Диссертация (786079), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Причем этот эффект явно зависит от размера армирующих частицρ D . Он в данном случае трактуется как увеличение модуля включения за счетмежфазного слоя. Таким образом, неклассическое решение (7.4) может бытьпредставлено в форме (7.8) и является математическим обоснованиемгипотезы эффективного включения.7.1.3.2. Математическое обоснование гипотезы эффективнойматрицы.Формулировка гипотезы эффективной матрицы: «В мелкодисперсномкомпозите матрица меняет свои механические свойства, и вместо E M имеетмодуль E*M ».В соответствии с этой гипотезой, эффективный модуль композитаможет быть определен по формуле:(lM + lD ) lMl= M + DDE0E*E(7.9)И это соотношение противоречит решению классической теории упругости –формуле Рейсса, и является эмпирической формулой.

В то же времянеклассическое решение «простейшей» теории когезионных взаимодействий(7.4) так же, как и в предыдущем случае, может быть представлено в форме(7.9) точно. Для этого эффективный модуль матрицы E*M в соответствии с(7.4) следует определить по формуле:11  11  2x f= M − M − D ME*EE  ρMEОтсюда видно, что в отсутствие когезионных взаимодействий x f → 0 , имеетместо классический предел – формула Рейсса. При наличии когезионныхвзаимодействий x f ≠ 0 имеет место масштабный эффект усиления композита.Причем этот эффект явно зависит от размера армирующих частицρ M = ρ D (1 − f ) / f .

Он в данном случаетрактуется как увеличение модуля191матрицы за счет межфазного слоя. Таким образом, неклассическое решение(7.4) может быть представлено в форме (7.9) и является математическимобоснованием гипотезы эффективной матрицы.7.1.3.3. Математическое обоснование гипотезы эквивалентногоконтинуума.Формулировка гипотезы эквивалентного континуума: «Мелкодисперсныйкомпозит, состоящий из матрицы и включения с относительной объемнойдолей f имеет механические свойства такие, как будто вместо f имеетдругую относительную объемную долю f* ».В соответствии с этой гипотезой, эффективный модуль композитаможет быть определен по формуле:1 (1 − f* )f*=+E0EMED(7.10)Это соотношение также противоречит решению классической теорииупругости – формуле Рейсса, и является эмпирической формулой.

В то жевремянеклассическоерешение«простейшей»теориикогезионныхвзаимодействий (7.4) может и здесь быть представлено в форме (7.10) точно.Для этого эффективную объемную долю f* в соответствии с (7.4), следуетпредставить в виде:f * = f (1 + 2 x f / ρ D )Отсюда видно, что в отсутствие когезионных взаимодействий x f → 0 , имеетместо классический предел – формула Рейсса. При наличии когезионныхвзаимодействий x f ≠ 0 имеет место масштабный эффект усиления композита.Причем этот эффект явно зависит от размера армирующих частиц ρ D . Он вданном случае трактуется как увеличение относительной объемной доливключения за счет межфазного слоя.

Таким образом, неклассическое192решение (7.4) может быть представлено в форме (7.10) и являетсяматематическим обоснованием гипотезы эквивалентного континуума.7.1.3.4. Математическое обоснование гипотезы трех фаз.Формулировка гипотезы трех фаз: «В мелкодисперсном двухфазномкомпозите на границе контакта матрицы и включения образуется за счетобъемной доли исходных фаз третий (межфазный) слой со своимиспецифическими параметрами: абсолютной объемной долей l f и модулемE f ».В соответствии с этой гипотезой, эффективный модуль композитаможет быть определен по формуле:llD*(lM + lD ) lM*= M + D + fEfEEE0(7.11)Здесь lM* , E M lD* , E D l f , E f - абсолютная объемная доля и модуль каждойиз трех фаз. Как и первые три формулировки гипотез осреднения, этосоотношение также противоречит решению классической теории упругости –формуле Рейсса, и является эмпирической формулой.

