Диссертация (786079), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Соответственно, из (5.7.13)следует, что H 1 - характерная длина вихревого когезионного поля ψ i1 , а H 2 характерная длина потенциального когезионного поля ψ i2 .Основныекинематическиепеременныетеориисредсполемсохраняющихся γ − дислокаций в соответствии с (5.7.7), (5.7.14) и (5.7.13)имеют аналогичные структуры и свойства фундаментальных решений:γ ij2 = (γ ij2 ) 0 + (γ ij2 )1 + (γ ij2 ) 2 + (γ ij2 )V Ri = Ri0 + Ri1 + Ri2 + RiV(5.7.15)Обратим внимание на то, что каждому фундаментальному решению ψ i0 ,ψ i1 ,ψ i2соответствует своя составляющая и в γ ij2 , и в Ri . Решения (γ ij2 ) 0 , (γ ij2 )1 , (γ ij2 ) 2можно трактовать как частные решения неоднородной системы уравнений(5.7.5) и (5.7.6) относительно γ ij2 , с правыми частями, зависящими от Ri . В тоже время не трудно убедиться в том, что существует решение однороднойсистемы уравнений (5.7.5) и (5.7.6) относительно γ ij2 .

Действительно,однородные относительно γ ij2 уравнения равновесия сил (5.7.5) накладываюттри связи на пять независимых компонент тензора-девиатора свободнойдисторсииγ ij2 .Соответственно,распавшиесяоднородныеуравненияравновесия моментов допускают определение ещё двух фундаментальныхрешений.h52 ∆γ ij2 − γ ij2 = 0 2γ ij , j = 0(5.7.16)Таким образом, дана трактовка еще двум линейным комбинациям«моментных»модулей.Онивыражаютсячерезхарактерныедлиныкогезионных взаимодействий H 1 , H 2 .

