Диссертация (786079), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Будем использовать 2D постановку биплоской задачи длялагранжиана L , в которой поле перемещений Ri имеет только однукомпоненту R . Причем R - функция двух координат x, y . Лагранжиан (5.2.4)в отсутствие адгезии для биплоской 2D-постановки имеет вид:L = A−1∂2R 21∂2R∂R ∂R∂R ∂R{() }dxdy+G+E+GE∂y∂y2 ∫∫∂x∂x∂y ∂y C V∂x ∂x(7.12)Искомое решение строится методом Власова, распределение перемещенийвыбирается в виде R( x, y ) = xr ( y ) .

Тогда лагранжиан (7.12) может бытьпреобразован к виду:L = A−G2 212′′++ErrGxrrx r ′′r ′′}dxdy{CV2 ∫∫После внутреннего интегрирования по координате x лагранжиан принимаетвид:L = A−12hD + hM∫{Elrr +0Gl 3G2 l3r ′r ′ + Vr ′′r ′′}dyC 1212(7.13)Вариационное уравнение получено в соответствии с принципом Лагранжа:δL = lh D + hM∫{ p − Er + G0l2G2 l 2r ′′ − Vr ′′′′}δrdy −12C 122l Gl2G2 l 2′′′′− l{(Gr)δr+(Gr−r ′′′)δr}12 C V12C V 12Вариационноеуравнениеy = hD(7.14)=0определяетсоответствующиеуравненияравновесия и весь спектр граничных условий. Уравнения равновесия199являются неоднородными дифференциальными уравнениями четвертогопорядка для каждой из фаз:G2 l 2l2′′′′rGr ′′ + Er = p−C V 1212(7.15)Внеинтегральные члены вариационного уравнения определяют граничныеусловия на осях симметрии волокна и матрицы, а так же условия контактадля волокна и для матрицы.

Таким образом, формулировка граничныхусловий будет следующей:rD′ (0) = 0rD′ (0) −GDrD′′′(0) = 0CDrD (hD ) = rM (hD )G r ′ (h ) = G r ′ (h )M MD DD DGDGrD′′′(hD ) = rM′ (hD ) − M rM′′′ (hD )rD′ (hD ) −CCMDG 2G2 D rD′′ (hD ) = M rM′′ (hD )CM C D(7.16)rM′ (hD + hM ) = 0rM′ (hD + hM ) −GMrM′′′ (hD + hM ) = 0CMХарактеристические уравнения для рассматриваемой задачи будут выглядетьследующим образом:[12 EG 4k − k2 + 2VCl G]D, M=0(7.17)Корни характеристических уравнений имеют вид:1 ± 1 − 48k1, 2,3, 4 D , M = ±ECV l 2(7.18)G2 VCОбратим внимание на то, что первая пара корней характеристическогоуравненияприближенносовпадаетскорнямихарактеристическогоуравнения классической постановки, а вторая пара – определяетсяхарактерной длиной когезионных взаимодействий lV для каждой из фаз.200 1 12 E= ±b± l G≈CV±Gk1, 2,3, 4 D , MЗаметим, что корни становятся кратными, если C V = 48E / l 2 , а при C V < 48E / l 2-комплексно-сопряженными.Приведемрешениедляслучая,когдаk1, 2,3, 4 D , M = ±α D , M ± iβ D , M комплексно-сопряжённые корни характеристическогоуравнения:Для волокна 0 ≤ y ≤ hD :rD ( y ) =PD+ C D1ch(α D y ) ⋅ cos(β D y ) + C D 2 sh(α D y ) ⋅ sin (β D y )EDДля матрицы hM ≤ y ≤ hM + hD :rM ( y ) =PM+ C M 1ch(α M ( y − hM − hD ) ) ⋅ cos(β M ( y − hM − hD ) ) +EM+ C M 2 sh(α M ( y − hM − hD ) ) ⋅ sin (β M ( y − hM − hD ) )Система уравнений (7.16) позволяет определить постоянные интегрированияC D1 , C D 2 , C M 1 , C M 2 и построить решение в целом.

Численно решая систему (7.16)относительно C M 1 , CM 2 , C D1 , C D 2 были найдены искомые перемещения инапряжения композита.Значения параметров модели выбраны аналогично [53]. Зависимостьэффективного модуля от когезионного модуля волокна такова, чтокогезионный модуль жёсткой фазы практически не оказывает влияние нарешение. Зависимость эффективного модуля от когезионного модуляматрицы при этом существенна. На рисунке (рис.

