Диссертация (786079), страница 33
Текст из файла (страница 33)
не объяснимые сточки зрения классической теории упругости.7.4.2. Несингулярная трещина Баренблатта.Введем безразмерную переменную z = r / l E , тогда решение в рамках теориисредссохраняющимисядислокациямиприводиткследующимсоотношениям. Полные перемещения:R ( z , ϕ ) = l E { A1 z −1 / 2 − C1 K1 / 2 ( z ) +2K Iz 1 / 2 }Cos (ϕ / 2)(2 µ + λ )l E1 / 2(7.41)Полные напряжения:σ ( z , ϕ ) = {[ − A1 z −3 / 2 + C1 K 3 / 2 ( z )]Sin(3ϕ / 2) ++[2K Iz −1 / 2 + C1 K1 / 2 ( z )]Sin(ϕ / 2)}(2 µ + λ ) / 21/ 2(2 µ + λ )l E(7.42)Здесь K1/ 2 ( z ) и K 3 / 2 ( z ) - функции Макдональда полуцелого порядка.Требование не сингулярности полных перемещений (7.41) в соответствии с(7.35.) выполняется при условии A1 = C1 π / 2 .
Требование не сингулярности228полных напряжений (7.42) в соответствии с (7.35.) так же удается выполнить,при C1 π / 2 = −2 K I l E−1 / 2 /(2µ + λ ) . В итоге, выражения для полных перемещенийи полных напряжений становятся не сингулярными.Выражения для перемещений приводятся к следующему виду:2 K I l E1 / 2 1 / 2 (e − z − 1 + z )R( z,ϕ ) =z {}Cos (ϕ / 2)(2µ + λ )z2 K I l E1 / 2 −1 / 2U ( z,ϕ ) = −(z− z 1 / 2 )Cos (ϕ / 2)(2µ + λ )u ( z,ϕ ) = −(7.43)2 K I l E1 / 2 −1 / 2 − zz e Cos (ϕ / 2)(2µ + λ )Здесь было использовано свойство функций Макдональда полуцелогопорядка, позволяющее выразить их через элементарные функции. Не труднообнаружить, что в отличие от классической трещины, угол раствора которойв вершине равен π , в неклассической трещине угол раствора равен нулю.Рис.1 Сравнение прогибов берегов трещины в рамках двухмоделейКлассические перемещенияПеремещения в рамках ССД3,532,521,510,5016111621263136414651566166717681869196 101Также имеют место и отличия в кривизне берегов трещин: если кривизнаклассической монотонно убывает, оставаясь все время отрицательной, токривизна неклассической меняет знак, имея точку перегиба при r = 1,067l E .229Примечательно, что расстояние от точки перегиба до вершины трещиныпрактически совпадает с неклассическим параметром среды lE , т.е.
тожеможет служить характеристикой материала. Этот факт может служитьобоснованием для экспериментального определения этой единственнойнеклассической характеристики материала среды (в рассмотренной здесьмодели). Представляется, что расстояние от точки перегиба до вершинытрещины или близкий к нему неклассический параметр среды lE (характернаядлина когезионных взаимодействий) являются естественным эталоном длиныв задачах о не сингулярной трещине.Интересно отметить, что фундаментальное решение, соответствующееклассической части перемещений (7.43) приобретает сингулярность порядкаz −1 / 2 , которая полностью компенсируется неклассической частью решения –когезионным перемещением.u ( z,ϕ ) = −2 K I l E1 / 2 −1 / 2− z 1 / 2 + O( z 3 / 2 )]Cos (ϕ / 2)[z(2µ + λ )В результате, полные перемещения не имеют сингулярности.Вернемся к выражению для полного напряжения.
Оно приводится кследующему виду:σ ( z,ϕ ) =K I 1 / 2 [ z (1 − e − z ) − (e − z − 1 + z )](1 − e − z ){(3ϕ/2)Sin(ϕ / 2)}+zSinzl E1 / 2z2(7.44)Траектории критических напряжений так же, как и в классическом случае,выделяют область, в которой напряжения превышают критические.Определим большие значения z так, что для них выполняется неравенство:z −1 << 1 . Соответственно, уравнение траектории критических напряжений дляэтой области упрощается, и может быть записано явно:z=(K Iñ 2) Sin 2 (ϕ / 2)σ ñl E1 / 2(7.45)Обозначим:q=K Icσ c l E1 / 2(7.46)230Таким образом, установлено [63], что решение в рамках классической теорииупругости (7.37) и в рамках теории сред с сохраняющимися дислокациями(7.45)совпадаютвнеобласти,характерныйразмеркоторойd classic = ( K Ic / σ c ) 2 .
