Диссертация (786079), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

При толщине(h << 6 1 − υ 2) (2µ E+ λ )FFцилиндрическая жесткость полностью определяетсяадгезией лицевых поверхностей.2157.3.3. Механические свойства 2D-структур.Рассмотрим модель идеальной среды Тупина с идеальной и градиентнойадгезией поверхностей.L = A−−1{Cijmn Ri , j Rm, n + Cijkmnl Ri , jk Rm, nl }dV −2 ∫∫∫1{ Aijmn Ri , j Rm, n + Aijkmnl Ri , jk Rm, nl }dF2 ∫∫Эта модель дает некоторые новые качественные результаты, которыеневозможно получить в рамках более простых моделей. Здесь изучается одиниз таких результатов – возможность объяснить механические свойства ипостроить прикладные теории изгиба и деформирования в плоскости 2Dструктуры [58].Действительно, лагранжианы как классической механики сплошной среды,так и общепризнанных градиентных моделей Миндлина и Тупина, содержатпотенциальную энергию, определяемую только через объемную плотностьпотенциальной энергии.

Для двухмерной среды лагранжианы этих моделейформально не применимы. Это утверждение следует из того, чтопотенциальная энергия среды нулевого объема в этих моделях равна нулю.Все теории пластин в этих моделях строятся как модели трехмерных тел смалым, по сравнению с остальными, габаритом в третьем направлении.

Темне менее, и в теории пластин этих моделей остается тот же принципиальныйпорок: пластина нулевого объема (за счет нулевой толщины) будет иметьнулевую потенциальную энергию.Рассмотрение 2D-структуры как объемной структуры, имеющейтолщину, соизмеримую с диаметром атома, нельзя считать корректным [59].Действительно, рассмотрим такую объемную структуру как пластинуграфита, состоящую из параллельных листов графена.

Вполне очевидно, что«объемные» свойства такой структуры определяются межатомнымивзаимодействиями «длинных графитовых» связей между атомами углерода216соседних листов графена. Интерполяция свойств многослойной и дажедвухслойной графитовой пластины на свойства изолированного листаграфенапредставляетсянедопустимой.Тежерассужденияможноосуществить и для других 2D-структур, имеющих другой химический состав.Таким образом механические свойства 2D-структуры целесообразнопопытаться описать в рамках теории, лагранжиан которой наряду собъемной,содержитиповерхностнуюпотенциальнуюэнергию.Впредыдущем разделе рассматривался вариант теории тонких пленок садгезионными свойствами лицевых поверхностей.

Однако в предельномслучае, рассмотренном здесь, при нулевом объеме (толщине) пленкиуравнениеизгиба вырождалось в уравнениевторого порядка. Этоопределялось тем, что учитывались только идеальные, не градиентныеадгезионные свойства лицевых поверхностей. Наличие более общей теориипозволяет вернуться к этой проблеме и сформулировать невырожденныйслучай.

В случае 2D-структуры объемная плотность потенциальной энергииравна нулю, и лагранжиан приобретает специфически простой (но нетривиальный) вид:L = A−1{ Aijmn Ri , j Rm, n + Aijkmnl Ri , jk Rm, nl }dF2 ∫∫При этом учтем, что поверхностная плотность потенциальной энергиидвумерной структуры не должна зависеть от нормальных производных отперемещений. В связи с этим следует потребовать, чтобы тензорыадгезионных модулей обладали следующими свойствами:Aijmn n j = Aijmn nn = 0Aijkmnl n j = Aijkmnl nk = Aijkmnl nn = Aijkmnl nl = 0Для простоты будем полагать, что в плоскости 2D-структуры механическиесвойства изотропные. Отсюда вытекает следующий упрощенный видтензоров адгезионных модулей:*Aijmn = λF δ ij*δ mn+ ( µ F + χ F )δ im* δ *jn + ( µ F − χ F )δ in* δ *jm + δ F ni nmδ *jn21711=Aijkmnl***= A111 (δ ij*δ kmδ nl* + δ mnδ li*δ *jk + δ ij*δ lm* δ nk* + δ mnδ ki* δ *jl +**+ δ ik* δ *jmδ nl* + δ mlδ ni* δ *jk + δ il*δ *jmδ nk* + δ mkδ ni* δ *jl +***+ δ ij*δ kl* δ mn+ δ ik* δ *jnδ ml+ δ il*δ *jnδ mk+ δ in* δ lk* δ *jm ) ++ A211δ im* (δ *jk δ nl* + δ *jnδ kl* + δ *jlδ kn* ) ++ A311ni nm (δ *jk δ nl* + δ *jnδ kl* + δ *jlδ kn* )Развернутая структура потенциальной энергии принимает вид:1U F = { Aijmn Ri , j Rm , n + Aijkmnl Ri , jk Rm , nl } =21= {λF ri , j rm , n + ( µ F + χ F )δ *jn rm , j rm , n + ( µ F − χ F )rn , j rj , n +2*+ 4 A111δ mn(ri ,ij rj , mn + ri ,im rj , jn + ri , jm rj ,in ) ++ A211ri , jk ri , nl (δ *jkδ nl* + δ *jnδ kl* + δ *jlδ kn* ) ++ δ F δ *jn R, j R, n + A311R, jk R, nl (δ *jkδ nl* + δ *jnδ kl* + δ *jlδ kn* )}Задача изгиба 2D-структуры в данной постановке отделяется от задачидеформирования в своей плоскости.