При этом гипотеза(7.11) вводит уже не один (как предыдущие гипотезы), а четыреэмпирических параметра (с учетом связи lM* + lD* + l f = lM + lD - три). Тем неменее,неклассическоерешение«простейшей»теориикогезионныхвзаимодействий (7.4) может быть представлено и в форме (7.11). Для этогопреобразуем соотношение (7.4) следующим образом:193lM + l D11= M [lM − ME0EE [+11[l − DD DEE [+21 1EM ED [2N]+aDaM+]E Dth(aD ρ D / 2) E M th(aM ρ M / 2)2NaDaM+ M]DE th(aD ρ D / 2) E th(aM ρ M / 2)]+2NaDaM+ M]E th(aD ρ D / 2) E th(aM ρ M / 2)DВведем обозначения:11EDx==xf fMaDaMEM [(E D − E M )+]E Dth(aD ρ D / 2) E M th(aM ρ M / 2)1EMx = 1=xf fD E DaDaM(E D − E M )[+]E Dth(aD ρ D / 2) E M th(aM ρ M / 2)Эти параметры имеют физический смысл абсолютной объемной доличасти межфазного слоя, расположенного в матрице и в изолированномвключении соответственно.

Решение (7.4) приобретет вид:1(lM + lD ) (lM − 2 Nx fM ) (lD − 2 Nx fD )2 N ( x fM + x fD )=++ M DDME E ( x fM + x fD )E0EE( x fM E M + x fD E D )Введем определение модуля Юнга межфазного слоя E f :11+ D)M(E D + E M )EEEf ===( x fM E M + x fD E D ) ( 1 E M + 1 E D )2MDEEE M E D ( x fM + x fD )EM ED(Тогда неклассическое решение (7.4) можно представить строго в форме(7.11). Свойства фаз определяются модулями E M , E D и E f = ( E D + E M ) / 2 и,соответственно,ихlM* = lM − 2 Nx f E D /( E D − E M ) ,l f = 2 Nx f ( E D + E M ) /( E D − E M ) .абсолютнымиобъемнымидолями:lD* = lD − 2 Nx f E M /( E D − E M )иОбратим внимание на то, что суммарныйабсолютный объем не изменился и по-прежнему равен сумме объемныхдолей исходных двух фаз:194lM* + lD* + l f = (lM − 2 Nx fM ) + (lD − 2 Nx fD ) + 2 N (x fM + x fD ) = lM + lDКроме того, три эмпирических параметра формулировки гипотезы трехфаз lM* , lD* и l f выражаются через единственный неклассический параметр x f ,а четвертый E f - через классические параметры композита E D , E M .Таким образом, и формулировка гипотезы трех фаз является строгимследствием аналитического решения (7.4) приближенной постановки«простейшей» теории когезионных взаимодействий.7.1.4.

Модель мелкодисперсного композита как классическойнеоднородной структуры..Преобразуемлагранжиан(7.2)исходнойпостановкиквиду,соответствующему лагранжиану классической неоднородной среды:L = ( Pi X i )r |x =lx =0= ( Pi X i )r |xx == l0 −= ( Pi X i )r |x =lx =0= ( Pi X i )r |l1EEEF [(r ′ − r ′′′)r ′ + (r ′′r ′)′]dx =∫20CClFE− ∫ E (r ′ − r ′′′)r ′dx =20C= ( Pi X i )r |xx == l0 −x =lx =0l1EEE− ∫ EF [(r ′ − r ′′′)r ′ + r ′′′r ′ + r ′′r ′′]dx =20CCClFEE (1 − r ′′′ / r ′)r ′r ′dx =∫20CF−2l∫~Er ′r ′dx0Здесь введен переменный по координатам непрерывный модуль Юнга:1951внутри включения EDaD ch( aD x)[1]x+fsh( aD ρ D / 2)aDaM[]+EDth( aD ρ D / 2) EM th( aM ρ M / 2)~E ( x ) =  E D EMна границе контактаaaDM[]+th( aD ρ D / 2) th( aM ρ M / 2)1 EMвнутри матрицы [1 − x aM ch(aM ( x − ( ρ D / 2 + ρ M / 2))) ]fsh(aM ρ M / 2)Здесьучтеносоотношениемеждуxfиклассическимиинеклассическими параметрами фаз.Заключение.Используяаналитическоерешение(7.4)приближеннойпостановки«простейшей» теории когезионных взаимодействий, получена модельмелкодисперсных композитов, учитывающая масштабный эффект.