В соответствии с (5.7.15) суммуu i = − Ri1 − Ri2 можно трактовать как поле когезионных перемещений общего156вида, включающее и потенциальную, и вихревую части, и связанное ссохраняющимися γ − дислокациями. В то же время существуют еще двафундаментальных решения в γ ij2 . Они хоть и удовлетворяют уравнениямГельмгольца, но, в соответствии с (5.7.16), их нельзя связать с когезионнымиперемещениями. Они так же имеют характерную длину взаимодействия h5 ,которая, однако, не является независимой и выражается через H 1 , H 2 всоответствии с (5.7.9).5.7.Уточненная модель сред Миндлина.Лагранжиан теории Миндлина:111122222Ri , j Rm ,n + 2CijmnRi , j DmnDij2 Dmn{Cijmn+ Cijmn+2 ∫∫∫+ 2 M 1 γ kl2 ,lθ ,2k + M 2 (γ ki2 ,iγ kj2 , j + γ ki2 , jγ kj2 ,i ) + 2 M 3 (ωki2 ,iγ kj2 , j + ωki2 , jγ kj2 ,i ) + M 4 (ωki2 ,iωkj2 , j + ωki2 , jωkj2 ,i ) +L = A−+ M 5θ ,2kθ ,2k + M 6 γ ij2,k γ ij2,k + M 7 ωij2,k ωij2,k }dV(5.10.1)Вариационное уравнение:11Rm ,nj + K 12θ ,2i + 2µ 12γ ij2, j + 2 χ 12ωij2, j + PiV )δRi +δL = ∫∫∫ {(Cijmn+ ( M 1 γ ij2,ij + M 5 θ ,2ii − K 22θ 2 − K 12 Ri ,i )δθ 2 ++ [ M 1 θ ,2ij + 2M 3 ωik2 ,kj + 2M 2 γ ik2 ,kj + M 6 γ ij2,kk − 2 µ 22γ ij2 − 2 µ 12 ( Ri , j / 2 + R j ,i / 2 − Rk ,k δ ij / 3)]δγ ij2 ++ [2M 3 γ ik2 ,kj + 2M 4 ωik2 ,kj + M 7 ωij2,kk − 2 χ 22ωij2 − 2 χ 12 ( Ri , j / 2 − R j ,i / 2)]δωij2 }dV +11+ ∫∫ {[ Pi F − (CijmnRm ,n + K 12θ 2δ ij + 2µ 12γ ij2 + 2 χ 12ωij2 )n j ]δRi − ( M 1 γ ij2, j + M 5 θ ,2i )niδθ 2 −− [( M 1 θ ,2i + M 2 γ ik2 ,k + M 3 ωik2 ,k )n j + ( M 3 ωik2 , j + M 2 γ ik2 , j + M 6 γ ij2,k )nk ]δγ ij2 −− [( M 3 γ ik2 ,k + M 4 ωik2 ,k )n j + ( M 3 γ ik2 , j + M 4 ωik2 , j + M 7 ωij2,k )nk ]δωij2 }dF = 0(5.10.2)Уравнения равновесия:157( µ 11 + χ 11 )(∆Ri − R j , ji ) + (4µ 11 / 3 + K 11 ) R j , ji + K 12θ ,2i + 2µ 12γ ij2, j + 2 χ 12ωij2, j + PiV = 0M 5 ∆θ 2 − K 22θ 2 = ( K 12 Ri − M 1 γ ij2, j ) ,iM 6 ∆γ ij2 − 2µ 22γ ij2 == (2µ 12 Ri − M 1 θ ,2i − 2M 3 ωiq2 ,q − 2M 2 γ iq2 ,q ) , j / 2 ++ (2µ 12 R j − M 1 θ ,2j − 2M 3 ω 2jq ,q − 2M 2 γ 2jq ,q ) ,i / 2 −− (2µ 12 Rk − M 1 θ ,2k − 2 M 3 ω kq2 ,q − 2 M 2 γ kq2 ,q ) ,k δ ij / 3M 7 ∆ωij2 − 2 χ 22ωij2 == ( χ 12 Ri − M 3 γ ik2 ,k − M 4 ωik2 ,k ) , j −− ( χ 12 R j − M 3 γ 2jk ,k − M 4 ω 2jk ,k ) ,i(5.10.3)Введем вектор-потенциал следующим образом:Ri = ϕi −−[1121µ 22( M 4 + M 7 ) + 22 ( M 2 + M 6 )](∆ϕi − ϕ k ,ki ) − ( 22 M 2 + 22 M 5 + 22 M 6 )ϕ k ,ki −22 22K3µ2µ2µ χ2µ1∆(∆ϕi − ϕ k ,ki ) −2 χ 2 µ 221M 2 M 5 − 22 22 M 5 M 6 )∆ϕ k ,ki2µ K− [ M 3 M 3 − ( M 2 + M 6 )( M 4 + M 7 )]−(21M 1 M 1 − 22 22223µ K3µ K2222θ 2 =θ* −2 µ 122 K 12K 12K 12ϕ(+−++MMM 6 ) ∆ϕ k ,kk ,k123µ 22 K 223µ 22 K 222 µ 22 K 22K 22ωij2 = ωij* −χ 12χ 12µ 12ϕϕ−++−MMM 3 ]∆(ϕ i , j − ϕ j ,i )()[()i, jj ,i262 χ 224 χ 22 µ 224 χ 22 µ 22γ ij2 = γ ij* −−(5.10.4)µ 12(ϕ i , j / 2 + ϕ j ,i / 2 − ϕ k ,k δ ij / 3) +µ 22+[µ 12χ 12+−MMM 3 ]∆(ϕ i , j / 2 + ϕ j ,i / 2 − ϕ k ,k δ ij / 3) −()472 µ 22 χ 222 µ 22 χ 22−(µ 12χ 12µ 12K 12+−−+MMMMM 1 )(ϕ k ,kij − ∆ϕ k ,k δ ij / 3)()4735µ 22 K 222 µ 22 χ 222 µ 22 χ 222 µ 22 K 22158Здесь θ * , ωij* и γ ij* - общее решение однородной системы уравненийравновесия (5.10.3):K 12θ ,*i + 2 µ 12γ ij* , j + 2 χ 12ω ij* , j = 0M 5 ∆θ * − K 22θ * = M 1 γ ij* ,ijM 6 ∆γ ij* − 2 µ 22γ ij* == (− M 1 θ ,*i − 2 M 3 ω iq* ,q − 2 M 2 γ iq* ,q ) , j / 2 ++ (− M 1 θ ,*j − 2 M 3 ω *jq ,q − 2 M 2 γ *jq ,q ) ,i / 2 −**− (− M 1 θ ,*k − 2 M 3 ω kq, q − 2 M 2 γ kq , q ) , k δ ij / 3M 7 ∆ω ij* − 2 χ 22ω ij* == (− M 3 γ ik* ,k − M 4 ω ik* ,k ) , j −− (− M 3 γ *jk ,k − M 4 ω *jk ,k ) ,iВектор-потенциал ϕ i определен так, что он «убирает» из этой системыоператоры от перемещений и внешние объемные нагрузки.

При этомоператоры от перемещений в уравнениях равновесия моментов «пропадают»припроизвольномвекторе-потенциале,атребованиеоднородностиуравнений равновесия сил дает определение вектор-потенциала:4( µ + χ )(∆ϕi − ϕ k ,ki ) + ( µ + K )ϕ k ,ki −311χ 12 µ 12(µ + χ )( µ 11 + χ )MMMMM 3 ]∆(∆ϕi − ϕ k ,ki ) −−[++++()()4726χ 22 µ 222 χ 222 µ 2244( µ 11 + K )( µ + K 11 )44 µ 12 K 12M5 + 3MMM 1 ]∆ϕ k ,ki −− [ 3 22++()26K2 µ 2233µ 22 K 22− [ M 3 M 3 − ( M 2 + M 6 )( M 4 + M 7 )]( µ 11 + χ 11 )∆∆(∆ϕi − ϕ k ,ki ) −4 χ 22 µ 223(4 µ 11 / 3 + K 11 )− [ M 1 M 1 − 2M 2 M 5 − M 5 M 6 ]∆∆ϕ k ,ki + PiV = 0222223µ KЗдесь введены обозначения поврежденных модулей, определения которыхбыли даны в рамках алгебраической теории дефектных сред в параграфе 4.1:K = ( K 11 −K 12 K 12µ 12 µ 12χ 12 χ 121111=−µµχ=−χ)()()K 22µ 22χ 22Исследуем систему относительно компонент вектора-потенциала.