Рассмотрим эти задачи отдельно.7.3.3.1. Механические свойства 2D-структуры придеформировании в плоскости.В соответствии с формулировкой выражения потенциальной энергии 2Dструктуры в разделе 7.3.3., при деформировании в плоскости прогибыотсутствуют, и лагранжиан приобретает вид:1{λF ri ,i rm ,m + ( µ F + χ F )δ *jn rm , j rm ,n + ( µ F − χ F )rn , j rj ,n +∫∫211 *+ 4 A1 δ mn (ri ,ij rj ,mn + ri ,im rj , jn + ri , jm rj ,in ) +L = A−+ A211ri , jk ri ,nl (δ *jk δ nl* + δ *jnδ kl* + δ *jlδ kn* )}dFСиловые факторы можно определить, используя формулы Грина:218σ ij11 =∂U F= λF δ ij*rm ,m + µ F (δ *jn ri ,n + δ in* rj ,n )∂ri , j11mijk=∂U F*= 4 A111 (δ ij*δ mnrk ,mn + δ ij*δ kn* rp , pn + δ kn* rj ,in ) + A211ri ,nl (δ *jk δ nl* + δ *jnδ kl* + δ *jlδ kn* )∂ri , jkВ координатной форме:FFFσ 11xx = ( 2 µ + λ ) rx , x + λ ry , y 11Fσ xy = µ (rx , y + ry , x ) 11Fσ yx = µ (rx , y + ry , x ) 11FFFσ yy = λ rx , x + (2 µ + λ )ry , ym11xxx 11mxxy 11mxyx 11mxyym11yxx 11m yxy 11m yyx 11m yyy= 4 A111 (3rx , xx + ry , xy + rx , yy ) + A211 (3rx , xx + rx , yy )= 4 A111 (ry , xx + 2rx , xy + 2ry , yy ) + A211 (rx , xx + 2rx , xy + rx , yy )= 4 A111ry , xx + A211 (2rx , xy )= 4 A111ry , xy + A211 (rx , xx + 3rx , yy )= 4 A111rx , xy + A211 (3ry , xx + ry , yy )= 4 A111rx , yy + A211 (2ry , xy )= 4 A111 (2rx , xx + rx , yy + 2ry , xy ) + A211 (2ry , xy )= 4 A111 (ry , xx + rx , xy + 3ry , yy ) + A211 (ry , xx + 3ry , yy )Вариационное уравнение в силовых факторах:11δL = δA − ∫∫ {σ ij11δri , j + mijkδri , jk }dF =1111= δA − ∫∫ {(σ ij11 − mijk, k )δri , j }dF − ∫ mijk vk δri , j ds =Fs11111111= ∫∫ (σ ij11, j − mijk, jk + Pi )δri dF + ∫ {− mijk vk δri , p ( s p s j + v p v j ) + ( Pi − σ ij v j + mijk , k v j )δri }ds =F11= ∫∫ (σ ij11, j − mijk, jk + Pi )δri dF +111111v j vk )δ (ri , p v p ) + ( Pi s − σ ij11v j + mijk+ ∫ {−(mijk, k v j + [( mijk s j vk ) s p ], p )δri }ds −11s j vk )δri = 0− ∑ (mijkВариационное уравнение в перемещениях:219δL = δA + ∫∫ {µ F ∇ 2 ri + ( µ F + λF )rk , ki − 12 A111∇ 2 rk , ki − 3 A211∇ 2∇ 2 ri }δri dF −− ∫ {[ 4 A111 (rk , ki + rk , km vi vm + rj ,im v j vm ) + A211ri , km ( sm sk + 3vm vk )]δ (ri , p v p )}ds −− ∫ {[λF rm , m vi + µ F ri , j v j + µ F rj ,i v j ] −− [4 A111 (rk , kij v j + ∇ 2 rk , k vi + ∇ 2 rj ,i v j ) + 3 A211∇ 2 ri , j v j ] −− [4 A111 (rk , kmp si vm s p + rj ,imp s j vm s p ) + 2 A211ri , kmp sk vm s p ]}δri ds −− ∑ [4 A111 (rk , km si vm + rj ,im s j vm ) + 2 A211ri , km sk vm ]δri = 0Введем следующие обозначения: производная вдоль контура - ri ,k sk = ri′ ;нормальная к контуру производная - ri ,k vk = ri .

