Диссертация (786079), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Тангенциальные поверхностные волны U ,V − типа.Пусть в (6.4) вектор перемещений будет иметь только одну компоненту,направленную параллельно поверхности полупространства: R = U ( x, z ) X .iiТогда остается единственное уравнение движения, которое определяетвторой тип поперечной поверхностной волны:(2µ + λ )с∂ 2U∂ 2U∂ 2Uµχρ++−=0()∂x 2∂z 2∂t 2соответствующим(6.11)граничнымусловиемнаплоскойповерхностиполубесконечной среды:(µ + χ )∂ 2U∂U− (µ F + χ F ) 2 = 0∂x∂z(6.12)При ( µ + χ ) = 0 не существует нетривиального решения краевой задачиFFописывающего(6.11)-(6.12),поперечнуюповерхностнуюволну.При( µ F + χ F ) ≠ 0 нетривиальное решение существует:U = U ae−2 πauЗдесь luzluSin2π( x − cu t )lu(6.13)(µ F + χ F )- максимальная длина волны, au = 2π( µ + χ )lu- безразмерныйпараметр затухания волны по глубине, c = (c − c a ) - скорость движенияu22212uфронта волны.Будем называть такую волну U-волной.Если в эксперименте удастся реализовать U-волну, измеряя длину волны l иuскорость движения ее фронта c , можно вычислить адгезионный модульu( µ F + χ F ) для поверхности данной среды:( µ + χ ) = ( µ + χ )luFFc12 − cu22πc2Рассуждения о единственности для длины волны и частоты U-волныаналогичныизложеннымвышерассуждениям для W-волны.
Длина171волны U-волны является единственной для выбранной среды:lu =( µ F + χ F ) 2πc2( µ + χ ) c12 − cu2Частота/период колебаний U-волны:ω =u2πculuОчевидно, что для U-волны должен существовать резонансный эффект,аналогичный эффекту капиллярной ряби для W-волны.Совершенно аналогично можно построить решение и для поверхностнойпоперечной V-волны, если вектор перемещений будет иметь только однукомпоненту, направленную параллельно поверхности полупространстваR = V ( y, z )Yi . Физически U и V волны ничем не отличаются, в чем можноубедиться, совершив преобразование поворота системы координат вокругоси OZ на 90 .6.1.3.3. Поверхностные волны θ − типа.Пусть в (6.4) вектор перемещений будет иметь только две компоненты,лежащиевплоскости,параллельнойповерхностиполупространства:Ri = ϕ , j (δ ij − Z i Z j ) .
Тогда уравнения движения могут быть записаны толькоотносительно изменения объема:θ ( x, y, t ) = R = ϕ (δ − Z Z ) = ∇ ϕ2i ,i, ijijij(2 µ + λ )∇ 2θ − ρθ = 0(6.14)с соответствующим "разделенным" первым граничным условием (6.2) наповерхности среды:∂ 2θ∂θFF(µ + χ )− (2µ + λ ) 2∂z∂x(6.15)При (2µ + λ ) = 0 не существует нетривиального решения краевой задачиFF(6.14)-(6.15) для поверхностной волны расширения. При (2µ + λ ) ≠ 0F172Fнетривиальное решение существует:θ =θ e−2 πaθzlθaSin2π( x − cθ t )lθЗдесь l – длина волны, a = 2πθθ( 2 µ F + λF )– безразмерный параметр затухания( µ + χ )lθволны по глубине, c = c (1 − a ) – скорость движения фронта волны.2θ1θБудем называть такую волну θ-волной.Если в эксперименте удастся реализовать θ-волну, измеряя длину волны искорость движения ее фронта, можно вычислить адгезионный модуль(2 µ F + λF ) для поверхности данной среды:(2 µ F + λF ) = ( µ + χ )lθc12 − cθ2(6.16)2πc1Рассуждения о единственности для длины волны и частоты θ-волны,вытекающие из соотношения (6.16), аналогичны изложенным вышерассуждениям для W-волны и соотношения (6.8).Длина волны θ –волны является единственной для выбранной среды:lθ =2πc1 (2 µ F + λF )c12 − cθ2 ( µ + χ )Частота/период колебаний θ-волны:ωθ =2πcθlθОчевидно, что для θ-волны должен существовать резонансный эффект,аналогичный эффекту капиллярной ряби для W-волны.6.1.3.4.