Дадимопределение классического оператора равновесия и операторов когезионных159полей:4Lij (...)ϕ j = {( µ + χ )[δ ij ∆(...) − (...) ,ij ] + ( µ + K )(...) ,ij }ϕ j3[δ ∆(...) − (...) ,ik ](...) ,ikH ik1 (...) = δ ik (...) − a1 ik− b14(µ + χ )( µ + K)3[δ ∆(...) − (...) ,ik ](...) ,ikH ik2 (...) = δ ik (...) − a 2 ik− b24(µ + χ )( µ + K)3Здесь a1, 2 и b1, 2 - корни квадратных уравнений:a 2 − A1a + A2 = 0 ⇒ a1, 2( A + A 2 − 4 A ) / 2112A1 ± A − 4 A2 ==A22 ( A1 + A12 − 4 A2 ) / 2b 2 − B1b + B2 = 0 ⇒ b1, 2( B + B 2 − 4 B ) / 2112B1 ± B − 4 B2 ==B22 ( B1 + B12 − 4 B2 ) / 22121Коэффициенты квадратных уравнений определяются свойствами среды:A1 = [( µ + χ 11 )( µ 11 + χ )2 χ 12 2µ 12(M+M)+(M+M)+M3 ]47262 χ 222µ 222 χ 22 2µ 22A2 = [( M 2 + M 6 )( M 4 + M 7 ) − M 3 M 3 ]( µ 11 + χ 11 )( µ + χ )2 χ 22 2µ 2244( µ + K 11 )( µ 11 + K )44µ 12 K 1233B1 = [M5 +( M 2 + M 6 ) + 22 22 M 1 ]3K 222µ 223µ K44( µ 11 + K 11 )( µ + K )343B2 = [ M 5 ( M 2 + M 6 ) − M 1 M 1 ] 3233µ 22 K 22Разрешающееуравнениенавектор-потенциалсучетомвведенныхобозначений принимает вид:H ij1 H 2jk Lkrϕ r + PiV = 0Таким образом, каждому оператору соответствует вектор фундаментальныхрешений, определены девять фундаментальных решений из двенадцати.

Всилу коммутативности операторов, векторU i = H ij1 H 2jr ϕ r160удовлетворяет уравнениям классической теории упругости и поэтомутрактуется как вектор классических перемещений:LijU j + PiV = 01C1CДва оставшихся вектора ui1 = − H ik2 Lkrϕ r и ui2 = − H ik1 Lkrϕ r , C - нормирующиймножитель,удовлетворяютсоответствующимсистемамуравненийгельмгольцева типа:CH ij1 u 1j = PiVЭтиCH ij2 u 2j = PiVвекторытрактуютсякаквекторыкогезионныхперемещений.Примечательно, что в теории Миндлина когезионные перемещенияпредставлены двумя векторами, в то время как в теории Тупина – одним.Более того, следует обратить внимание на то, что характерные длиныкогезионных взаимодействий в теориях Миндлина и Тупина определяютсяпринципиально разными модулями и отражают различные механическиесвойства: градиентные свойства дефектных (Миндлин) и бездефектных(Тупин) сред.Исследуем решение для чисто дислокационных состояний.

Исходная системаимеет следующий вид:K 12θ ,*i + 2 µ 12γ ij* , j + 2 χ 12ω ij* , j = 0M 5 ∆θ * − K 22θ * = − M 1 γ ij* ,ijM 6 ∆γ ij* − 2 µ 22γ ij* == (− M 1 θ ,*i − 2 M 3 ω iq* ,q − 2 M 2 γ iq* ,q ) , j / 2 ++ (− M 1 θ ,*j − 2 M 3 ω *jq ,q − 2 M 2 γ *jq ,q ) ,i / 2 −**− (− M 1 θ ,*k − 2 M 3 ω kq, q − 2 M 2 γ kq , q ) , k δ ij / 3M 7 ∆ω ij* − 2 χ 22ω ij* == (− M 3 γ ik* ,k − M 4 ω ik* ,k ) , j −− (− M 3 γ *jk ,k − M 4 ω *jk ,k ) ,iВозьмем дивергенцию от уравнений равновесия сил и двойную дивергенцию161от девиаторной части уравнений равновесия моментов: *K 12K 22γ=−θ* ij ,ij12122µK(M 5 − M 1)2 µ 12 K 12 ∆θ * + 2 µ 12γ ij* ,ij = 0K 22 **22 **⇒ ∆θ =θ*M 5 ∆θ − K θ = − M 1 γ ij ,ij12K*22 ***(M 5 − M 1)M 6 ∆γ ij ,ij − 2 µ γ ij ,ij = (− M 1 ∆∆θ − 2 M 2 ∆γ ij ,ij )2 / 32 µ 122 µ 22∆θ * =θ*24(− M 1 + M 2 + M 6 )33Таким образом, в общем случае θ * = 0 .

Характеристики

Список файлов диссертации