Диссертация (786079), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Тогда выполняется и конечное соотношение:∫∫∫( Eijnm Rn ,mj + PiV ) Ri dV + ∫∫ ( Pi F − Eijnm n j Rn ,m ) Ri dF = 0Из него, после процедуры взятия по частям, следует:A − ∫∫∫ Eijnm Ri , j Rn ,m dV = 0 или U = A / 2(7.7.1.9)Таким образом, и в теории межфазного слоя справедлива теоремаКлапейрона:«Всостоянии равновесия потенциальная энергия248равна половине работы внешних сил».7.6.3. Лагранжиан теории межфазного слоя.Теорема Клапейрона (7.7.1.9) позволяет из (7.7.1.3), при полеперемещений, удовлетворяющем (7.7.1.4), сформулировать лагранжиан длямежфазного слоя, из которого следует вариационное уравнение (7.7.1.6):L=11Eijnm Ri , j Rn ,m dV = Eijnm ε ijnmV =∫∫∫221112233t ij t nm + U ijknmlt ij ,k t nm,l )dV= ∫∫∫ (Cijnmε ijnm + 2U ij12 t ij + U ijnm2(7.7.1.10)11Заметим, что первое слагаемое Cijnmε ijnm в данной постановке можноотбросить, так как при заданных/известных перемещениях вариация этогослагаемого обращается в ноль, в силу (7.7.1.2).7.6.4.
Прикладная теория «поврежденного» межфазного слоя.Вариационное уравнение (7.7.1.6), и соответствующий ему лагранжиан(7.7.1.10), приводят, в общем случае, к системе девяти уравнений второгопорядка и соответствующей краевой задаче, решение которой являетсядостаточно сложным. Поэтому представляется целесообразным предложитьупрощенную, прикладную модель, содержащую меньшее количествонеизвестных и меньшее количество физических параметров.Первая цель достигается введением векторного потенциала для тензораотносительной поврежденности:t ij = t i , j(7.7.1.11)Соотношение (7.7.1.11) является гипотезой, аналогичной обобщениюгипотезы Аэро-Кувшинского.
Обобщение гипотезы Аэро-Кувшинскогопозволяет выразить тензор свободной дисторсии через вектор перемещений в249теории сред с сохраняющимися дислокациями и существенно сократить вней количество основных неизвестных. Гипотеза (7.7.1.11) при построенииприкладной теории межфазного слоя позволяет сделать то же самое –выразить тензор относительной поврежденности через некоторый вектор,компонентыкоторогостановятсяосновныминеизвестнымитеории«поврежденного» межфазного слоя.Лагранжиан (7.7.1.10) при этом принимает вид:L = − ∫∫ Pi t ti dF +12233(U ijnmti , j tn , m + U ijknmlti , jk tn , ml )dV∫∫∫2(7.7.1.12)Здесь введено обозначение U ij12 n j = − Pi t . Тогда, с точностью до знака,лагранжиан (7.7.1.12) будет совпадать с лагранжианом градиентной моделиТупина [6], если трактовать вектор-потенциал ti как вектор дополнительных2233перемещений в межфазном слое, а тензоры энергии U ijnm,U ijknmlкаксоответствующие тензоры модулей межфазного слоя.
Специфика даннойпостановки заключается в том, что и «внешняя нагрузка» Pi t , и «тензорымодулей»2233U ijnm,U ijknmlмежфазного слоя зависят от деформированногосостояния тела в целом ε ijnm (7.7.1.2), а также от физических параметров122233дефектной среды фазы – тензоров модулей Cijnm., Cijnm, CijnmОтметим, что при однопараметрическом нагружении свойства межфазногослоя не зависят от нагрузки, так как лагранжиан (7.7.1.12) являетсяоднородной квадратичной функцией амплитуды внешней нагрузки. При2233многопараметрическом нагружении и свойства межфазного слоя U ijnm,и,U ijknml«внешняя нагрузка» Pi t , будут являться уже неоднородными квадратичнымифункциями отношений амплитуд внешних нагрузок. В этом случае свойствамежфазного слоя уже будут зависеть от нагрузок.Вторая цель достигается введением «гипотезы пропорциональности»123322тензору Cijnm:тензоров Cijnm, Cijnm1222Cijnm= kCijnm3322Cijnm= h 2Cijnm(7.7.1.13)250Таким образом, физические свойства межфазного слоя для каждой фазыопределяются пятью параметрами: тремя компонентами изотропного тензора22Cijnmи введенными параметрами k , h , вместо девяти параметров –компонентов223312., Cijnm, CijnmCijnmтензоровСуществуетдостаточноширокораспространенное мнение, что механические свойства межфазного слояможно описать с помощью трансверсально-изотропного тензора модулей,имеющего, как раз, пять различных компонент.