Поверхностные волны ω − типа.Пусть в (6.4) вектор перемещений будет иметь только две компоненты,лежащиевплоскости,параллельнойповерхностиполупространства:Ri = ψ ,m Z n Эmni . Тогда уравнения движения могут быть записаны толькоотносительно проекции псевдовектора поворотов на ось OZ173ω ( x, z , t ) = − R Э Z / 2 = −ψ Z Э Э Z / 2 = −ψ (δ − Z Z ) / 2i, j( µ + χ )(ijkk, mjnmniijkk, mjmjmj∂ 2ω ∂ 2ω∂ 2ω+)−ρ=0∂x 2 ∂z 2∂t 2(6.17)с соответствующим «разделенным» первым граничным условием (6.3) наплоской поверхности полубесконечной среды:(µ + χ )∂ 2ω∂ω− (µ F + χ F ) 2 = 0∂x∂z(6.18)При ( µ + χ ) = 0 не существует нетривиального решения краевой задачиFF(6.17)-(6.18) для поверхностной волны расширения. При(µ F + χ F ) ≠ 0нетривиальное решение существует:ω =ω e−2 πaωzlωaSin2π( x − cω t )lωЗдесь l – длина волны, a = 2πωω(µ F + χ F )– безразмерный параметр затухания( µ + χ )lωволны по глубине, c = c (1 − a ) – скорость движения фронта волны.2ω2ωБудем называть такую волну ω–волной.Если в эксперименте удастся реализовать ω-волну, измеряя длину волны искорость движения ее фронта, можно вычислить адгезионный модуль( µ F + χ F ) для поверхности данной среды:( µ + χ ) = ( µ + χ )lωFFc22 − cω2(6.19)2πc2Рассуждения о единственности для длины волны и частоты ω-волны,вытекающие из соотношения (6.19), аналогичны изложенным вышерассуждениям для W-волны и соотношения (6.8).
Длина волны ω-волныявляется единственной для выбранной среды:( µ F + χ F ) 2πc2lω =( µ + χ ) c22 − cω2Частота/период колебаний ω -волны:ωω =2πcωlω174Очевидно, что для ω-волны должен существовать резонансный эффект,аналогичный эффекту капиллярной ряби для W-волны.Итак, получены решения, описывающие четыре типа поверхностных волн,свойства которых обусловлены соответствующими четырьмя типамиадгезионных взаимодействий на поверхности среды.6.2.Модель «поврежденной» адгезии.Модель «поврежденной» адгезии строится как частный случай моделидефектной среды в предположении, что градиентными слагаемыми вобъемной и поверхностной плотностях потенциальной энергии можнопренебречь.
Лагранжиан модели:L = A−1111222{CijmnRi , j Rm ,n + 2CijmnRi , j Dmn2 + CijmnDij2 Dmn2 }dV −∫∫∫2(6.20)1111222− ∫∫ { AijmnRi , j Rm ,n + 2 AijmnRi , j Dmn2 + AijmnDij2 Dmn2 }dF2Вариационное уравнение:δL = δA − ∫∫∫ {(C R + C D )δR + (C R + C D )δD }dV −11ijmnm ,n122ijmnmn12i, jijmni, j2222ijmnijmn11121222− ∫∫ {( AijmnRm ,n + AijmnDmn2 )δRi , j + ( AijmnRi , j + AijmnDij2 )δDmn2 }dF =11121222= ∫∫∫ {(CijmnRm ,nj + CijmnDmn2 , j + Pi V )δRi − (CijmnRi , j + CijmnDij2 )δDmn2 }dV +11121112+ ∫∫ {[ Pi F − (CijmnRm ,n + CijmnDmn2 )n j ]δRi − ( AijmnRm ,n + AijmnDmn2 )δRi , j −1222− ( AijmnRi , j + AijmnDij2 )δDmn2 }dF =12121122= ∫∫∫ {(CijmnRm ,nj + CijmnDmn2 , j + Pi V )δRi − (CijmnRi , j + CijmnDij2 )δDmn2 }dV +11121112+ ∫∫ {[ Pi F − (CijmnRm ,n + CijmnDmn2 )n j + ( AijmnRm ,nj + AijmnDmn2 , j )]δRi −12221112− ( AijmnRi , j + AijmnDij2 )δDmn2 }dF − ∑ ∫ ( AijmnRm ,n + AijmnDmn2 )v jδRi ds = 0В силу введенной гипотезы о пренебрежимости градиентных частейпотенциальной энергии, уравнения равновесия для свободных дисторсийполучились алгебраическими.