Тогда вариационное уравнениев перемещениях для прямоугольного контура листа принимает вид:δL = ∫∫ {µ F ∇ 2 ri + ( µ F + λF )rk ,ki − 12 A111∇ 2 rk ,ki − 3 A211∇ 2∇ 2 ri + Pi F }δri dF −− ∫ {[ 4 A111 (rk ,ki + rk ,k vi + rj ,i v j ) + A211 (ri′′+ 3ri )]δri }ds −− ∫ {[λF rm ,m vi + µ F ri + µ F rj ,i v j ] −− [4 A111 (rk ,ki + ∇ 2 rk ,k vi + ∇ 2 rj ,i v j ) + 3 A211∇ 2 ri ] −− [4 A111 (rk′,k si + rj′,i s j ) + 2 A211ri′′] − Pi S }δri ds −− ∑ [4 A111 (rk ,km si vm + rj ,im s j vm ) + 2 A211ri ,km sk vm ]δri = 0Таким образом, модель деформирования 2D-структуры в своей плоскостиэквивалентна плоской постановке градиентной модели Тупина, но с инымифизическими свойствами, которые определяются иными тензорами модулей,а именно - адгезионными.7.3.3.2.

Механические свойства 2D-структуры при изгибе.В соответствии с формулировкой выражения потенциальной энергии 2Dструктуры в разделе 7.3.3., при деформировании из своей плоскостипроекция вектора перемещений на плоскость отсутствует, и лагранжианприобретает вид:L = A−= A−1{ Aijmn ni nm R, j R,n + Aijkmnl ni nm R, jk R,nl }dF =2 ∫∫1*R, p R,q + A311 (δ *jk δ nl* + δ *jnδ kl* + δ *jlδ kn* ) R, jk R,nl }dF{δ F δ pq∫∫2220Силовые факторы можно определить, используя формулы Грина:1*U F = {δ F δ pqR, p R, q + A311 (δ *jk δ nl* + δ *jnδ kl* + δ *jlδ kn* ) R, jk R, nl }2Qx = δ F R, x∂U FF *= δ δ pq R, q = Qp =F∂R, pQy = δ R, yM xx = A311 (3R, xx + R, yy )∂U F= A311 (δ *jk ∇ 2 R + δ lj*δ nk* R, nl + δ nj* δ kl* R, nl ) = M xy = A311 2 R, xy = M yx = A311 2 R, xyM jk =∂R, jk11M yy = A3 ( R, xx + 3R, yy )Вариационное уравнение в силовых факторах:δL = ∫∫ (Q j , j − M jk , jk + P F )δRdF ++ ∫ {−( M jk v j vk )δ ( R,i vi ) + ( P F − Q j v j − [( M jk s j vk ) si ],i + M jk , k v j )δR}ds − ∑ ( M jk s j vk )δR = 0Здесь использованы криволинейные ортогональные координаты с ортами si иvi ,связанные с плоским контуром 2D-структуры.

Характеристики

Список файлов диссертации