Диссертация (786079), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Исключение составляет случай, когдамежду модулями существует связь:K 122422)K (− M 1 + M 2 + M 6 ) = 2µ ( M 5 − M 1332 µ 1222Однородная система чисто дислокационных состояний упрощается ипринимает вид:µ 12γ ij*, j + χ 12ωij*, j = 0χ 12M 6 ∆γ − 2µ γ = (− M 3 + M 2 12 )(ω ik* ,kj + ω *jk ,ki )µ*ij22*ijχ 12M 7 ∆ω − 2 χ ω = ( M 3 12 − M 4 )(ω ik* ,kj − ω *jk ,ki )µ*ij22*ijВозьмем дивергенцию этих уравнений:µ 12γ ij*, j + χ 12ωij*, j = 0µ 12( M 6 − M 3 12 + M 2 )∆ωij* , j − 2 µ 22ωij* , j = 0χχ 12( M 7 − M 3 12 + M 4 )∆ωij* , j − 2 χ 22ωij* , j = 0µТаким образом, в общем случае γ ik* ,k = ωik* ,k = 0 .

Исключение составляет случай,когда между модулями существует связь:2 χ 22 ( M 6 − M 3Однороднаяχ 12µ 1222+M=µM−)2(M+ M4 )273µ 12χ 12системачистодислокационныхупрощается и принимает вид:162состоянийещеболееl62 ∆γ ij* − γ ij* = 0 *γ ij , j = 022 2M 6 = 2µ l6l72 ∆ωij* − ωij* = 0 *ωij , j = 022 2M 7 = 2 χ l7Первая система дает два фундаментальных решения: на пять компонентсвободного формоизменения γ ij* наложены три связи векторным уравнениемγ ij*, j = 0 .

Три компоненты антисимметричного тензора ωij* можно представитьв виде дивергенции антисимметричного тензора третьего ранга ωij* = Ω ,k Эijk .Связи ωij*, j = 0 при этом удовлетворены тождественно. Таким образом, ещеодно, последнее фундаментальное решение строится через псевдоскаляр Ω ,удовлетворяющий уравнению Гельмгольца l72 ∆Ω − Ω = 0 . Таким образом,построены все двенадцать фундаментальных решения в теории Миндлина:три компоненты вектора классических перемещений, шесть компонент двухвекторов когезионных перемещений, две компоненты тензора свободногоформоизменения и потенциал тензора свободных поворотов.163ГЛАВА 6ТЕОРИЯ АДГЕЗИОННЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ.6.1.Модель идеальной адгезии.В данном случае под идеальной средой подразумевается среда бездислокаций,впротивовесдалеерассмотреннымсредамсполямисохраняющихся дислокаций.Если последовательно учесть как связи соотношения Коши и в объеме, и наповерхности тела, получим следующий лагранжиан:L = A−1111 ∂Rn ∂Ri11 ∂Rn ∂RiCijnmdV − ∫∫ AijnmdF∫∫∫∂xm ∂x j∂xm ∂x j22Здесь явно просматривается «подобие» между плотностью поверхностнойэнергии U F и плотностью объемной энергии U V в 2D постановке.112U V = Cijnm∂Rn ∂Ri∂xm ∂x j112U F = Aijnm∂Rn ∂Ri∂xm ∂x jОднако тензоры модулей отличаются (физические свойства поверхности иобъема разные).Тензор объемных модулей является изотропным.11Сijnm= [λ11δ ijδ nm + ( µ 11 + χ 11 )δ inδ jm + ( µ 11 − χ 11 )δ imδ jn ]В то же время тензор адгезионных модулей является трансверсальноизотропным и физические свойства по направлению нормали отличаются отфизических свойств в любом направлении, лежащем в касательной плоскостик поверхности.11= [λ11 F (δ ij − ni n j )(δ nm − nn nm ) + δ 11 F ni nn (δ jm − n j nm ) +Aijnm+ ( µ 11 F + χ 11 F )(δ in − ni nn )(δ jm − n j nm ) + ( µ 11 F − χ 11 F )(δ im − ni nm )(δ jn − n j nn )]Варьируя лагранжиан и приравнивая вариацию нулю, получим следующее164вариационное уравнение:11δL = ∫∫∫ [Cijnm+ ∫∫ [ Pi − CF−∑∫11Aijnm∂ 2 Rn+ PiV ]δRi dV +∂x j ∂xm11ijnm∂Rn∂ 2 Rn11n j + Aijnm]δRi dF −∂xm∂x j ∂xm∂Rnv jδRi ds = 0∂xmЗдесь суммирование производится по всем контурам, ограничивающимгладкие поверхности, составляющие кусочно-гладкую поверхностьF.Напомним, что кусочно-гладкая поверхность F ограничивает, в своюочередь, рассматриваемый объем среды V .