Выведеназависимость эффективной жесткости для композитных материалов отклассических и неклассических параметров фаз. Она показывает, чтотеоретические результаты сходятся с экспериментальными данными и могутбыть использованы для прогнозирования поведения композита для большогодиапазона концентраций и диаметров включений. Модель позволяетпрогнозировать свойства мелкодисперсных композитов как для случаевмалой, так и большой концентрации, для произвольного соотношения междужесткостямифаз,длябольшогоинтерваларазмероввключений(неклассическое поведение).

Все результаты получены в рамках единогоподхода, без привлечения дополнительных гипотез. Используя эту теорию,можно определить как геометрические, так и механические параметрымежфазного слоя в мелкодисперсных композитах. Причем, параметрымежфазногослояполностьюопределяютсянеклассическими параметрами фаз.196классическимииПроведено сравнение результатов теоретического расчета (7.4)-(7.5) срезультатами эксперимента, который описывает свойства композитногоматериаласфиксированнымимеханическимисвойствамифаз,новарьируемыми объемными долями включений и варьируемыми размерамивключений.

В работе [43] подобные данные представлены для двух типовкомпозитов усиленных стеклянными частицами с двумя типами матриц эпоксидной смолой и ненасыщенным полиэстером. Найдя параметры a M иa D в результате обработки экспериментальных данных (обратная задача),можно вывести теоретическую зависимость для эффективных характеристиккомпозита от параметров фаз. Модель адекватно описывает поведениерассматриваемого композитного материала, а полученные теоретическиезависимости хорошо соотносятся с данными экспериментов для всегоспектра изменений объемных долей и размеров включений. Таким образом,теоретические зависимости могут быть использованы для прогнозированиясвойств композитных материалов с известными характеристиками матрицы ивключений, если объемная доля и размер включений изменены [51].Кроме того, выражения (7.4) и (7.5) позволяют рассматривать частные случаипри разных соотношениях размеров включений, их объемной долей исоответствующими длинами когезионных зон.Неклассическая модель мелкодисперсных композитов позволяет развитьтеорию межфазного слоя как естественное, математически обоснованное,развитие гипотезы третьей фазы.

Установлено, что межфазный слой имеетфизический смысл области в окрестности границы контакта фаз, в которойкогезионные взаимодействия имеют существенное значение. Принципиальноновый, качественный результат, заключается в том, что межфазный слой неимеет фиксированных геометрических размеров и экспоненциально затухаетпо мере удаления от границы контакта фаз.

Одновременно с этимустановлены геометрические параметры, характеризующие межфазный слой.Они выражаются через неклассические модули фаз CM и CD . Это, в первую197очередь, характерные длины когезионных взаимодействий в фазах aM−1 и aD−1 .Другой парой геометрических параметров могут служить абсолютныеобъемные доли межфазного слоя в фазах x fM и x fD .

Они определяютсуммарную объемную долю межфазного слоя l f = 2 N (x fM + x fD ) . Еще однимновым геометрическим параметром может служить параметр 2 Nx f-«обменная объемная доля». Его физический смысл вытекает из соотношения(7.4), переписанного в форме:(lM + lD ) (lM − 2 Nx f ) (lD + 2 Nx f )=+E0EMEDИз этого соотношения следует, что объемная доля матрицы уменьшается, аобъемная доля включений увеличивается на одну и ту же величину 2 Nx f –матрица и включения «обмениваются» этой объемной долей. Следуетобратить внимание на то, что «обменная объемная доля» 2 Nx f и объемнаядоля межфазного слоя l f = 2 N (x fM + x fD ) не эквиваленты друг другу, а связанысоотношением:l f = 2 Nx f(E D + E M )(E D − E M )1987.2.К теории нанокомпозитов, армированных SWNT (эффекты Одегарда).7.2.1. Эффект Одегарда на коротких волокнах.Рассмотримячейкупериодичностимелкодисперсногокомпозита,армированного нановолокнами в рамках «простейшей» теории когезионногополя [52].

Характеристики

Список файлов диссертации