCkl θ , kθ ,l + C pkqlω p , kωq2,l −, l = Cijkmnl γ ij , k γ mn , l +92 22γθ 2 2 2 22θω 2 222ωγ 2γ mn,lθ, k − C pkl θ,l ω p , k − 2Cijkqlωq ,lγ ij2, k+ Ckmnl33Здесь введены обозначения:22γγ=Cijkmnl111111= (2C322 + C622 + C722 )( δ ik δ jp + δ ipδ jk − δ ijδ kp )( δ mpδ nl + δ mlδ np − δ mnδ pl ) +223223111111+ (2C422 + C922 + C1122 )( δ ipδ jl + δ ilδ jp − δ ijδ pl )( δ mk δ np + δ mpδ nk − δ mnδ pk ) +223223111111+ (C822 + C1022 )( δ ipδ jq + δ iqδ jp − δ ijδ pq )( δ mqδ np + δ mpδ nq − δ mnδ pq )δ kl22322322Ckl22θθ = Cijkmnlδ ijδ mn == (6C122 + 6C222 + 2C322 + 2C422 + 9C522 + C622 + C722 + 3C822 + C922 + 3C1022 + C1122 )δ kl22ωω22C pkqlЭijp Эmnq == Cijkmnl= (2C422 − C922 − C1122 )δ pk δ ql ++ (−2C322 + C622 + C722 − 2C422 + C922 + C1122 + 2C822 − 2C1022 )δ pqδ kl ++ (2C322 − C622 − C722 )δ plδ kq10722γθ22Ckmnl= Cijkmnlδ ij =111= (3C122 + 3C222 + 2C322 + 2C422 + C622 + C722 + C922 + C1122 )( δ kmδ nl + δ knδ ml − δ mnδ kl )22322θω22= CijkmnlC pklЭijpδ mn == (−3C122 + 3C222 + C622 − C722 + C922 − C1122 )Э pkl22ωγ22Cijkql= CijkmnlЭmnq =111111= (C622 − C722 )( δ jk Эiql + δ ik Э jql − δ ij Эkql ) + (−C922 + C1122 )( δ jl Эkiq + δ il Эkjq − δ ij Эklq )223223(4.4.2.1)22γθ22ωγ, Cijk22θω и Cijkpqвыражены через четыре линейныеМодули тензоров Cijnm22γγ, Cij22θθ икомбинации исходных модулей Ci22 (i = 1 ÷ 11) , а модули тензоров Cijnm22ωω- через семь других линейных комбинаций.

Характеристики

Список файлов диссертации