Диссертация (786079), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Тензор Cдва классических модуля, тензор Aтриijmnмогутijmnсодержитсодержит три адгезионных модуля. Этибытьопределеныизэспериментанепосредственно.Свободныедисторсии(полясохраняющихсядислокаций)определяются по стесненным дисторсиям из решения алгебраическойсистемы. Для их определения должны быть экспериментально определенытри дополнительных безразмерных модуля, входящих в состав тензора−2212.a abmn = C abcdC cdmnСформулированная модель приводит к математическому обоснованиюсокращения количества адгезионных модулей.1776.3.«Простейшая» когезионно-адгезионная модель.Простейшая когезионно-адгезионная модель строится как частный случаймодели дефектной среды Тупина (4.3.12).

Лагранжиан модели:L = A−11{Cijmn Ri , j Rm ,n + Cijkmnl Ri , jk Rm ,nl }dV − ∫∫ Aijmn Ri , j Rm ,n dF∫∫∫22(6.21)Вариационное уравнение:δL == δA − ∫∫∫ {Cijmn Rm ,nδRi , j + Cijkmnl Rm ,nlδRi , jk }dV − ∫∫ Aijmn Rm ,nδRi , j dF == δA − ∫∫∫ {(Cijmn Rm ,n − Cijkmnl Rm ,nlk )δRi , j }dV − ∫∫ {( Aijmn Rm ,n + Cijkmnl nk Rm ,nl )δRi , j }dF == ∫∫∫ (Cijmn Rm ,nj − Cijkmnl Rm ,nlkj + PiV )δRi dV ++ ∫∫ {[ Pi F − Cijmn n j Rm ,n + Cijkmnl n j Rm ,nlk ]δRi −(6.22)− ( Aijmn Rm ,n + Cijkmnl nk Rm ,nl )δRi , p (δ pj* + n p n j )}dF == ∫∫∫ (Cijmn Rm ,nj − Cijkmnl Rm ,nlkj + PiV )δRi dV ++ ∫∫ {[ Pi F − Cijmn n j Rm ,n + Cijkmnl n j Rm ,nlk + ( Aijmnδ pj* Rm ,n + Cijkmnlδ pj* nk Rm ,nl ), p ]δRi −− ( Aijmn n j Rm ,n + Cijkmnl n j nk Rm ,nl )δ ( Ri , p n p )}dF +− ∑ ∫ ( Aijmn v j Rm ,n + Cijkmnl v j nk Rm ,nl )δRi ds = 0Уравнения равновесия:Cijmn Rm , nj − Cijkmnl Rm , nlkj + Pi V = 0Краевая задача в случае, если поверхность тела состоит из плоскостей, имеетслеющую структуру:∫∫{[ Pi F − Cijmn n j Rm ,n + Aijmnδ pj* Rm ,np + (2Cipqmnl nq − Cijkmnl n j nk n p ) Rm ,nlp ]δRi −− ( Aijmn n j Rm ,n + Cijkmnl n j nk Rm ,nl )δ ( Ri , p n p )}dF = 0Крометого,появляетсяцелыйклассновыхусловий–условийнепрерывности перемещений и менисковых сил при переходе через ребракусочно-гладкойменисковыесилы,поверхности,черезограничивающей«статические»перемещений в контурных интегралах:f i = ( Aijmn v j Rm ,n + Cijkmnl v j nk Rm ,nl )178тело.множителиприОпределимвариацииТогда на каждом ребре, образованном пересечением двух плоскостей,входящих в кусочно-гладкую поверхность, ограничивающую тело, должнывыполняться условия: Ri1 = Ri2 1 f i = f i 2При этих условиях:∑∫( Aijmn v j Rm ,n + Cijkmnl v j nk Rm ,nl )δRi ds = ∑ ∫ f iδRi ds = 0179ГЛАВА 77.1.ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ В ТЕОРИИ ДЕФЕКТНЫХ СРЕД.К теории мелкодисперсных композитов, армированных микрочастицами(эффект Мивы).Задачаопределениясвойствэффективныхмеханическихсвойствмелкодисперсного композита исследована в рамках «простейшей» теориикогезионного поля (5.2.4).

Сформулируем её биплоскую 1D-постановку.Рассмотрим периодическую структуру, с постоянным поперечным сечениемF , состоящую из N фрагментов матрицы и армирующего материала смодулями Юнга EM , D , «моментными» модулями CM , D и длинами ρ M , D .Биплоская постановка, по аналогии с плоской, постулирует, что векторынагрузки P и перемещений Ri коллинеарны орту X i .iRi = rX i(7.1)Соответственно, 1D-постановка постулирует, что единственная компонентаr искомого вектора перемещений является функцией только одной (осевой)координаты r = r (x) . В рамках этой постановки, лагранжиан (5.2.4) послевнутреннегоинтегрированияпоплощадипоперечногосеченияF,выделенного из композита составного стержня, приобретает вид:L = ( Pi X i )r |xx == l0 −l1EEF [r ′r ′ + r ′′r ′′]dx∫20C(7.2)Установим аналитическую связь между эффективной жесткостью этогокомпозитного материала и механическими параметрами его фаз.1807.1.1.