7.1) показана тенденцияграфика эффективного модуля как функции длины нанотрубки приизменении когезионного модуля матрицы. Когезионный модуль матрицыизменялся от 0,00009 ГПа/нм2 до 0,06561ГПа/нм2, при этом с увеличениемзначения модуля, решение становилось все ближе и ближе к классическому.Как видно на рис.

7.1, существуют такие значения когезионного модуля, прикоторых решение будет близко к значениям, полученным в работе [54].201Осреднениепо ФойгтуEv=11.015 ГПа12ДанныеОдегарди др.Е - Эффективный модульЮнга композита, ГПа10Решениес учетомкогезииCm от20.00009 ГПа/нмдо820.06561 ГПа/нмОсреднениепо РейссуEr=0.9091 ГПаРешениебез учетакогезии6420050100150200250300350400450l - длина волокна, нмРис. 7.1.

Зависимость эффективного модуля Юнга от длины волокна с учетомкогезионных взаимодействий при изменении С M от 0,00009 ГПа/нм2 до0,06561ГПа/нм2Осреднениепо ФойгтуEv=11.015 ГПа1210Е - Эффективный модульЮнга композита, ГПаДанныеОдегарди др.86Решениебез учетакогезииРешениес учетомкогезии2Cm=0.01 ГПа/нм42Осреднениепо РейссуEr=0.9091 ГПа0050100150200250300350400450l - длина волокна, нмРис.

7.2 Зависимость эффективного модуля Юнга от длины волокна с учетомкогезионных взаимодействий при С M = 0,01 ГПа/нм2.На рис. 7.2 показано решение, наиболее близкое к значениям, полученнымгруппой Г.М. Одегарда в работе [53]. Этому решению соответствует202когезионный модуль матрицы С M =0,01 ГПа/нм2. При этом характерная длинакогезионныхвзаимодействийвматрицевсоответствиис(7.18)lM ≈ GM / CM = 0,3462 / 0,01 = 5,88нм .Если считать результаты группы Одегарда соответствующими эксперименту,то можно сделать вывод о том, что классическая модель композита [], непозволяет объяснить эффект усиления, описанный в работе [53]. Напротив,результат, полученный с использованием когезионной модели межфазногослоя, близок к экспериментальным данным. Анализируя полученные данные,можно говорить о том, что при одной и той же расчетной схеме (биплоская2D-постановка) классическая модель ( CM → ∞ ) не позволяет описать, акогезионная модель межфазного слоя успешно описывает эффект усиленияна коротких волокнах, обнаруженный группой Одегарда.Оценка величины характерной длины когезионных взаимодействий вматрицепозволяетвзаимодействийсделатьсущественновыводменяетотом,чтовкладэффективнуюкогезионныхобъемнуюдолювключений, а учет когезионных взаимодействий необходим в теориинанокомпозитов [54].7.2.2.

Эффект Одегарда на длинных волокнах.Использованная в этом параграфе обобщенная модель волокнистогонанокомпозита позволяет описать как эффект усиления в диапазоне короткихволокон, что обусловлено учетом масштабных эффектов, так и эффектусиления в диапазоне длинных волокон, расширяющий границы ФойгтаРейсса, который обусловлен силами поверхностного натяжения [55]. Такимобразом, дается объяснение природы аномального увеличения эффективногомодуля в композитах, армированных нановолокнами с разной степеньюфункционализации.Дается оценка эффективных свойств эквивалентного гомогенного203материала; приводится сравнение результатов расчета эффективного модуляЮнга в рамках рассмотренных моделей с результатами других авторов.В рамках теории упругости с идеальной адгезией поверхности средыучет сил поверхностного натяжения позволяет получить более высокийэффективный модуль и расширить границы Фойгта-Рейсса.

При этом, вдиапазоне коротких волокон эффект аномального усиления не может бытьобъяснен. А в рамках градиентной теории можно объяснить эффектаномального усиления в зоне коротких волокон, но лишь в рамках вилкиФойгта-Рейсса.Для построения математической модели волокнистого нанокомпозитарассматривается ячейка в плоской постановке. Вектор перемещений Ri(i = 1,2) имеет единственную проекцию Rна ось волокна, нагружениеволокна в направлении армирования передается исключительно за счетпродольных сдвигов в матрице.Решение строится методом В.З.