Если поверхность F гладкая, то ввариационномуравненииконтурныеинтегралыпропадают.Еслиповерхность F кусочно-гладкая, то требование равенства нулю суммыконтурных интегралов эквивалентно требованию непрерывности вектора11перемещений Ri и вектора адгезионных напряжений a i = a ij v j = Aijnm∂R nv j при∂x mпереходе через ребра поверхности F .Теория идеальной адгезии имеет те же уравнения равновесия, что иклассическая теория упругости, но краевая задача содержит другиестатические граничные условия.6.1.1.

Модель давления Лапласа и поверхностного натяжения.Встатическихграничныхусловияхтеорииклассическихсредсадгезионными свойствами ограничивающей среду поверхности появляетсядополнительное слагаемое со вторыми производными от перемещений. Если11Aijnm∂ 2 Rn∂x j ∂xmбудут11производными Cijnmпренебрежимомалыпосравнениюспервыми∂Rnn j (т.е. на поверхности тела напряжения медленно∂xmменяются как функции координат поверхности), то решением такой165приближенной задачи будет классическое решение. В противоположномслучае, когда напряжения на поверхности тела меняются достаточно быстро,и11Aijnm∂ 2 Rn11 ∂Rnnj ,>> Cijnm∂xm∂x j ∂xmклассическоерешениенеприменимо,иэксперименты, в которых будет реализовано такое условие, будутфиксировать неклассические эффекты.Таким неклассическим, с точки зрения изложенного, эффектом являетсякапиллярное давление Лапласа.

Чтобы доказать это утверждение рассмотримстатическое граничное условие для нормальных напряжений.C∂Rn∂ 2 Rn11n nj− Aijnm ni= Pi F ni∂xm∂x j ∂xm11ijnm iС учетом определений тензоров модулей и вводя обозначенияPi F ni = p0Rn nn = R∂R∂Rnm = R (δ nm − nn nm ) n = ∆F / F∂xm∂xmполучим:(2 µ 11 + λ11 ) R + λ11∆F / F − δ 11F ∇ 2 R = p0Учтем уравнение закона Гука для давления:p = (2 µ 11 / 3 + λ11 )( R + ∆F / F ) ⇒ R = p /( 2 µ 11 / 3 + λ11 ) − ∆F / FИсключим из статического граничного условия нормальную производную:(2 µ 11 + λ11 )p = p0 + 2 µ∆F / F + δ 11F ∇ 2 R1111(2µ / 3 + λ )Для жидкостей это соотношение можно упростить, полагая λ11 >> µ 11 , тогдаприходим к обобщенному уравнению Лапласа для капиллярного давления:p = p0 + 2 µ 11∆F / F + δ 11F ∇ 2 RДавление на поверхности среды уравновешено внешним давлением p0 ,поверхностным натяжением 2µ 11∆F / F и капиллярным давлением δ 11F ∇ 2 R .Обратим внимание на то, что капиллярное давление пропорционально (как иу Лапласа) сумме главных кривизн деформированной поверхности.166∇2 R =∂2R ∂2R 11+ 2 =+2R1 R2∂s1∂s 2p = p0 + 2µ 11∆F11+ δ 11F ( + )FR1 R2Здесь R1 и R2 - радиусы главных кривизн, s1 , s2 - гауссовы координатынедеформированной поверхности.Таким образом, теория идеальных адгезионных взаимодействий описываетявление капиллярного давления как свое строгое следствие.

Одновременноадгезионный модуль δ 11F идентифицируется как постоянная Лапласа длякапиллярного давления. Также, слагаемому 2µ 11∆F / F дается определениеповерхностного натяжения в классической механике сплошных сред.6.1.2. Модель аналогов давления Лапласа в касательныхнапряжениях.Наряду с капиллярным давлением Лапласа, теория идеальных адгезионныхвзаимодействий предсказывает неклассические эффекты и в касательныхстатических граничных условиях. Проведем преобразовния в статическихграничных условиях с касательными напряжениями, аналогичные сделаннымв предыдущем параграфе в статическом граничном условии с нормальнымнапряжением:τ =σ nδ =*kijjik= [ Pi F + ( µ 11 F + χ 11 F )∇ 2 Ri +(λ11 F + µ 11 F − χ 11 F ) ∂∆F *(2 µ 11)]δ ik2µF∂xi(6.1)В касательных граничных условиях появляются два неклассическихповерхностных эффекта, связанных с появлением двух слагаемых состаршими(вторыми)производными.Первыйэффектаналогиченкапиллярному давлению Лапласа – это появление «плоского» оператораЛапласа, действующего на некоторый вектор.