Вторая подобласть – область умеренныхравенz . Для этойобласти, как установлено выше, классическая теория упругости уже неприменима. Уравнение траектории критических напряжений из выражения(7.44) уже не удается записать явно. В неявном виде это уравнение имеетвид:f ( z,ϕ , q) = 0(7.47)(1 − e − z )(1 − e − z ) (e − z − 1 + z )−]Sin(3ϕ / 2) +Sin(ϕ / 2)} − 1 .Здесь f ( z,ϕ , q) = qz {[zzz21/ 2Из (7.47) для каждого фиксированного q можно найти z явно, решая длясоответствующих углов ϕ i трансцендентное уравнение относительно z i .Здесь использовался шаг по углу, равный π / 18 .
В результате получим:z = z (ϕ , q )(7.48)Из (7.48) следует, что второй особенностью уравнения для траекториикритических напряжений (7.47) является то, что форма траекториисущественным образом зависит от параметра q (7.46), т.е. от неклассическихсвойств материала среды - характерной длины когезионных взаимодействийl E .
На рисунках, приведенных ниже, представлены области, выделенныетраекториями критических напряжений.231Рис.3 Траектория критических наряжений при q=2,9Рис.2 Траек тория к ритическ их напряж ений при q=3,088,000066,000044,000022,00000,00000-7-6-5-4-3-2-1012-73-6-5-4-3-2-10-2-2,0000-4-4,0000-6-6,0000-8-8,0000Рис.4 Траектория критических наряжений при q=2,8123Рис.5 Траек тория к ритическ их наряж ений при q=2,78,00006,00006,00004,00004,00002,00002,00000,0000-6-5-4-3-2-101230,0000-5-4-2-3-11023-2,0000-2,0000-4,0000-4,0000-6,0000-6,0000-8,0000Рис.7 Траектория критических напряжений при q=2,5Рис.6 Траек тория к ритическ их наряж ений при q=2,66,00006,00004,00004,00002,00002,00000,00000,0000-5-4-3-2-10123-4-3-2-10-2,0000-2,0000-4,0000-4,0000-6,0000-6,0000232123Рис.9 Траектории критических наряжений при q=2,3Рис.8 Траектории критических наряжений при q=2,45,00005,00004,00004,00003,00003,00002,00002,00001,00001,0000-3,5-3-2,5-2-1,5-10,00000,0000-0,50-30,511,5-2,5-2-1,5-1-0,50-1,0000-1,0000-2,0000-2,0000-3,0000-3,0000-4,0000-4,0000-5,0000-5,0000Рис.11 Траек тории к ритическ ихнаряж ений при q=2,1Рис.10 Траектории критическихнаряжений при q=2,20,511,522Рис.12 Траектории критическихнапряжений при q=2,044,00004,000033,00003,000022,00002,0000-2-1,5-1-0,500,00000,0000-2,511,00001,000000,511,52-2-1,5-1-0,500,511,5-1,5-10-0,511,5-1-1,0000-1,0000-2,0000-2,0000-2-3,0000-3,0000-3-4,0000-4-4,00000,5Определим то значение параметра q = qc , при котором происходиткачественный скачок – вместо одной области разрушения в средесимметрично плоскости трещины образуются две.
Математически этотслучай эквивалентен тому, что при ϕ = π уравнение (7.47) имеет не два корня,аодин.Анализэтогоусловияприводит233ктому,длясреды,характеризующейся параметром qc = 2.489 , существует единственный кореньz с = 2.149 .Соответственно, при q > qc траектория критических напряженийявляется замкнутой, не самопересекающейся, уравнение (7.47) при ϕ = πимеет два корня. При q = qc траектория является самопересекающейся,уравнение (7.47) при ϕ = π имеет один корень.