Поэтому формулировка спектра краевых задачдолжна учитывать факт существования девяти алгебраических соотношений175между вариациями кинематических переменных. Из уравнений Эйлера длясвободных дисторсий имеем:1222(CijmnRi , j + CijmnDij2 ) = 0Отсюда:−2212Dab2 = −C abcdC cdmnRm ,n = −a abmn Rm ,n− 2222C abijCijmn= δ amδ bnВариационное уравнение приобретает вид:δL = ∫∫∫ [(C11ijmn1212−22) Rm ,nj + Pi V ]δRi dV +− CijabCabcdCcdmn1112121112− 22)n j Rm ,n + ( Aijmn+ ∫∫ {[ Pi F − (Cijmn− Cijab− AijabCabcdCcdmnaabmn ) Rm ,nj ]δRi +12221112+ ( Amnij− Aabij− Aijabaabmn ) Rm ,nδ ( aijpq R p ,q )}dF − ∑ ∫ ( Aijmnaabmn )v j Rm ,nδRi ds =111212− 22) Rm ,nj + Pi V ]δRi dV += ∫∫∫ [(Cijmn− CijabC abcdCcdmn111212− 22)n j Rm ,n ++ ∫∫ {[ Pi F − (Cijmn− CijabC abcdCcdmn11121222+ ( Aijmn− Aijab− Aabcdaabmn − ( Amncdaabmn )acdiqδ jq* ) Rm ,nj ]δRi +1222+ ( Amnij− Aabijaabmn )aijpq nq Rm ,nδ ( R p ,k nk )}dF −11121222− ∑ ∫ ( Aijmn− Aijabaabmn − Amnabaabij + Aabcdaabmn acdij )v j Rm ,nδRi ds = 0Здесь так же, как и в алгебраической теории дефектных сред, объемныемодули становятся поврежденными:−22111212Cijmn = (Cijmn− CijabC abcdC cdmn)Аналогично, адгезионные силы в классических статических граничныхусловиях также выражаются через поврежденные адгезионные модули:11121222− Aijab− AabcdAijmn = Aijmnaabmn − ( Amncdaabmn )acdiqδ jq* =111212221222= ( Aijmn− Aijab− Aabcdaabmn − Amnabaabij + Aabcdaabmn acdij ) + [( Amncdaabmn )acdiq nq ]n jЗаметим, что формально адгезионные силы на ребрах поверхностивыражаются через, в общем случае, иной тензор поврежденных адгезионныхмодулей:11121222Aijmn = Aijmn− Aijaba abmn − Amnaba abij + Aabcda abmn acdijКроме того, в общем случае краевая задача содержит три дополнительныхграничных условия (содержащих вариации нормальных производных отвектора перемещений δ ( R n ) ) в каждой неособенной точке поверхности.p ,kk176Чтобы избежать переопределенности краевых задач, следует потребовать:12221222( Amnij− Aabija abmn )aijpq nq Rm ,nδ ( R p ,k nk ) = 0 ⇒ ( Amnij− Aabija abmn )aijpq nq = 0Но левая часть этого равенства является множителем разности междуповрежденными модулями адгезии на поверхности и ребрах.
Поэтомуусловие согласованности краевых задач1222aabmn )aijpq nq = 0− Aabij( Amnijприводиттребованию равенства этих тензоров.Окончательно, лагранжиан исследуемой модели приобретает вид:L= A−12∫∫∫Cijmn Ri , j Rm , n dV −12∫∫ AijmnRi , j Rm , n dFСоответственно, вариационное уравнение исследуемой модели приобретаетследующий окончательный вид:δL =+∫∫∫ (C∫∫ (PiFijmnRm , nj + Pi V )δRi dV +− Cijmn n j Rm , n + Aijmn Rm , nj )δRi dF −∑∫Aijmn v j Rm , nδRi ds = 0Сформулирована модель «поврежденной» адгезии. Она представлена в видераспадающейся системы уравнений на перемещения и свободные дисторсии.Краевая задача на перемещения является классической теориейупругости с тензором поврежденных модулей Cповрежденных модулей Aijmnijmnадгезионныхмодуляв объёме тела и тензоромна поверхности и ребрах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