Власова. Индексом M обозначеныпараметры, относящиеся к матрице, а индексом D - параметры, относящиесяк волокну (дефекту). Введены следующие обозначения: l - длина включения,EM , D , GM ,G , hM , D - модуль Юнга, модуль сдвига и толщина фаз.В рамках плоской постановки в декартовой системе координат,погонная в отношении координаты z плотность лагранжиана имеет вид:+ l / 2 hD + hM1Lz = Az − ∫2 −l / 2∫02 ∂R ∂2R∂2R1 ∂R {E   + G  + ( E 2 + G 2 ) 2 }dxdy −∂x∂y ∂x  ∂y  C2+ l / 2 hD + hg / 2−( RM ( x, hD + hg / 2) − RD ( x, hD − hg / 2)) 21[] dxdy −Gg2 −l∫/ 2 hD −∫hg / 2hg+ l / 2 hD + hg / 2∂∂11− ∫ ∫E g [( RM ( x, hD + hg / 2) + RD ( x, hD − hg / 2))]2 dxdy∂x2 −l / 2 hD − hg / 2 4∂xВыражение (7.19) можно представить в виде:204(7.19)+ l / 2 hD + hM1L z = Az − ∫2 −l / 2∫0+ l / 2 hD + hg / 2−2 ∂R 1∂2R∂2R 2 ∂R {E   + G  + ( E 2 + G 2 ) }dxdy −C∂x∂y ∂x  ∂y 2+ l / 2 hD + hg / 22 ∂R 111  ∂R G g   dxdy − ∫E g   dxdy∫∫∫2 −l / 2 hD − hg / 2  ∂y 2 −l / 2 hD − hg / 2 4  ∂x 2(7.20)Искомое решение так же, как и в предыдущих главах, строитсяметодом Власова, и распределение перемещений выбирается в видеR ( x, y ) = xr ( y ) , толщина фиктивного слояhg → 0 .После внутреннегоинтегрирования по координате x , лагранжиан принимает вид:L=1l2hD + hM∫{2 pr − Er 2 −02 2Gl 2(r ′)2 − G l (r ′′)2 }dy −C 1212(7.21)3−11 ggl[rM (hD ) − rD (hD )]2 − e g l[(rM (hD ) + rD (hD ))]22 122Здесь p - кусочно-постоянная внешняя нагрузка, показанная нарис.2.7.Вариационное уравнение получено в соответствии с принципомЛагранжа:hDδL = l ∫ [ PD − E D rD +0+lhD + hM∫hD2G l 2 IVGD l 2rD ]δrD dy +rD′′ − D12C D 122G l 2 IVGM l 2[ PM − E M rM +rM ]δrM dy −rM′′ − M12C M 122G l2l2l 2 GDrD′′′)δrD }rD′′ )δG D rD′ + (G D rD′ − D− l{(1212 C DC D 122− l{(y = hDy =0G l2l2l 2 GMrM′′′ )δrM }rM′′ )δG M rM′ + (G M rM′ − M1212 C MC M 12ggl3−y = hD + hMy = hD(7.22)+ggl3[rM (hD ) − rD (hD )]δrM (hD ) −[rM (hD ) − rD (hD )]δrD (hD ) −1212− e g l[(rM (hD ) + rD (hD ))]δrD (hD ) − e g l[(rM (hD ) + rD (hD ))]δrM (hD )+Вариационноеуравнение(7.22)определяетсоответствующиеуравнения равновесия и весь спектр граничных условий.

Уравненияравновесия являются неоднородными дифференциальными уравнениямичетвертого порядка для каждой из фаз:2052GD l 2l2rD′′′′− G D rD′′ + E D rD = pC D 12122Внеинтегральные2GM llrM′′′′ − G MrM′′ + E M rM = pC M 1212члены(7.23)2вариационногоуравненияопределяютграничные условия на осях симметрии волокна и матрицы, а так же условияконтакта для волокна и для матрицы.