При q < qc - в верхней инижней полуплоскости имеют место две, симметричные относительно осиOX, замкнутые траектории, уравнение (7.47) при ϕ = π не имеет корней [6667].7.4.3. Обобщения критерия ГриффитсаВ этом разделе исследованы возможности «экспансии» развиваемой здесьтеории сред с сохраняющимися дислокациями в область применимостимеханики хрупкого разрушения. В качестве исходной модели выбранакорректнаячастнаямодельсредСформулирована потенциальнаяссохраняющимисядислокациями.энергия, состоящая из объёмнойиповерхностной частей, и суммарной потенциальной энергии ребер [27].Сформулирован соответствующий лагранжиан. Используя определенияэффективной свободной дисторсии в 3D, в 2D и в 1D, а также эффективной2D-плотности вектора Бюргерса Ξ i , лагранжиан можно представить вследующем компактном виде:L = A−∂R ∂R1e(3 D ) e(3 D )2233d nmd ij{Cijnm n i + Cijnm+ CijnmΞ nm Ξ ij }dV −∫∫∫2∂xm ∂x j−∂R ∂R1e(2 D) e(2 D)22d nmd ij{ Aijnm n i + Aijnm+ Aij33Ξ i Ξ j }dF −∫∫2∂xm ∂x j−∂R ∂R1e (1D ) e (1D )d ij }ds{Bin s j sm n i + Bin22 s j sm d nm∑2∂xm ∂x j(7.51)Вариационное уравнение в кинематических переменных будет иметь вид:234∫∫∫{[Ξ∂ 2 d an∂11 ∂Rn1212 ∂Rn2233ΞΞ(Cijnm) + PiV ]δRi + [Cijnm]δd ijΞ }dV +d nm− Cijnmd nm+ C akipЭnmk Э pjb− Cijnm∂xb ∂xm∂xm∂x j∂xm11+ ∫∫ {[ Pi F − (Cijnm+[A12ijnm∂d Ξ∂Rn∂1211 ∂Rn1213ΞΞ)n j +( Aijnmd nmЭijk Эnmb nb an )]δRi +− Cijnmd nm− Aijnm− Aak∂xm∂xm∂x j∂xmΞ∂d an∂Rn223323Ξ+− Aijnm d nm − (C akip Эnmk Э pjb − Aak Эijk Эnmb )nb∂xm∂xmΞ∂R p∂d pa∂1323Ξ33( Aib Э pqb)]δd ijΞ }dF +− Э jdk nk+ Aib Э pqb d pq − A pi Эabq nq∂xd∂xq∂xb+∑∫11{−[ Aijnmvj∂d Ξ∂R∂Rn∂12Ξ13Ξ( Bin11 s m n − Bin12 s m d nm)]δRi +v j d nmv j Эijk Эnmb nb an − s j− Aijnm− Aak∂x m∂x j∂x m∂x m+ [( Bin12 s m + Aib13 Эnmb )− ∑ ( Bin11 s mΞ∂d pa∂RnΞ]δ (d ijΞ s j )}ds −+ (− Bin22 s m + Aib23 Эnmb )d nm− A33Эnpi abq q∂xm∂xb∂RnΞ− Bin12 s m d nm)δRi = 0∂x m(7.52)Таким образом, вариационное уравнение дает те же уравнения Эйлера, что ипростейшая теория сред с сохраняющимися дислокациями.Количество естественных граничных условий - три «классических» и шестьнеклассических - так же сохраняется.7.4.3.1.
Первая энергетическая теорема.Пусть Ri и d ijΞ удовлетворяют краевой задаче в форме (7.52). Умножимуравнения равновесия сил на компоненты вектора перемещений ипроинтегрируем по объёму среды.∫∫∫(∂σ ij∂x j+ PiV ) Ri dV = 0Преобразуем это выражение с учетом того, что Ri и d ijΞ - равновесноекинематическое состояние:∫∫∫[(∂σ ij∂x j+ PiV ) Ri dV = A − ∫∫∫ σ ij∂Ri∂RdV − ∫∫ aij0 i (δ jk − n j nk )dF − ∑∂x j∂xk∫fi∂Ris j ds = 0∂x jС помощью уравнений закона Гука заменим силовые факторы в полученном235соотношении соответствующими кинематическими факторами:12ΞA + ∫∫∫ Сijnmd nm= ∫∫∫ С11ijnm∂Ri∂Ri12Ξ+ A13dV + ∫∫ [ Aijnmd nmdF =pq (Ξ pk nk ) Эijq ]∂x j∂x j∂Rn ∂Ri11 ∂Rn ∂RidV + ∫∫ AijnmdF + ∑∂xm ∂x j∂xm ∂x j∫∂R ∂R j(B s s ) ids∂xn ∂xm(7.53)11ij n mΞ12Ξ12По условию, силовые факторы Сijnmв 3D, Aijnmи A13pq (Ξ pk nk )Эijq в 2D,d nmd nmопределяющие поврежденность идеальной среды, известны из решениякраевой задачи (7.52).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