Однако, как было показановыше, эти механические характеристики относятся к разным объектам122233) и не могут быть объединены. Межфазный слой для(тензорам Cijnm, Cijnm, Cijnmкаждой фазы является изотропным неклассическим объектом, обладающимнеклассическими механическими свойствами, которые в общем случаехарактеризуются девятью параметрами, а в приближенном (прикладном)варианте – пятью.Заключение.1. Сформулирована и решена задача определения свойств эффективныхмеханических свойств мелкодисперсного композита.
Дано математическоеобоснование «эффекта Мивы» для мелкодисперсных стеклопластиков. Даноматематическое обоснование известным гипотезам осреднения в видепредставления в разных формах одного и того же неклассического решения врамках механики дефектной среды.2.Сформулированаирешеназадачаопределенияэффективныхмеханических свойств в теории волокнистых нанокомпозитов, армированныхSWNT (эффекты Одегарда). Доказано, что нанотрубки, обладающие высокойудельной поверхностью, определяют два принципиально разных эффекта (надлинных и коротких волокнах). Дано математическое обоснование «эффектаОдегарда на длинных волокнах», обусловленное высокой адгезионной251активностью нанотрубок, связанной с поверхностным натяжением.
Даноматематическое обоснование «эффекта Одегарда на коротких волокнах»,обусловленное высокой когезионной активностью связующего в областиконтакта с нанотрубкой. В результате абсолютная объемная доля межфазногослоя может в разы превышать абсолютную объемную долю самихнанотрубок.3. Сформулирована теория тонких пленок с адгезионными свойствамилицевыхповерхностей.Даноматематическоеобоснованиеэффекта«супермодулей» тонких пленок, обусловленное вкладом адгезионныхсвойств лицевых поверхностей в эффективную жесткость пленки пристремлении толщины пленки к нулю.
Как предельный случай теории тонкихпленок сформулирована теория механических свойств 2D-структур.4. Осуществлена «экспансия» механики дефектных сред в теорию трещин.Построено приближенное аналитическое решение для трещины нормальногоотрыва. Оно отличается от классического тем, что напряжения в вершинетрещины не имеют сингулярности, берега трещины имеют знакопеременнуюкривизну, расстояние от вершины трещины до точки перегиба (зонаБаренблатта) определяется неклассическим параметром среды – характернойдлиной когезионных взаимодействий в среде, угол раскрытия трещины ввершине равен не π , а нулю.
Дана оценка сверху величины характернойдлины когезионных взаимодействий через такие стандартные характеристикиматериалов, как предел прочности/текучести и вязкость разрушения. Этаоценкаможетбытьиспользованавовсехградиентныхтеориях,разрешающие уравнения которых могут быть сведены к трем уравнениямравновесия в перемещениях четвертого порядка. К таким теориям можноотнести: теорию сред Коссера, теорию пористых сред, теорию Тупина,моментную теорию Аэро-Кувшинского, теорию Джеремилло, «простейшую»теорию когезионного поля.5. Осуществлена «экспансия» механики дефектных сред в теорию хрупкогоразрушения.Сформулировано обобщение критерия Гриффитса. С252его помощью установлен спектр связей между потенциальными энергиямидеформациинеповрежденнойповерхностииобъема,среды,энергиямиэнергиямиобразованиядислокационнойновойповрежденностиповерхности и объема.7. Развита теория межфазного слоя. Установлены важные для приложенийсвойства локальных полей поврежденности.
При однопараметрическомнагружении свойства межфазного слоя не зависят от нагрузки, примногопараметрическомнагружениисвойствамежфазногослояи,следовательно, эффекты изменения механических свойств зависят от типанапряженного состояния. Соответственно, эффективные свойства материалас учетом повреждений будут зависеть от нагрузок.
В результате, построенвариант общей теории поврежденности и изменения свойств линейнодеформируемыхтел,которыйоказываетсявполномкачественномсоответствии с известными результатами исследований Е. Ломакина озависимости свойств сред от вида напряженного состояния.253ГЛАВА 8ЗАКЛЮЧЕНИЕНаиболее существенные научные результаты и выводы, полученные вдиссертации.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