Таким образом, формулировкаграничных условий будет следующей:G D rD′ (0) = 0G D rD′ (0) −G D2rD′′′(0) = 0CDGM GD C rD′′ (h D ) = C rM′′ (h D )M DG D rD′ (h D ) = G M rM′ (h D )2224e gGDGM′′′′′GrhrhGrhrM′′′ (h D ))] − 2 [(rM (h D ) + rD (h D ))] = 0[(()())(()−−+−D DDDDM MDCDCMl22GDGrD′′′(h D )) + (G M rM′ (h D ) − M rM′′′ (h D ))] + 2 g g [rM (h D ) − rD (h D )] = 0[(G D rD′ (h D ) −CDCM(7.24)G M rM′ (hD + hM ) = 0G M rM′ (hD + hM ) −G M2rM′′′ (hD + hM ) = 0CMОбщее решение уравнений (7.23):Для волокна 0 ≤ y ≤ hD :rD ( y ) =PD+ C D1ch(α D y ) ⋅ cos(β D y ) + C D 2 sh(α D y ) ⋅ sin (β D y )EDДля матрицы hM ≤ y ≤ hM + hD :rM ( y ) =(7.25)PM+ C M 1ch(α M ( y − hM − hD ) ) ⋅ cos(β M ( y − hM − hD ) ) +EM+ C M 2 sh(α M ( y − hM − hD ) ) ⋅ sin (β M ( y − hM − hD ) )Система (7.24) позволяет определить постоянные интегрирования врешении дифференциальных уравнений C D1 , C D 2 , C M 1 , C M 2 и построить решениев целом.

Численно решая систему (7.24) относительно C M 1 , CM 2 , C D1 , C D 2 , былинайдены искомые перемещения и напряжения композита.Алгоритм определения эффективного модуля композита сводится ксравнению потенциальных энергий композита и эквивалентной гомогенной206среды. В соответствии с теоремой Клапейрона, потенциальная энергиясоставного фрагмента:U==11A= l221lPD21+ lPM21+ lPM2hD + hM∫ Pr ( y)dy =0+ C D1ch(α D y ) ⋅ cos(β D y ) + C D 2 sh(α D y ) ⋅ sin (β D y )dy +hD PD0DhD + hM PM+ C M 1ch(α M ( y − hM − hD ) ) ⋅ cos(β M ( y − hM − hD ) )dy + EM∫  E∫hDhD + hM∫ (CM2(7.26)sh(α M ( y − hM − hD ) ) ⋅ sin (β M ( y − hM − hD ) ))dyhDЧтобы найти модуль Юнга эффективного континуума, сравнимпотенциальнуюэнергию(7.26)спотенциальнойэнергиейU0дляэквивалентного гомогенного фрагмента с модулем E :U 0 = 0,5l ⋅ p x (hD + hM ) E2(7.27)Здесь p x - нагрузка, приложенная к гомогенному образцу, аналогичнаянагрузке, приложенной к составному фрагменту.Из равенства потенциальных энергий гомогенной среды (7.27) икомпозиционного материала (7.26) получим выражение для модуля Юнгаэффективного континуума E : D PE = p x (hD + hM )  ∫  D + CD1ch(α D y ) ⋅ cos(β D y ) + CD 2 sh(α D y ) ⋅ sin (β D y )dy + 0  EDh+hD + hM∫hD+ PM+ CM 1ch(α M ( y − hM − hD ) ) ⋅ cos(β M ( y − hM − hD ) )dy + EMhD + hM∫ (ChDM2(7.28)sh(α M ( y − hM − hD ) ) ⋅ sin (β M ( y − hM − hD ) ))dy Выражение (7.28) можно представить в виде:hM + hD hM − h f hD + h f=+EEMEDГде h f :207(7.29)hf =++hD111P(−)EM ED∫ (CD1hD + hM111P(−)EM ED∫ (CM1ch(α M ( y − hM − hD ) ) ⋅ cos(β M ( y − hM − hD ) ))dy +11P(−)EM ED(7.30)hDhD + hM1ch(α D y ) ⋅ cos(β D y ) + C D 2 sh(α D y ) ⋅ sin (β D y ))dy0∫ (CM2sh(α M ( y − hM − hD ) ) ⋅ sin (β M ( y − hM − hD ) ))dyhDДалее, вычисление h fосуществлялось численно, а эффективныймодуль получен по формуле (7.29).Значенияпараметровмоделивыбраныаналогичнопараметрамуказанным в [54].

Характеристики

Список файлов диссертации