Аналитическая оценка модулей упругости мелкодисперсногокомпозита.Вариационное уравнение, соответствующее требованию стационарностилагранжиана (7.2) «простейшей» теории когезионного поля, имеет вид:lE∫ EF (r ' '− C r ' ' ' ' )δrdx −(7.3)0•E •• •E •••− EF r δ r |xx == l0 +[ P − EF (r − r )δr ] |xx == l0 = 0CCОбщее решение для каждой фазы характерного фрагмента композита:rD ( x) = C1D x + C2 D sh(aD x)rM ( x) = C0 M + C1M ( x − ( ρ D / 2 + ρ M / 2)) + C2 M sh(aM ( x − ( ρ D / 2 + ρ M / 2)))Здесь aM =CMEMaD =CD.EDФормулировка краевой задачи.На границе контакта фаз, в соответствии с (7.3), перемещения равны,нормальные производные перемещений равны, классические напряжения(статические множители при вариации перемещения δr ) равны, и моментныенапряжения (статические множители при вариации нормальной производнойδr ) равны.rD ( ρ D / 2) = rM ( ρ D / 2)rD′ ( ρ D / 2) = rM′ ( ρ D / 2)ED F [rD′ ( ρ D / 2) −ED F11r ′′′( ρ D / 2)] = EM F [rM′ ( ρ D / 2) − 2 rM′′′ ( ρ D / 2)]2 DaDaM11r ′′ ( ρ D / 2) = EM F 2 rM′′ ( ρ D / 2)2 DaDaMУдовлетворяя граничным условиям сформулированной контактной краевойзадачи, можно получить точное решение для двухфазного фрагмента.181sh(aD x )P}{x + x frD ( x ) =ρ(/2)shaEFDDD1P ρM ρDP 1()− ()x f ++−rM ( x ) =2 F EM E DF EM E Dsh(aM ( x − ( ρ D / 2 + ρ M / 2)))PPxf( x − ( ρ D / 2 + ρ M / 2)) −+sh(aM ρ M / 2)EM F EM FЗдесь введено обозначение:(xf =[11−)EM E DaDaM+]EDth(aD ρ D / 2) EM th(aM ρ M / 2)Зная решение для составного фрагмента, можно получить выражение для егопотенциальнойэнергии.Пользуясьсвойствомаддитивности,можновычислить энергию деформации композитного материала, рассматриваяпериодическую структуру, в которой периодическим элементом являетсядвухфазный фрагмент.

Приравнивая потенциальную энергию композита кпотенциальной энергии деформации эквивалентной однородной среды,можно найти эффективный модуль Юнга эквивалентного материала:E0 =1(xf =(7.4)2 Nx f  1111lMlD()+−− MD E (lM + lD ) E (lM + lD ) EM ED (lM + lD ) 11−)EM E D(7.5)aDaM+[]EDth(aD ρ D / 2) EM th(aM ρ M / 2)Параметр N определяет количество включений армирующего материала, E0 эффективный модуль Юнга композита, f – относительная объемная долявключений, lD = ρ D N– абсолютная объемная доля включений; ρ Dхарактерный диаметр отдельного включения,lM = ρ M N-- абсолютнаяобъемная доля матрицы, x f - особый параметр, связанный с объемной долеймежфазного слоя, являющийся функцией параметров a M и a D , которыеопределяют длину когезионных взаимодействий в матрице и включениисоответственно.182Пусть размеры фрагментов матрицы и включений значительнопревышают длину соответствующихкогезионныхзон.

Этот случайсоответствует малой концентации aM ρ M / 2 > 3 больших aD ρ D / 2 > 3 включений.В этом случае параметр межфазного слоя определяется вместо формулы (7.5)с помощью следующего простого выражения:(E D − E M )xf = D( E aM + E M aD )(7.6)Эффективный модуль композита может быть определен с помощьюследующей формулы, вытекающей из (7.4):E0 =(EM)E D − E M  2x f−1f 1 +ρDED(7.7)Эффективный модуль материала определяется с помощью только одногокомбинированногонезависимогопараметраxf .Этотпараметрвприближении (7.6) не зависит от объемной доли включений и размераармирующих частиц и является функцией только характерных длинкогезионных взаимодействий в матрице и включении. В этом случае,формулы (7.6) и (7.7) дают микромеханическое описание композитов с малойобъемной долей включений.Пусть aM ρ M / 2 > 3 и aD ρ D / 2 < 3 .

Этот случай соответствует малойaM ρ M / 2 > 3 концентрации малых aD ρ D / 2 < 3 включений. Его уже следуетотносить к наномеханическому описанию композитов, с малой объемнойдолей включений.xf =(E D − E M )aD[ E D aM + E M]EDth(aD ρ D / 2)В этом приближении параметр межфазного слоя x f зависит только отразмера армирующих частиц ρ D .Пусть aM ρ M / 2 < 3 и aD ρ D / 2 > 3 . Этот случай соответствует большойaM ρ M / 2 < 3концентрации большихaD ρ D / 2 > 3 включений. Его так же183можно отнести к микромеханическому описанию композитов, но с большойобъемной долей включений.xf =В(E D − E M )aM+ E M aD ][E Dth(aM ρ M / 2)этомприближениипараметрмежфазногослояxfзависитототносительной объемной доли и размера включений ρ M = ρ D (1 − f ) / f .Пусть aM ρ M / 2 < 3 и aD ρ D / 2 < 3 .

Характеристики

Список файлов диссертации