В «нормальном» граничномусловии этим вектором был векторδ 11F Rnk ,167ав«касательных»-( µ 11F + χ 11F ) Riδ ik* .градиентомВторойнеклассическийповерхностногонатяженияэффектсвязан2 µ 11 (∆F / F ) .с«плоским»Соответствующая11F11F11F11константа (λ + µ − χ ) /( 2 µ ) определяет характерную длину этогонового адгезионного взаимодействия.Можно разделить эти эффекты представив «плоское» векторное уравнение(6.1) в виде его «плоской» дивергенции:∂τ k ∂Pi F * (2 µ 11F + λ11F ) 211 ∆Fδ ik +=∇(2)µ∂x k∂x kF2 µ 11(6.2)и его «плоского» ротора:∂R∂P F∂τ nЭnmk nk = n Эnmk nk + ( µ 11 F + χ 11 F )∇ 2 ( n Эnmk nk )∂xm∂xm∂xm(6.3)Таким образом, неклассические адгезионные эффекты разделены и выписаныих уравнения. Комбинации адгезионных модулей (2µ 11F + λ11F ) и ( µ 11F + χ 11F ) ,являющиеся адгезионными аналогами модуля Юнга и модуля сдвига,определяют характерные длины разделенных адгезионных взаимодействий.6.1.3.

Поверхностные волны адгезионной природы.Учтем в работе внешних сил инерционные члены, а остальные внешниенагрузки положим равными нулю. Уравнения Эйлера тогда приобретут вид: = 0( µ + χ )(∆Ri − R j , ji ) + (2 µ + λ ) R j , ji − ρRi(6.4)Здесь ∆(...) = (...) - трехмерный оператор Лапласа., kk1. Волны расширения. Существование волн расширения в объеме средыопределяется уравнением, полученным из уравнений равновесия действиемна них оператора дивергенции:(2 µ + λ )∆θ − ρθ = 0θ =Rk ,kСоответственно, скорость распространения волн расширения, так же как и в168классике, определяется соотношением:c1 =(2µ + λ )ρ2. Волны искажения. Существование волн искажения в объеме средыопределяетсяуравнениями,полученнымиизуравненийравновесиядействием на них оператора ротора:( µ + χ )∆ω i − ρω = 0ω = −R Э / 2im ,nmniСкоростьраспространенияволнискаженияиная,чемвклассике,определяется соотношением:c2 =(µ + χ )(6.5)ρЕсли положить χ = 0, что эквивалентно введению гипотезы парностикасательных напряжений, скорости распространения волн искажения вклассике и в рассматриваемой теории совпадают.

Соотношение (6.5) можетслужить основанием для постановки экспериментального определения«третьего коэффициента Ламе». В случае, если эксперимент даст значениеχ = 0 , он станет экспериментальным подтверждением гипотезы парности.6.1.3.1. Нормальные поверхностные волны W − типа.Пусть в (6.4) вектор перемещений будет иметь только одну компоненту,направленнуюпараллельноосиOZ:Ri = W ( x, z ) Z i .Тогдаостаетсяединственное уравнение движения, которое определяет первый типпоперечной поверхностной волны, связанной с давлением Лапласа:(µ + χ )с∂ 2W∂ 2W∂ 2W(2µλ)ρ++−=0∂x 2∂z 2∂t 2соответствующимграничным(6.6)условиемполубесконечной среды:169наплоскойповерхности(2µ + λ )∂ 2W∂W=0−δ F∂x 2∂z(6.7)При δF= 0 не существует нетривиального решения краевой задачи (6.6)-(6.7),описывающего поперечную поверхностную волну.

При δF ≠ 0 нетривиальноерешение существует:W = Wa e−2 πa wzlwSin2π( x − cwt )lwδЗдесь l – максимальная длина волны, a = 2π(2 µ + λ )lFw– безразмерныйwпараметр затухания волны по глубине, c = c − c aw22221ww– скорость движенияфронта волны.Будем называть такую волну W-волной.Если в эксперименте удастся реализовать W-волну, измеряя длину волны l иwскорость движения ее фронта c , можно вычислить постоянную Лапласа дляwповерхности данной среды:δ = (2µ + λ )lc22 − cw2Fw(6.8)2πc1Здесь следует отметить, что в соответствии с (6.8) максимальная длина Wволны является единственной для выбранной среды:2πc1δFlw = 2c2 − cw2 (2 µ + λ )Действительно,(6.9)праваячастьсоотношения(6.9)определенатолькомеханическими характеристиками среды – плотностью ρ , адгезионныммодулеми коэффициентами Ламе µ ,λ , χ . То же самое можно утверждатьи относительно частоты/периода колебаний W-волны:ω =w2πcwlw(6.10)Соотношение (6.10) дает теоретическое объяснение явлению капиллярнойряби на поверхности жидкости как резонансному образованию стоячей Wволны на частоте ωw.1706.1.3.2.

Характеристики

Список файлов диссертации